धडा ४: सारणिक आणि आव्यूह

नियम 1 : दुसऱ्या क्रमाचा सारणिक — D = ad − bc : मुख्य कर्णाचा गुणाकार धन, दुसऱ्या कर्णाचा गुणाकार ऋण.

आकृतीत : हिरवा बाण मुख्य कर्ण (a × d, धन) आणि नारिंगी बाण दुसरा कर्ण (b × c, ऋण) दाखवतो.

नियम 2 : तिसऱ्या क्रमाचा सारणिक (पहिल्या ओळीवरून विस्तार) — D = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂) : पहिल्या ओळीची प्रत्येक संख्या तिच्या ओळ आणि स्तंभ खोडल्यावर उरलेल्या लहान सारणिकाने गुणतात; चिन्हे + − + अशी.

सूत्र कसे मिळाले? : दोन समीकरणे a₁x + b₁y = k₁ आणि a₂x + b₂y = k₂ घ्या. पहिल्याला b₂ आणि दुसऱ्याला b₁ ने गुणून वजा केले की y जातो : (a₁b₂ − a₂b₁)x = k₁b₂ − k₂b₁. x चा गुणक a₁b₂ − a₂b₁ हीच दुसऱ्या क्रमाच्या सारणिकाची किंमत आहे, म्हणून D = ad − bc. तीन समीकरणांत हीच वजाबाकी दोनदा केल्यावर तिसऱ्या क्रमाचे सूत्र मिळते.

• सोपे : [[4, 3], [2, 5]] = 4 × 5 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14.
• मध्यम : [[2, 1, 3], [0, 4, −1], [5, 2, 1]] : D = 2(4×1 − (−1)×2) − 1(0×1 − (−1)×5) + 3(0×2 − 4×5) = 2(6) − 1(5) + 3(−20) = 12 − 5 − 60 = −53.
• परीक्षेसाठी : [[x, 4], [3, x]] = 13 असेल तर x काढा : x² − 12 = 13, x² = 25, म्हणून x = 5 किंवा x = −5.

CET-स्टाइल उदाहरण : [[2, −1, 3], [1, 0, 4], [−2, 5, 1]] ची किंमत ? (A) 16 (B) −16 (C) 24 (D) −24

उत्तर : (B). दुसऱ्या ओळीवरून (1, 0, 4) : D = 1×C₂₁ + 0 + 4×C₂₃ = 1×16 + 4×(−8) = 16 − 32 = −16. वेळ वाचवण्याची पद्धत : ज्या ओळीत किंवा स्तंभात 0 असेल त्यावरून विस्तार करा; एक पद गळते आणि चुका कमी होतात.

फरक ओळखा

नियम 1 : चिन्हांचा बुद्धिबळ पट — i + j सम असेल तर सहघटक = उपसारणिक; i + j विषम असेल तर सहघटक = उपसारणिकाचे उलट चिन्ह. चिन्हे आकृतीप्रमाणे + − + / − + − / + − + .

आकृतीत : आकृतीत 3 × 3 सारणिकासाठी सहघटकांची चिन्हे; निळे = धन, नारिंगी = ऋण.

नियम 2 : कोणत्याही ओळीवरून विस्तार — D = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃ आणि असेच कोणत्याही ओळीवरून किंवा स्तंभावरून; पण एका ओळीच्या संख्या दुसऱ्या ओळीच्या सहघटकांनी गुणून बेरीज केली तर उत्तर 0.

सूत्र कसे मिळाले? : तिसऱ्या क्रमाचे सूत्र D = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂) घ्या. a₁ बरोबरचा कंसातील भाग हा a₁ चा उपसारणिक आहे आणि चिन्ह +. b₁ बरोबरचा भाग b₁ चा उपसारणिक आणि चिन्ह −. हीच चिन्हे (−1)^(i + j) ने मिळतात, म्हणून D = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃.

• सोपे : [[3, 1], [2, 4]] मध्ये : M₁₁ = 4, M₁₂ = 2, M₂₁ = 1, M₂₂ = 3; सहघटक C₁₁ = 4, C₁₂ = −2, C₂₁ = −1, C₂₂ = 3.
• मध्यम : [[2, −1, 3], [4, 0, 5], [1, 2, −2]] मध्ये 5 चा उपसारणिक : ओळ 2 आणि स्तंभ 3 खोडा → [[2, −1], [1, 2]] = 4 + 1 = 5; i + j = 5 विषम म्हणून सहघटक = −5.
• परीक्षेसाठी : [[3, 0, 2], [1, 5, 0], [4, 0, 1]] ची किंमत : स्तंभ 2 मध्ये फक्त 5 शून्येतर आहे. D = 5 × C₂₂ = 5 × (3×1 − 2×4) = 5 × (−5) = −25.

