K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा १: कोन आणि त्याचे मापन

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

दिशायुक्त कोन

रोजच्या जीवनातून

घड्याळाचा काटा किती फिरला हे सांगताना आपण "किती" बरोबर "कोणत्या दिशेने" हेही सांगतो. उजवीकडे वळ, डावीकडे वळ हेही दिशा + कोनाचेच उदाहरण. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : तिथे आपण 0° ते 180° चे कोन आणि त्रिकोणाचे कोन शिकलो; आता कोन दिशेसह येतात आणि 360° पेक्षा मोठेही असू शकतात.

सोपी व्याख्या

एक किरण स्थिर ठेवून दुसरा किरण त्याच्याभोवती फिरवल्यावर होणारा कोन म्हणजे दिशायुक्त कोन (directed angle). सुरुवातीचा किरण आरंभ किरण, फिरून थांबलेला किरण अंत्य किरण. घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने फिरवल्यास कोन धन, काट्यांच्या दिशेने फिरवल्यास ऋण.

कोनांचे प्रकार : किरण अजिबात फिरला नाही तर शून्य कोन 0°; पाव फेरा म्हणजे काटकोन 90°; अर्धा फेरा म्हणजे सरळकोन 180°; पूर्ण फेरा 360°. किरणांच्या जोड्या (OA, OB) आणि (OB, OA) वेगळ्या असतात, म्हणून ∠AOB आणि ∠BOA हे एकच दिशायुक्त कोन नसतात.

नियम 1 : प्रमाण स्थिती आणि चरण — आरंभ किरण X-अक्षाच्या धन दिशेवर आणि शिरोबिंदू मूलबिंदू O वर असेल तर कोन प्रमाण स्थितीत (standard position) आहे. अंत्य किरण ज्या चरणात पडतो तो त्या कोनाचा चरण : 0° ते 90° चरण I, 90° ते 180° चरण II, 180° ते 270° चरण III, 270° ते 360° चरण IV. उदा. 150° चरण II मध्ये, 250° चरण III मध्ये, −60° चरण IV मध्ये.

OABθIIIIIIIVXY

आकृतीत : आकृतीत θ = ∠XOB प्रमाण स्थितीत आहे; OA आरंभ किरण, OB अंत्य किरण; येथे θ = 135° म्हणून चरण II.

  • सोपे : 30° चरण I मध्ये आणि 120° चरण II मध्ये.
  • मध्यम : 300° चरण IV मध्ये; −120° म्हणजे काट्यांच्या दिशेने 120°, तो चरण III मध्ये.
  • परीक्षेसाठी : −200° = काट्यांच्या दिशेने 200°, अंत्य किरण 160° वर, म्हणून चरण II.

नियम 2 : चरणसीमा कोन — अंत्य किरण X-अक्ष किंवा Y-अक्षावर पडला तर तो चरणसीमा कोन (quadrantal angle) : 0°, 90°, 180°, 270°, 360° आणि त्यांच्या ऋण/मोठ्या किमती (−90°, 450° इ.). तो कोणत्याही चरणात नसतो.

  • सोपे : 90° आणि 180° चरणसीमा कोन आहेत.
  • मध्यम : −90° चरणसीमा कोन (अंत्य किरण ऋण Y-अक्षावर).
  • परीक्षेसाठी : 540° = 360° + 180°, अंत्य किरण ऋण X-अक्षावर, म्हणून चरणसीमा.

नियम 3 : सहअंत्य कोन — दोन दिशायुक्त कोनांचा आरंभ किरण व अंत्य किरण एकच असतील तर ते सहअंत्य कोन (co-terminal angles). θ चे सहअंत्य कोन : θ + 360° × n (n कोणताही पूर्णांक). म्हणून दोन सहअंत्य कोनांतील फरक 360° चा पूर्ण पट असतो.

Live आकृती

दिशायुक्त कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 60° आणि 420° सहअंत्य, कारण 420° − 60° = 360°.
  • मध्यम : 45° आणि −315° सहअंत्य, कारण 45° − (−315°) = 360°.
  • परीक्षेसाठी : 60° चे सहअंत्य कोन : 420°, 780°, −300°, −660°.

सूत्र कसे मिळाले? : किरण पूर्ण फेरा (360°) फिरला की तो पुन्हा त्याच जागी येतो. म्हणून θ मध्ये 360° कितीही वेळा मिळवा किंवा वजा करा, अंत्य किरण तोच राहतो. म्हणजे सहअंत्य कोन = θ + 360° × n. दोन सहअंत्य कोन θ + 360°n₁ आणि θ + 360°n₂ यांचा फरक = 360° × (n₁ − n₂), म्हणजे 360° चा पूर्ण पट.

लक्षात ठेवा

धन कोन = काट्यांच्या विरुद्ध दिशा; ऋण कोन = काट्यांच्या दिशा. सहअंत्य कोनांत फरक 360° चा पट.

सामान्य चूक

90° ला "चरण I किंवा II" समजणे. तो चरणसीमा कोन आहे, कोणत्याही चरणात नाही.