CET-स्टाइल उदाहरण : [[2, 3, 1], [0, 4, 5], [1, 0, 6]] मध्ये 5 चा सहघटक ? (A) −3 (B) 3 (C) 5 (D) −5

उत्तर : (B). 5 हा ओळ 2, स्तंभ 3 मध्ये; ओळ 2 आणि स्तंभ 3 खोडल्यावर [[2, 3], [1, 0]] = 0 − 3 = −3 (उपसारणिक); i + j = 5 विषम म्हणून सहघटक = +3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : उपसारणिक −3 आलाच तर पर्यायातील −3 पाहून फसू नका; चिन्ह उलटल्यावर +3.

फरक ओळखा

नियम 1 : मुख्य गुणधर्म — (1) ओळी आणि स्तंभ अदलाबदल केले तरी किंमत तीच. (2) दोन ओळी बदलल्या तर चिन्ह उलटते. (3) दोन ओळी सारख्या असतील तर किंमत 0. (4) एका ओळीला k ने गुणले तर किंमत k ने गुणली जाते. (5) एका ओळीत दुसऱ्या ओळीचे k पट मिळवले तर किंमत बदलत नाही.

आकृतीत : तीन मुख्य गुणधर्म : ओळी बदलणे, सारख्या ओळी, ओळीला k ने गुणणे.

नियम 2 : आणखी उपयुक्त नियम — पूर्ण ओळ शून्यांची असेल तर किंमत 0. कर्णाच्या एका बाजूला सर्व शून्ये असतील (त्रिकोणी) तर किंमत = कर्णावरील संख्यांचा गुणाकार. n क्रमाच्या सारणिकाच्या सर्व संख्यांना k ने गुणले तर किंमत kⁿ पट होते.

सूत्र कसे मिळाले? : गुणधर्म (2) : दुसऱ्या क्रमात [[a, b], [c, d]] = ad − bc. ओळी बदलल्या तर [[c, d], [a, b]] = cb − da = −(ad − bc) — चिन्ह उलटले. गुणधर्म (3) : ओळी सारख्या असतील तर बदलल्यावर सारणिक तोच राहतो आणि चिन्हही उलटते; D = −D म्हणजे 2D = 0, म्हणून D = 0.

• सोपे : [[1, 2], [3, 4]] = 4 − 6 = −2; त्याचे परिवर्त [[1, 3], [2, 4]] = 4 − 6 = −2 (गुणधर्म 1). ओळी बदलल्या : [[3, 4], [1, 2]] = 6 − 4 = 2 (चिन्ह उलटले).
• मध्यम : [[3, 6], [2, 5]] मध्ये पहिल्या ओळीतून 3 बाहेर घ्या : 3 × [[1, 2], [2, 5]] = 3 × (5 − 4) = 3. थेट : 15 − 12 = 3. दोन्ही सारखे.
• परीक्षेसाठी : [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] ची किंमत : R₂ → R₂ − R₁ आणि R₃ → R₃ − R₂ केल्यावर ओळी (1, 2, 3), (3, 3, 3), (3, 3, 3) येतात. दोन ओळी सारख्या, म्हणून D = 0.

CET-स्टाइल उदाहरण : [[1, a, b + c], [1, b, c + a], [1, c, a + b]] ची किंमत ? (A) 0 (B) a + b + c (C) abc (D) 1

उत्तर : (A). C₃ → C₃ + C₂ केल्यावर तिसरा स्तंभ (a + b + c) × (1, 1, 1) होतो; तो स्तंभ पहिल्या स्तंभाचा पट आहे, म्हणून D = 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : a, b, c ची किंमत घालण्यापेक्षा स्तंभ बेरीज करून पाहा; 10 सेकंदांत उत्तर.

फरक ओळखा

नियम 1 : दोन आणि तीन चलांची समीकरणे — x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D येथे D = गुणकांचा सारणिक; Dx मध्ये x चा स्तंभ स्थिर पदांनी बदला, Dy मध्ये y चा, Dz मध्ये z चा.