शॉर्टकट

मोठ्या कोनाचा चरण ठरवायला 360° ने भागून बाकी (शेष) पाहा : 1000° → 1000 − 720 = 280° → चरण IV. ऋण कोनाची बाकी ऋण आली तर त्यात 360° मिळवा. आठवणीची युक्ती : "काट्यांसोबत गेलो तर उणे, काट्यांच्या विरुद्ध गेलो तर धन"; चरण I → II → III → IV हे काट्यांच्या उलट दिशेने 90° च्या टप्प्यांनी.

CET सापळा

पर्यायांत 90° किंवा 180° "चरण I" किंवा "चरण II" म्हणून दिलेले असू शकतात, पण ते चरणसीमा कोन आहेत. तसेच 360° ने भागताना ऋण बाकी आली तर तिलाच उत्तर समजू नका : −1110° चे −30° होते, त्याचा चरण 330° वरून ठरवा.

CET-स्टाइल उदाहरण : −1110° चा कोन कोणत्या चरणात येतो? (A) I (B) II (C) III (D) IV

उत्तर : (D). 1110 = 3 × 360 + 30, म्हणून −1110° हा −30° सारखाच; −30° + 360° = 330° → चरण IV. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 360 च्या पाढ्यातील 1080 जवळचा; 1110 − 1080 = 30 → −30° → काट्यांच्या दिशेने थोडासा कोन म्हणून चरण IV.

फरक ओळखा

कोनअंत्य किरणचरण / प्रकार
45°पहिल्या चरणातचरण I
405°45° सारखाच (एक पूर्ण फेरा जास्त)चरण I; 45° चा सहअंत्य
−45°काट्यांच्या दिशेने 45°चरण IV
90°धन Y-अक्षावरचरणसीमा; कोणत्याही चरणात नाही
−270°धन Y-अक्षावरचरणसीमा; 90° चा सहअंत्य

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दिशायुक्त कोनात आरंभ किरण कोणता?
  2. 2210° कोणत्या चरणात?
  3. 345° चा एक सहअंत्य कोन लिहा.
मध्यम
  1. 4−30° कोणत्या चरणात?
  2. 5400° चा 0° ते 360° मधील सहअंत्य कोन?
  3. 6270° कोणता कोन आहे?
आव्हानात्मक
  1. 7−780° चा 0° ते 360° मधील सहअंत्य कोन आणि चरण.
  2. 8120° आणि −240° सहअंत्य आहेत का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1ज्या किरणापासून फिरवणे सुरू होते तो किरण.
  2. 2चरण III (180° ते 270°).
  3. 3405° (किंवा −315°).
  4. 4चरण IV (−30° ≡ 330°).
  5. 540° (400° − 360°).
  6. 6चरणसीमा कोन (ऋण Y-अक्षावर).
  7. 7300°, चरण IV (−780° + 1080° = 300°).
  8. 8होय, 120° − (−240°) = 360°.

अंश माप : अंश, मिनिटे, सेकंद

रोजच्या जीवनातून

एक तास 60 मिनिटांचा आणि एक मिनिट 60 सेकंदांचा. कोन मोजण्याची अंशांची पद्धतही अशीच 60 च्या गटांची आहे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : तिथे आपण कोन पूर्ण अंशांत मोजले; आता अचूक हिशोबासाठी अंशाचे लहान भाग (मिनिट, सेकंद) वापरतो.

सोपी व्याख्या

एका पूर्ण फेऱ्याचा 360 वा भाग म्हणजे 1 अंश (1°). 1° चा 60 वा भाग 1 मिनिट (1′) आणि 1′ चा 60 वा भाग 1 सेकंद (1″). या पद्धतीला षष्ठिक पद्धत म्हणतात.

नियम 1 : रूपांतर — 1° = 60′, 1′ = 60″, म्हणून 1° = 3600″. काटकोन = 90°, सरळकोन = 180°, पूर्ण फेरा = 360°. अंशातील दशांश भागाला 60 ने गुणून मिनिटे, मिनिटांतील दशांशाला 60 ने गुणून सेकंद मिळतात.

  • सोपे : 25°30′ = 25.5°, कारण 30′ = 30/60 = 0.5°.
  • मध्यम : 52.35° = 52° + 0.35 × 60′ = 52°21′.
  • परीक्षेसाठी : 37.46° = 37° + 0.46 × 60′ = 37°27.6′ = 37°27′36″ (0.6 × 60 = 36).

सूत्र कसे मिळाले? : 1° = 60′ आहे; म्हणून 0.35° = 0.35 × 60′ = 21′ (जसे 0.35 तास = 0.35 × 60 = 21 मिनिटे). मिनिटांतील उरलेल्या दशांशाला पुन्हा 60 ने गुणले की सेकंद मिळतात, कारण 1′ = 60″. उलट दिशेने : सेकंद ÷ 60 = मिनिटे, मिनिटे ÷ 60 = अंश.

1°60′3600″×60÷60×60÷60

आकृतीत : अंश → मिनिट → सेकंद असे जाताना प्रत्येक पायरीवर 60 ने गुणा; उलट येताना 60 ने भागा.

नियम 2 : अंश-मिनिट-सेकंदांची बेरीज-वजाबाकी — सेकंद 60 झाले की 1′ करा, मिनिटे 60 झाली की 1° करा. वजाबाकीत अंशातून 1° घेऊन 60′ करा.

  • सोपे : 20°40′ + 10°30′ = 30°70′ = 31°10′.
  • मध्यम : 90° − 38°25′ = 89°60′ − 38°25′ = 51°35′.
  • परीक्षेसाठी : 36°45′30″ = 36 + 45/60 + 30/3600 = 36.7583…°.
लक्षात ठेवा

मिनिटे आणि सेकंद येथे कोनाचे माप आहेत; वेळेचे मिनिट-सेकंद वेगळे.

सामान्य चूक

25.5° ला 25°50′ लिहिणे. 0.5° = 30′, म्हणून 25°30′.

शॉर्टकट

दशांश अंश → मिनिट : दशांश × 60. मिनिट → अंश : मिनिटे ÷ 60. आठवणीची युक्ती : घड्याळाचा हिशोब! अंश = तास, ′ = मिनिट, ″ = सेकंद; 60 चे गट तेच, फक्त चिन्हे वेगळी.

CET सापळा

52.35° साठी 52°35′ असा पर्याय नेहमी दिलेला असतो. दशांश भाग थेट मिनिटे नसतात; 60 ने गुणा : 0.35 × 60 = 21′, म्हणून 52°21′.

CET-स्टाइल उदाहरण 1 : 12.7625° = ? (A) 12°45′45″ (B) 12°46′15″ (C) 12°45′25″ (D) 12°47′45″

उत्तर : (A). 0.7625 × 60 = 45.75′ = 45′ + 0.75 × 60″ = 45′45″. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 0.75° = 45′ लगेच आठवा; उरलेले 0.0125° × 3600 = 45″.

CET-स्टाइल उदाहरण 2 : 180° − 64°38′52″ = ? (A) 115°21′8″ (B) 115°22′8″ (C) 116°21′8″ (D) 115°21′52″

उत्तर : (A). 180° = 179°59′60″ : 179 − 64 = 115, 59 − 38 = 21, 60 − 52 = 8. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 180° ला लगेच 179°59′60″ म्हणून मांडा; मग उधार घेण्याची गरजच पडत नाही.

फरक ओळखा

मापअंशांतअंश-मिनिट
25°30′25.5°25°30′
52.35°52.35°52°21′
37.46°37.46°37°27′36″

कोनाचे मिनिट आणि वेळेचे मिनिट

बाबकोन (अंश पद्धत)वेळ (घड्याळ)
मोठे एकक1 अंश (°)1 तास
मधले एकक1′ = अंशाचा 60 वा भाग1 मिनिट = तासाचा 60 वा भाग
लहान एकक1″ = मिनिटाचा 60 वा भाग1 सेकंद = मिनिटाचा 60 वा भाग
चिन्हे° ′ ″h min s
कशाचे मापफिरण्याचे (दिशेसह)काळाचे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 11° मध्ये किती मिनिटे?
  2. 240°30′ अंशांत लिहा.
  3. 315.5° अंश-मिनिटांत लिहा.
मध्यम
  1. 463.45° अंश-मिनिटांत लिहा.
  2. 535°40′ + 47°35′ = ?
  3. 61° मध्ये किती सेकंद?
आव्हानात्मक
  1. 7120° − 47°18′ = ?
  2. 836°45′ अंशांच्या दशांशात लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 160′.
  2. 240.5°.
  3. 315°30′.
  4. 463°27′ (0.45 × 60 = 27).
  5. 583°15′ (35°40′ + 47°35′ = 82°75′ = 83°15′).
  6. 63600″.
  7. 772°42′ (119°60′ − 47°18′).
  8. 836.75°.

रेडियन माप

रोजच्या जीवनातून

दोरीचा त्रिज्येइतका लांब तुकडा वर्तुळाच्या कडेवर ठेवला की त्याच्यासमोरचा कोन 1 रेडियन होतो. लांबी आणि कोन यांना जोडणारे हे माप. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : तिथे कोन अंशांत मोजले आणि कंसासाठी (θ/360) × 2πr वापरले; आता कोन "त्रिज्येच्या मापात" मोजू, ज्यामुळे सूत्रे खूप सोपी होतात.

सोपी व्याख्या

वर्तुळाच्या केंद्रावर, त्रिज्येइतक्या लांबीचा कंस ज्या कोनासमोर असतो त्या कोनाचे माप 1 रेडियन (1c). रेडियन माप वर्तुळाच्या त्रिज्येवर अवलंबून नसते; म्हणून ते निश्चित आहे. θ = s ÷ r.

Orrs = r1c

आकृतीत : हिरवा कंस s = r; त्याच्यासमोरील कोन 1c (≈ 57.3°).

नियम 1 : πc = 180° — पूर्ण वर्तुळाचा परीघ 2πr, म्हणून पूर्ण फेरा = 2π रेडियन = 360°. म्हणून πc = 180° आणि 1c = 180°/π ≈ 57.3°.

  • सोपे : 180° = π रेडियन, 360° = 2π रेडियन.
  • मध्यम : 90° = π/2, 60° = π/3, 30° = π/6, 45° = π/4.
  • परीक्षेसाठी : 270° = 3π/2 आणि 120° = 2π/3.