नियम 2 : त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि एकरेषीयता — क्षेत्रफळ = ½ × D (D चा निरपेक्ष मूल्य) येथे D = [[x₁, y₁, 1], [x₂, y₂, 1], [x₃, y₃, 1]]. तीन बिंदू एका रेषेवर असतील तर क्षेत्रफळ 0, म्हणजे D = 0. उदा. A(1, 1), B(4, 2), C(2, 5) : D = 1(2 − 5) − 1(4 − 2) + 1(20 − 4) = −3 − 2 + 16 = 11, म्हणून क्षेत्रफळ = 11/2 = 5.5.

आकृतीत : A, B, C हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू; क्षेत्रफळ = ½ × 3 × 3 सारणिकाचा निरपेक्ष मूल्य.

सूत्र कसे मिळाले? : दोन समीकरणे a₁x + b₁y = k₁ आणि a₂x + b₂y = k₂. y वगळल्यावर (a₁b₂ − a₂b₁)x = k₁b₂ − k₂b₁, म्हणजे D·x = Dx; म्हणून x = Dx/D. असेच x वगळल्यावर D·y = Dy. क्षेत्रफळासाठी : पायथ्याला आणि उंचीला निर्देशकांनी लिहून ½ × पाया × उंची याचे रूप सारणिकात येते.

• सोपे : 2x + 3y = 13 आणि 4x − y = 5 : D = [[2, 3], [4, −1]] = −2 − 12 = −14; Dx = [[13, 3], [5, −1]] = −13 − 15 = −28; Dy = [[2, 13], [4, 5]] = 10 − 52 = −42. म्हणून x = −28/−14 = 2 आणि y = −42/−14 = 3.
• मध्यम : x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 : D = 7, Dx = 7, Dy = 14, Dz = 21 (प्रत्येक तिसऱ्या क्रमाचा सारणिक विस्तारून). म्हणून x = 1, y = 2, z = 3. तपासा : 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3, 1 + 4 − 3 = 2.
• परीक्षेसाठी : A(1, 2), B(3, 4), C(k, 8) एका रेषेवर असतील तर k काढा : D = [[1, 2, 1], [3, 4, 1], [k, 8, 1]] = 1(4 − 8) − 2(3 − k) + 1(24 − 4k) = −4 − 6 + 2k + 24 − 4k = 14 − 2k. D = 0 म्हणून k = 7.

CET-स्टाइल उदाहरण : बिंदू (1, 2), (5, 2), (3, 7) यांनी बनलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ? (A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 15

उत्तर : (B). दोन बिंदूंचा y सारखा (2), म्हणून पाया = 5 − 1 = 4 आणि उंची = 7 − 2 = 5; क्षेत्रफळ = ½ × 4 × 5 = 10. सारणिकानेही 10. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पाया आडवा दिसला की सारणिक नको; 5 सेकंदांत उत्तर.

फरक ओळखा

नियम 1 : आव्यूहांचे प्रकार — ओळ आव्यूह : फक्त एक ओळ. स्तंभ आव्यूह : फक्त एक स्तंभ. चौरस : ओळी = स्तंभ. शून्य आव्यूह : सर्व संख्या 0. विकर्ण : चौरस, कर्णाबाहेर सर्व 0. अदिश : विकर्ण, कर्णावर सर्व सारख्या. एकक आव्यूह : कर्णावर सर्व 1, बाकी 0. ऊर्ध्व त्रिकोणी : कर्णाखाली सर्व 0. अधर त्रिकोणी : कर्णावर सर्व 0.

आकृतीत : आकृतीत 2 × 3 आव्यूह; a₂₃ म्हणजे 2 ऱ्या ओळीतील आणि 3 ऱ्या स्तंभातील संख्या.

नियम 2 : आव्यूहांची समानता — दोन आव्यूह समान असतील तर त्यांची कोटी सारखी असते आणि संबंधित जागांच्या संख्या सारख्या असतात.

सूत्र कसे मिळाले? : समानतेतून चलांच्या किमती : [[x + y, 2], [3, x − y]] = [[9, 2], [3, 1]] मध्ये संबंधित जागा जुळवा : x + y = 9 आणि x − y = 1. बेरीज केली की 2x = 10, x = 5; मग y = 4. प्रत्येक जागेचे एक समीकरण; असे समीकरण-संच सहज सुटतात.