πc = 180° कसे मिळाले? :

  • 1) केंद्रीय कोन त्याच्या कंसाच्या लांबीच्या प्रमाणात असतो. 1 रेडियनसाठी कंस r असतो.
  • 2) अर्धवर्तुळाचा कंस πr असतो आणि त्याचा कोन सरळकोन म्हणजे 180° असतो.
  • 3) म्हणून (सरळकोन) ÷ (1 रेडियन) = πr ÷ r = π.
  • 4) म्हणजे सरळकोन = π रेडियन, अर्थात πc = 180° आणि 1c = 180°/π.

नियम 2 : रूपांतर सूत्र — अंश → रेडियन : अंश × π/180. रेडियन → अंश : रेडियन × 180/π. ऋण कोनाचे चिन्ह तसेच राहते.

Live आकृती

रेडियन माप

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 60° × π/180 = π/3 रेडियन.
  • मध्यम : −150° = −150 × π/180 = −5π/6 ; 7π/4 रेडियन = 7 × 180/4 = 315°.
  • परीक्षेसाठी : 50°15′ = 50.25° = 50.25 × π/180 = 67π/240 रेडियन.

रूपांतर सूत्र कसे मिळाले? : एकच कोन θ अंश आणि x रेडियन असेल तर तो सरळकोनाचा सारखाच भाग असतो : θ/180 = x/π. यावरून x = θ × π/180 आणि θ = x × 180/π.

उपयोगी किमती : 1° = π/180 ≈ 0.01745 रेडियन. 1c = 180°/π ≈ 57.2958° ≈ 57°17′45″ (π चे अचूक मूल्य घेतल्यावर). π = 3.14 घेतले तर 57.3248° = 57°19′29″ मिळते; म्हणून प्रश्नात दिलेला π वापरा.

लक्षात ठेवा

रेडियनला एकक लिहिले नाही तर तो रेडियनच मानतात : sin 2 म्हणजे 2 रेडियन.

सामान्य चूक

π ला 180 समजणे. π ही संख्या सुमारे 3.14 आहे; तर πc (π रेडियन) हा कोन 180° च्या बरोबर आहे.

शॉर्टकट

30°, 45°, 60°, 90° चे रेडियन आठवण्यासाठी : 180° ला 6, 4, 3, 2 ने भागा → π/6, π/4, π/3, π/2. आठवणीची युक्ती : "हवं ते वर!" — अंश → रेडियन करायचे तर रेडियनचे चिन्ह π वर : × π/180. रेडियन → अंश करायचे तर 180 वर : × 180/π.

CET सापळा

रेडियनचे उत्तर पर्यायांत लघुत्तम अपूर्णांकात (उदा. 7π/12) असते, 105π/180 असे नाही. π शिवाय लिहिलेली संख्या (उदा. 2 किंवा 1.5) रेडियनच समजा; आणि कंस/क्षेत्रफळाच्या प्रश्नात θ अंशांत दिला तर आधी रेडियन करा.

CET-स्टाइल उदाहरण : 7π/15 रेडियन = ? अंश (A) 84° (B) 96° (C) 72° (D) 105°

उत्तर : (A). π/15 = 180°/15 = 12°, म्हणून 7π/15 = 7 × 12° = 84°. वेळ वाचवण्याची पद्धत : π च्या जागी थेट 180° लिहा आणि हराने भागा : 180 ÷ 15 = 12, मग × 7 = 84.

फरक ओळखा

अंशरेडियन
15°π/12
30°π/6
45°π/4
60°π/3
90°π/2
120°2π/3
135°3π/4
150°5π/6
180°π
270°3π/2
360°2π

अंश आणि रेडियन — तुलना

बाबअंश (°)रेडियन (c)
एकक कशावर आधारितपूर्ण फेऱ्याचा 360 वा भागत्रिज्येइतका कंस
काटकोन90°π/2
सरळकोन180°π
पूर्ण फेरा360°2π
1 एकक किती1° ≈ 0.01745 रेडियन1 रेडियन ≈ 57.3°
एकक लिहिणे° आवश्यकc किंवा काहीच नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1180° रेडियनमध्ये?
  2. 2π/2 रेडियन अंशांत?
  3. 345° रेडियनमध्ये?
मध्यम
  1. 4−135° रेडियनमध्ये?
  2. 57π/6 रेडियन अंशांत?
  3. 61 रेडियन सुमारे किती अंश?
आव्हानात्मक
  1. 72 रेडियन अंशांत (π = 22/7 घ्या).
  2. 8100° रेडियनमध्ये?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1π.
  2. 290°.
  3. 3π/4.
  4. 4−3π/4.
  5. 5210°.
  6. 6सुमारे 57.3°.
  7. 72 × 180 × 7/22 ≈ 114.5° (अचूक 114.59°).
  8. 85π/9.

त्रिकोण, बहुभुजाकृती आणि घड्याळातील कोन

रोजच्या जीवनातून

घड्याळाच्या दोन काट्यांमधील कोन सतत बदलत असतो. त्रिकोणी वाटी किंवा षट्कोनी टाइल यांचेही कोन ठरावीक नियमाने जुळलेले असतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : तिथे त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° आणि चौकोनाचे कोन शिकलो; आता कोणत्याही बहुभुजाचे कोन रेडियनशी आणि घड्याळातील कोनांशी जोडतो.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज 180° (π रेडियन). n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या अंतर्कोनांची बेरीज (n − 2) × 180°. सुसम बहुभुजाकृतीचा प्रत्येक कोन (n − 2) × 180°/n.

नियम 1 : त्रिकोण आणि बहुभुजाकृती — चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360°, पंचकोनाची 540°, षट्कोनाची 720°. सुसम षट्कोनाचा प्रत्येक कोन 720°/6 = 120°; सुसम अष्टकोनाचा 1080°/8 = 135°. सुसम बहुभुजाचा बाह्यकोन 360°/n.

  • सोपे : त्रिकोणात दोन कोन 40° व 60°; तिसरा 180° − 100° = 80°.
  • मध्यम : त्रिकोणाचे कोन 40°, 60°, 80° = 2π/9, π/3, 4π/9 रेडियन; बेरीज π.
  • परीक्षेसाठी : त्रिकोणाचे कोन 1 : 2 : 3 गुणोत्तरात; k = 180°/6 = 30°, कोन 30°, 60°, 90°.

सूत्र कसे मिळाले? : n बाजूंच्या बहुभुजाच्या एका शिरोबिंदूपासून इतर शिरोबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषा काढल्या की (n − 2) त्रिकोण होतात. प्रत्येकाच्या कोनांची बेरीज 180° असल्याने एकूण (n − 2) × 180°. सुसम बहुभुज असेल तर प्रत्येक अंतर्कोन = (n − 2) × 180°/n आणि बाह्यकोन = 180° − अंतर्कोन = 360°/n (सर्व बाह्यकोनांची बेरीज 360°).

नियम 2 : घड्याळातील कोन — मिनिट काटा 60 मिनिटांत 360° फिरतो : 1 मिनिटात 6°. तास काटा 12 तासांत 360° : 1 तासात 30°, 1 मिनिटात 0.5°. म्हणून h तास m मिनिटे या वेळी काट्यांमधील कोन |30h − 5.5m|.

Live आकृती

त्रिकोण, बहुभुजाकृती आणि घड्याळातील कोन

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 3:00 वाजता कोन 30 × 3 = 90°.
  • मध्यम : 15 मिनिटांत मिनिट काटा 15 × 6 = 90° आणि तास काटा 7.5°.
  • परीक्षेसाठी : 3:30 वाजता |30 × 3 − 5.5 × 30| = |90 − 165| = 75°.

सूत्र कसे मिळाले? : h तास m मिनिटांनी तास काटा 12 पासून 30h + 0.5m अंश पुढे गेलेला असतो आणि मिनिट काटा 6m अंश. फरक = (30h + 0.5m) − 6m = 30h − 5.5m, आणि कोन धनच घ्यायचा म्हणून त्याचे धन मूल्य. उत्तर 180° पेक्षा मोठे आले तर लहान कोन = 360° − उत्तर.

1236970°H = 5×30 + 40×0.5 = 170°M = 40×6 = 240°240° − 170° = 70°

आकृतीत : 5:40 वाजता तास काटा 12 पासून 5 × 30 + 40 × 0.5 = 170° वर आणि मिनिट काटा 40 × 6 = 240° वर; फरक 240° − 170° = 70°.

नियम 3 : सुसम बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या — अंतर्कोन दिला असेल तर आधी बाह्यकोन = 180° − अंतर्कोन काढा, मग n = 360° ÷ बाह्यकोन. अंतर्कोन रेडियनमध्ये दिला असेल तर आधी अंशांत बदला.

  • सोपे : अंतर्कोन 135° : बाह्यकोन 45°, n = 360 ÷ 45 = 8.
  • मध्यम : अंतर्कोन 3π/5 रेडियन = 108° : बाह्यकोन 72°, n = 360 ÷ 72 = 5.
  • परीक्षेसाठी : अंतर्कोन 9π/10 रेडियन = 162° : बाह्यकोन 18°, n = 360 ÷ 18 = 20.

नियम 4 : गुणोत्तर आणि समांतर श्रेढीतील कोन — कोन गुणोत्तरात (ratio) दिले असतील (उदा. 2 : 3 : 4) तर ते 2k, 3k, 4k मानून बेरीज (त्रिकोण 180°, चौकोन 360°) लावा. कोन समांतर श्रेढीत (arithmetic progression, A.P.) असतील तर त्रिकोणाचे कोन (a − d), a, (a + d) माना; बेरीज 3a = 180°, म्हणून मधला कोन a = 60°.

  • सोपे : चौकोनाचे कोन 1 : 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात; k = 360° ÷ 10 = 36°, कोन 36°, 72°, 108°, 144°.
  • मध्यम : त्रिकोणाचे कोन A.P. मध्ये, सर्वांत लहान 20° : a = 60°, a − d = 20° म्हणून d = 40°; कोन 20°, 60°, 100°.
  • परीक्षेसाठी : त्रिकोणाचे कोन A.P. मध्ये आणि सर्वांत मोठा कोन सर्वांत लहान कोनाच्या 3 पट : a − d = k, a + d = 3k म्हणून a = 2k = 60°, k = 30°; कोन 30°, 60°, 90° (π/6, π/3, π/2 रेडियन).
लक्षात ठेवा

मिनिट काटा 6° प्रति मिनिट; तास काटा 0.5° प्रति मिनिट.