• सोपे : 2 × 3 आव्यूह जिथे aᵢⱼ = 2i + j : a₁₁ = 3, a₁₂ = 4, a₁₃ = 5, a₂₁ = 5, a₂₂ = 6, a₂₃ = 7. म्हणून आव्यूह [[3, 4, 5], [5, 6, 7]].
• मध्यम : ओळखा : [[2, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]] अदिश; [[1, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 5]] विकर्ण; [[1, 2], [0, 3]] ऊर्ध्व त्रिकोणी; [[1, 0], [0, 1]] एकक.
• परीक्षेसाठी : [[x + y, 2], [3, x − y]] = [[9, 2], [3, 1]] असेल तर x आणि y काढा : x + y = 9, x − y = 1; x = 5 आणि y = 4.

CET-स्टाइल उदाहरण : 2 × 3 कोटीचे किती आव्यूह बनतील ज्यांची प्रत्येक संख्या 0 किंवा 1 आहे ? (A) 12 (B) 36 (C) 64 (D) 8

उत्तर : (C). एकूण 6 जागा, प्रत्येकीला 2 पर्याय; 2⁶ = 64. वेळ वाचवण्याची पद्धत : जागा मोजा, पर्याय घ्या : 2 घाता 6. यादी करण्याची गरज नाही.

फरक ओळखा

नियम 1 : बेरीज, वजाबाकी आणि अदिश गुणाकार — दोन्ही आव्यूहांची कोटी सारखी असेल तरच बेरीज किंवा वजाबाकी शक्य. kA मध्ये A ची प्रत्येक संख्या k ने गुणली जाते. A + B = B + A, पण AB ≠ BA सामान्यतः.

नियम 2 : आव्यूह गुणाकार — AB तेव्हाच शक्य जेव्हा A चे स्तंभ = B च्या ओळी. A ची कोटी m × n आणि B ची n × p असेल तर AB ची कोटी m × p. AB च्या (i, j) जागेची संख्या = A ची i ऱ्या ओळीची B च्या j ऱ्या स्तंभाशी गुणाकार-बेरीज.

आकृतीत : A (2 × 3) आणि B (3 × 2) चा गुणाकार 2 × 2 येतो; पहिली ओळ × पहिला स्तंभ = 5.

सूत्र कसे मिळाले? : एका ग्राहकाने 2 पेन आणि 3 वह्या, दुसऱ्याने 1 पेन आणि 4 वह्या घेतल्या; पेन 5 रुपये आणि वही 20 रुपये. बिल : पहिला = 2×5 + 3×20 = 70, दुसरा = 1×5 + 4×20 = 85. म्हणजे [[2, 3], [1, 4]] × [[5], [20]] = [[70], [85]]. प्रत्येक बिल = एका ओळीची स्तंभाशी गुणाकार-बेरीज, हाच नियम.

नियम 3 : परिवर्त, सममित आणि विषमसममित — (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ आणि (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (क्रम उलटतो). सममित : Aᵀ = A. विषमसममित : Aᵀ = −A (कर्णावरील सर्व संख्या 0). कोणताही चौरस A = ½(A + Aᵀ) + ½(A − Aᵀ), म्हणजे सममित + विषमसममित.

• सोपे : A = [[2, 1], [0, 3]], B = [[1, 4], [2, 0]] : A + B = [[3, 5], [2, 3]]; 2A − B = [[4, 2], [0, 6]] − [[1, 4], [2, 0]] = [[3, −2], [−2, 6]].
• मध्यम : A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[2, 0], [1, 5]] : AB = [[1×2 + 2×1, 1×0 + 2×5], [3×2 + 4×1, 3×0 + 4×5]] = [[4, 10], [10, 20]]; BA = [[2, 4], [16, 22]]. म्हणजे AB ≠ BA.
• परीक्षेसाठी : A = [[1, 4], [2, 3]] चे सममित आणि विषमसममित भाग : ½(A + Aᵀ) = [[1, 3], [3, 3]] आणि ½(A − Aᵀ) = [[0, 1], [−1, 0]]. बेरीज = [[1, 4], [2, 3]] = A.

CET-स्टाइल उदाहरण : A ची कोटी 2 × 3 आणि B ची 3 × 4 असेल तर (AB)ᵀ ची कोटी ? (A) 2 × 4 (B) 4 × 2 (C) 3 × 3 (D) शक्य नाही

उत्तर : (B). AB ची कोटी 2 × 4 (आतले 3 जुळतात); परिवर्त केल्यावर 4 × 2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : संख्या मांडण्याची गरज नाही; फक्त कोटीचे अंक : 2 × 4 उलटा 4 × 2.

फरक ओळखा