सामान्य चूक

3:30 ला तास काटा 3 वरच धरणे. तो 3 आणि 4 च्या मध्ये, 105° वर असतो.

शॉर्टकट

बहुभुजाची कोनबेरीज = (n − 2) × 180°. त्रिकोणांत विभागा : n − 2 त्रिकोण. आठवणीची युक्ती : घड्याळात "6 वजा अर्धा = साडेपाच" : मिनिट काटा 6°, तास काटा 0.5° प्रति मिनिट म्हणून 5.5m. आणि "n − 2 = त्रिकोणांची संख्या" (एका शिरोबिंदूपासून रेषा काढा).

CET सापळा

"लहान कोन" मागितला असेल आणि 30h − 5.5m चे उत्तर 180° पेक्षा मोठे आले तर तेच पर्यायांत असते, पण बरोबर उत्तर 360° − उत्तर आहे. तसेच प्रश्नात अंतर्कोन दिला आहे की बाह्यकोन ते तपासा; पर्यायांत दोन्ही दिलेले असतात.

CET-स्टाइल उदाहरण 1 : 5:40 वाजता घड्याळाच्या काट्यांमधील लहान कोन कोणता? (A) 70° (B) 80° (C) 100° (D) 110°

उत्तर : (A). 30 × 5 − 5.5 × 40 = 150 − 220 = −70, म्हणजे 70°. वेळ वाचवण्याची पद्धत : मिनिट काटा 40 वर = 40 × 6 = 240°; तास काटा 5 वरून 40 मिनिटे पुढे = 150° + 20° = 170°; फरक 70°.

CET-स्टाइल उदाहरण 2 : एका सुसम बहुभुजाच्या अंतर्कोन आणि बाह्यकोनाचे गुणोत्तर 5 : 1 आहे. त्याला किती बाजू आहेत? (A) 10 (B) 12 (C) 8 (D) 15

उत्तर : (B). अंतर्कोन + बाह्यकोन = 180°, म्हणून बाह्यकोन = 180° ÷ 6 = 30° आणि n = 360° ÷ 30° = 12. वेळ वाचवण्याची पद्धत : गुणोत्तराच्या भागांची बेरीज (5 + 1 = 6) ने 180° भागा; मग 360 ÷ बाह्यकोन.

फरक ओळखा

आकृतीnकोनबेरीजअंतर्कोनबाह्यकोन
समभुज त्रिकोण3180°60°120°
चौरस4360°90°90°
सुसम पंचकोन5540°108°72°
सुसम षट्कोन6720°120°60°
सुसम अष्टकोन81080°135°45°
सुसम दशकोन101440°144°36°

घड्याळाचे काटे — तुलना

काटा1 मिनिटात1 तासात12 तासांत
मिनिट काटा6°360°4320°
तास काटा0.5°30°360°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज किती?
  2. 2सुसम पंचकोनाचा प्रत्येक कोन?
  3. 34:00 वाजता घड्याळाच्या काट्यांमधील कोन?
मध्यम
  1. 4अष्टकोनाच्या कोनांची बेरीज?
  2. 5त्रिकोणाचे कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात; कोन अंशात.
  3. 620 मिनिटांत मिनिट काटा किती अंश फिरतो?
आव्हानात्मक
  1. 79:30 वाजता काट्यांमधील कोन.
  2. 8सुसम बहुभुजाचा प्रत्येक कोन 150° असेल तर बाजू किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1180°.
  2. 2108° (540°/5).
  3. 3120°.
  4. 41080°.
  5. 540°, 60°, 80° (k = 180°/9 = 20°).
  6. 6120°.
  7. 7105° (तास काटा 285°, मिनिट काटा 180° → 105°).
  8. 812 (बाह्यकोन 30° = 360°/n).

कंसाची लांबी आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झाचा तुकडा म्हणजे त्रिज्याखंड (sector); त्याची वक्र कडा म्हणजे कंस (arc). तुकडा जितका रुंद (कोन मोठा), तितकी कडा लांब आणि तितका तुकडा मोठा. इयत्ता १० पासून पुढे : तिथे क्षेत्रमितीत कंस आणि त्रिज्याखंड अंशांत (θ/360) च्या सूत्रांनी काढले; रेडियनमुळे तीच सूत्रे s = rθ आणि A = ½r²θ अशी लहान होतात.

सोपी व्याख्या

त्रिज्या r असलेल्या वर्तुळात केंद्रीय कोन θ (रेडियनमध्ये) असेल तर कंसाची लांबी s = rθ आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ A = ½r²θ = ½rs.

OrθsA

आकृतीत : नारिंगी भाग त्रिज्याखंड A, हिरवा कंस s, केंद्रीय कोन θ.

सूत्र कसे मिळाले? : कंस आणि क्षेत्रफळ दोन्ही केंद्रीय कोनाच्या प्रमाणात असतात. पूर्ण वर्तुळाचा कोन 2π रेडियन आणि परीघ 2πr : s/(2πr) = θ/(2π), म्हणून s = rθ. पूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ πr² : A/(πr²) = θ/(2π), म्हणून A = ½r²θ. s = rθ घेतले तर A = ½r × (rθ) = ½rs.

नियम 1 : कंसाची लांबी — s = rθ, θ रेडियनमध्ये. θ अंशांत दिला असेल तर आधी × π/180 करा.

  • सोपे : r = 7 सेमी, θ = π/2 : s = 7 × π/2 = 11 सेमी (π = 22/7).
  • मध्यम : r = 6 सेमी, θ = 60° = π/3 : s = 6 × π/3 = 2π ≈ 6.28 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : 10 सेमी लांबीच्या मिनिट काट्याचे टोक 20 मिनिटांत 10 × 2π/3 ≈ 20.94 सेमी जाते (θ = 120°).

नियम 2 : त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ — A = ½r²θ = ½rs. θ दुप्पट केला की क्षेत्रफळ दुप्पट. अंशांत : A = (θ°/360°) × πr².

Live आकृती

कंसाची लांबी आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : r = 7, θ = π/2 : A = ½ × 49 × π/2 = 38.5 सेमी² (π = 22/7).
  • मध्यम : r = 6, θ = π/3 : A = ½ × 36 × π/3 = 6π ≈ 18.85 सेमी².
  • परीक्षेसाठी : r = 10, s = 15 : A = ½ × 10 × 15 = 75 सेमी² आणि θ = s/r = 1.5 रेडियन.

नियम 3 : त्रिज्याखंडाची परिमिती — त्रिज्याखंडाची कडा म्हणजे दोन त्रिज्या आणि एक कंस. परिमिती P = 2r + s = r(2 + θ) (θ रेडियनमध्ये). फक्त कंस म्हणजे परिमिती नव्हे.

  • सोपे : r = 10 सेमी, θ = 1.2 रेडियन : s = 12 सेमी, P = 20 + 12 = 32 सेमी.
  • मध्यम : r = 9 सेमी, θ = 40° = 2π/9 : s = 2π ≈ 6.28 सेमी, P = 18 + 2π ≈ 24.28 सेमी.
  • परीक्षेसाठी : r = 9 सेमी, P = 36 सेमी : 18 + s = 36 म्हणून s = 18 सेमी आणि θ = 18 ÷ 9 = 2 रेडियन.

नियम 4 : वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ — जीवा आणि तिच्या कंसामधील भागाला वर्तुळखंड (segment of a circle) म्हणतात. वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ = त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ − त्रिकोण OPQ चे क्षेत्रफळ = ½r²θ − ½r² sin θ = ½r²(θ − sin θ). sin च्या किमती (30°, 60°, 90°) इयत्ता १० मधून : ½, √3/2, 1.

  • सोपे : r = 10 सेमी, θ = 90° = π/2 : त्रिज्याखंड = ½ × 100 × π/2 = 25π; त्रिकोण = ½ × 100 × 1 = 50; वर्तुळखंड = 25π − 50 ≈ 28.54 सेमी².
  • मध्यम : r = 8 सेमी, θ = 30° = π/6 : त्रिज्याखंड = ½ × 64 × π/6 = 16π/3 ≈ 16.76; त्रिकोण = ½ × 64 × ½ = 16; वर्तुळखंड ≈ 0.76 सेमी².
  • परीक्षेसाठी : r = 10 सेमी, θ = 60° = π/3 : त्रिज्याखंड = 50π/3 ≈ 52.36; त्रिकोण = ½ × 100 × √3/2 = 25√3 ≈ 43.30; वर्तुळखंड ≈ 9.06 सेमी².
θOPQrrA₁ = ½r²θA₂ = ½r² sin θA₁ − A₂

आकृतीत : हिरवा भाग वर्तुळखंड; त्याचे क्षेत्रफळ = (नारिंगी रेषांचा त्रिज्याखंड A₁) − (निळा त्रिकोण A₂). येथे θ = 60°.

लक्षात ठेवा

s = rθ आणि A = ½r²θ फक्त θ रेडियनमध्ये असतानाच वापरा.

सामान्य चूक

θ अंशांत ठेवून s = rθ वापरणे. आधी रेडियनमध्ये बदला.

शॉर्टकट

θ आणि r माहीत असेल तर s काढा आणि A = ½ × r × s : दोन पावलांत उत्तर. आठवणीची युक्ती : त्रिज्याखंड त्रिकोणासारखा दिसतो : पाया = कंस s, उंची = त्रिज्या r; म्हणून A = ½ × पाया × उंची = ½rs.

CET सापळा

"परिमिती" मागितली असताना फक्त कंस s काढणे आणि "क्षेत्रफळ" मागितले असताना r²θ लिहिणे (½ विसरणे) हे दोन पर्याय नेहमी दिलेले असतात. तसेच त्रिज्या बदलली की कंस r च्या प्रमाणात बदलतो, पण क्षेत्रफळ r² च्या प्रमाणात.

CET-स्टाइल उदाहरण 1 : 35 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळातील 36° केंद्रीय कोनाच्या कंसाची लांबी किती? (π = 22/7 घ्या) (A) 11 सेमी (B) 22 सेमी (C) 44 सेमी (D) 7 सेमी

उत्तर : (B). 36° हा पूर्ण फेऱ्याचा 1/10 भाग, म्हणून s = (1/10) × 2 × 22/7 × 35 = 22 सेमी. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 36° = 360°/10 असल्याने रेडियन न करता थेट परीघाचा दहावा भाग घ्या.

CET-स्टाइल उदाहरण 2 : त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन तोच ठेवून त्रिज्या 20% ने वाढवली तर क्षेत्रफळ किती टक्क्यांनी वाढेल? (A) 20% (B) 40% (C) 44% (D) 48%

उत्तर : (C). A ∝ r² : (6/5)² = 36/25 = 1.44, म्हणजे 44% वाढ. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 20% वाढ = × 6/5; त्याचा वर्ग करा : 36/25.

फरक ओळखा

राशीअंशात (θ°)रेडियनमध्ये (θ)एकक
कंसाची लांबी s(θ°/360°) × 2πrrθसेमी
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ A(θ°/360°) × πr²½r²θ = ½rsसेमी²
त्रिज्याखंडाची परिमिती P2r + s2r + rθसेमी
वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळत्रिज्याखंड − त्रिकोण½r²(θ − sin θ)सेमी²
केंद्रीय कोन θ—s/rरेडियन

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1r = 5 सेमी, θ = 2 रेडियन : s काढा.
  2. 2s = 12 सेमी, r = 4 सेमी : θ काढा.
  3. 3r = 10 सेमी, s = 6 सेमी : A काढा.
मध्यम
  1. 4r = 12 सेमी, θ = π/6 : s काढा.
  2. 5r = 6 सेमी, θ = 60° : A काढा.
  3. 6s = 15 सेमी, r = 10 सेमी : θ अंशांत (π = 3.14).
आव्हानात्मक
  1. 7s = 22 सेमी, θ = π/2 : r काढा (π = 22/7).
  2. 8r = 8 सेमी, θ = 1.5 रेडियन : s आणि A काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 110 सेमी.
  2. 23 रेडियन.
  3. 3½ × 10 × 6 = 30 सेमी².
  4. 42π ≈ 6.28 सेमी.
  5. 56π ≈ 18.85 सेमी².
  6. 61.5 रेडियन ≈ 85.99° (1.5 × 180/3.14).
  7. 7r = 22 ÷ (π/2) = 44/π = 14 सेमी.
  8. 8s = 12 सेमी, A = ½ × 64 × 1.5 = 48 सेमी².

संपूर्ण धड्याची झटपट उजळणी

संकल्पनामहत्त्वाचे सूत्र / तथ्यएकक / टीप
सहअंत्य कोनθ + 360° × nफरक 360° चा पूर्ण पट
चरण0°–90° I, 90°–180° II, 180°–270° III, 270°–360° IV90°, 180°… चरणसीमा
अंश-मिनिट-सेकंद1° = 60′ = 3600″दशांश × 60
अंश ↔ रेडियनπc = 180°; × π/180; × 180/π1c ≈ 57.3°
बहुभुजकोनबेरीज (n − 2) × 180°; बाह्यकोन 360°/nn = 360° ÷ (180° − अंतर्कोन)
घड्याळ30h − 5.5m (धन मूल्य)180° पेक्षा मोठे असल्यास 360° − उत्तर
कंसाची लांबीs = rθθ रेडियनमध्ये
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळA = ½r²θ = ½rsसेमी²
त्रिज्याखंडाची परिमितीP = 2r + sसेमी
वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ½r²(θ − sin θ)सेमी²

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • धन कोन = काट्यांच्या विरुद्ध; ऋण कोन = काट्यांच्या दिशेने; चरणसीमा कोन कोणत्याही चरणात नसतो.
  • मोठ्या कोनाचा चरण : 360° चे पट वजा किंवा मिळवून कोन 0° ते 360° मध्ये आणा.
  • दशांश अंश × 60 = मिनिटे; उरलेला दशांश × 60 = सेकंद.
  • अंश → रेडियन : × π/180; रेडियन → अंश : × 180/π ("हवं ते वर").
  • सुसम बहुभुजाची बाजूंची संख्या : बाह्यकोन = 180° − अंतर्कोन, n = 360° ÷ बाह्यकोन.
  • घड्याळाचा कोन : 30h − 5.5m; उत्तर 180° पेक्षा मोठे असेल तर 360° मधून वजा करा.
  • s = rθ आणि A = ½r²θ फक्त रेडियनमध्ये; अंश दिले असतील तर आधी रेडियन करा.
  • त्रिज्याखंडाची परिमिती = 2r + s; वर्तुळखंड = त्रिज्याखंड − त्रिकोण.
अभ्यासाचा मंत्र

दिशायुक्त कोन → सहअंत्य → अंश-मिनिट-सेकंद → रेडियन → बहुभुज आणि घड्याळ → s = rθ → A = ½r²θ → परिमिती आणि वर्तुळखंड.