K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा ५: सरळ रेषा

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

बिंदुपथ आणि मूलबिंदू स्थानांतरण

रोजच्या जीवनातून

दोन खांबांपासून समान अंतरावर असलेल्या सर्व जागा नकाशावर मांडल्या तर त्या एका ठराविक रेषेवर येतात. अशी अट पाळणाऱ्या सर्व बिंदूंचा मार्ग म्हणजे बिंदुपथ. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये अंतर सूत्र आणि मध्यबिंदू सूत्र शिकलो; बिंदुपथाचे समीकरण काढताना तेच सूत्र वापरतो.

सोपी व्याख्या

दिलेली अट पाळणाऱ्या सर्व बिंदूंच्या संचाला त्या अटीचा बिंदुपथ म्हणतात. त्या बिंदूंच्या निर्देशकांना जोडणारे x आणि y मधील समीकरण म्हणजे बिंदुपथाचे समीकरण. अक्षांची दिशा तीच ठेवून मूलबिंदू दुसऱ्या बिंदूवर नेला तर त्याला मूलबिंदू स्थानांतरण म्हणतात.

नियम 1 : बिंदुपथाचे समीकरण काढण्याच्या तीन पायऱ्या — पायरी 1 : बिंदुपथावरचा कोणताही बिंदू P(x, y) घ्या. पायरी 2 : अट अंतर सूत्राने x आणि y मध्ये लिहा. पायरी 3 : वर्गमूल काढून टाकण्यासाठी दोन्ही बाजूंचे वर्ग करा आणि सोपे करा.

नियम 2 : मूलबिंदू (h, k) वर नेल्यावर — x = X + h, y = Y + k म्हणजेच X = x − h, Y = y − k. येथे (x, y) जुने आणि (X, Y) नवे निर्देशक.

XYA(1, 1)B(5, 3)MP(x, y)2x + y − 8 = 0PA = PB

आकृतीत : A(1, 1) आणि B(5, 3) पासून समान अंतरावरचे बिंदू नारिंगी रेषेवर आहेत; ती AB ला लंब आणि M मधून जाते.

XYX'Y'O'(3, 2)Pold (5, 4)new (2, 2)Ox = X′ + 3, y = Y′ + 2

आकृतीत : नवा मूलबिंदू O′(3, 2); बिंदू P चे जुने निर्देशक (5, 4) आणि नवे (2, 2).

सूत्र कसे मिळाले? : P(x, y) हा बिंदू A(1, 1) आणि B(5, 3) पासून समान अंतरावर आहे : PA² = PB². म्हणून (x − 1)² + (y − 1)² = (x − 5)² + (y − 3)². विस्तार केल्यावर x² आणि y² दोन्ही बाजूंना सारखे असल्याने गळतात : −2x − 2y + 2 = −10x − 6y + 34, म्हणजे 8x + 4y = 32, म्हणून 2x + y − 8 = 0. स्थानांतरणासाठी : नवा अक्ष जुन्या अक्षापासून h अंतरावर असल्याने बिंदू जुन्या अक्षापासून x आणि नव्या अक्षापासून x − h अंतरावर असतो; म्हणून X = x − h.

  • सोपे : A(1, 1) आणि B(5, 3) पासून समान अंतरावरील बिंदूचा बिंदुपथ : वरीलप्रमाणे 2x + y − 8 = 0.
  • मध्यम : (2, −1) पासून नेहमी 5 अंतरावर असलेल्या बिंदूचा बिंदुपथ : (x − 2)² + (y + 1)² = 25.
  • परीक्षेसाठी : मूलबिंदू (3, −2) वर नेला तर 2x − 3y + 5 = 0 चे नवे समीकरण : x = X + 3, y = Y − 2 ठेवा. 2(X + 3) − 3(Y − 2) + 5 = 2X + 6 − 3Y + 6 + 5 = 2X − 3Y + 17. म्हणून नवे समीकरण 2X − 3Y + 17 = 0.
लक्षात ठेवा

बिंदुपथ म्हणजे फक्त एक बिंदू नाही, अटीचे पालन करणारा बिंदूंचा संपूर्ण संच. स्थानांतरणात आकार बदलत नाही, फक्त समीकरण बदलते.

सामान्य चूक

X = x − h ऐवजी X = x + h लिहिणे. नवा मूलबिंदू (h, k) असेल तर नवा निर्देशक जुन्यातून h वजा करून मिळतो.

शॉर्टकट

मूलबिंदू (h, k) वर गेला की जुना बिंदू (x, y) → (x − h, y − k). उलट दिशेने : समीकरण नव्यात लिहायचे तर x च्या जागी X + h ठेवा. आठवणीची युक्ती : "नवे = जुने − घर" (घर म्हणजे नवा मूलबिंदू).

CET सापळा

CET मध्ये x² + y² + 2gx + 2fy + c या रूपातील समीकरणातून एकघाती पदे घालवायला सांगतात; वर्गात पूर्ण करा आणि (−g, −f) हा नवा मूलबिंदू घ्या.

CET-स्टाइल उदाहरण : मूलबिंदू (−1, 3) वर नेला तर x² + y² + 2x − 6y + 1 = 0 चे नवे समीकरण ? (A) X² + Y² = 9 (B) X² + Y² = 1 (C) X² + Y² = 10 (D) X² + Y² = 11

उत्तर : (A). x = X − 1, y = Y + 3 ठेवा : (X − 1)² + (Y + 3)² + 2(X − 1) − 6(Y + 3) + 1 = X² + Y² − 9 = 0, म्हणून X² + Y² = 9. वेळ वाचवण्याची पद्धत : वर्गात पूर्ण करा : (x + 1)² + (y − 3)² = 9; X = x + 1, Y = y − 3 म्हणून लगेच X² + Y² = 9.

फरक ओळखा

मुद्दाबिंदुपथमूलबिंदू स्थानांतरण
काय मिळतेx आणि y मधील समीकरणनवे निर्देशक किंवा नवे समीकरण
सुरुवातअट आणि P(x, y)नवा मूलबिंदू (h, k)
मुख्य सूत्रअंतर सूत्रX = x − h, Y = y − k
आकार बदलतो कानवा आकार तयार होतोआकार तोच राहतो

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(0, 0) आणि B(4, 2) पासून समान अंतरावरील बिंदूचा बिंदुपथ काढा.
  2. 2मूलबिंदूपासून नेहमी 7 अंतरावर असलेल्या बिंदूचा बिंदुपथ लिहा.
  3. 3मूलबिंदू (2, 3) वर नेला तर (5, 7) चे नवे निर्देशक काढा.
मध्यम
  1. 4X-अक्षापासूनचे अंतर Y-अक्षापासूनच्या अंतराच्या दुप्पट असलेल्या बिंदूचा बिंदुपथ काढा.
  2. 5मूलबिंदू (−2, 1) वर नेला तर (3, −4) चे नवे निर्देशक काढा.
  3. 6मूलबिंदू (1, −2) वर नेला तर 3x + 2y − 7 = 0 चे नवे समीकरण काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 मधील एकघाती पदे घालवण्यासाठी मूलबिंदू कुठे न्यावा आणि नवे समीकरण काय ?
  2. 8A(3, −1) आणि B(−1, 5) पासून समान अंतरावरील बिंदूचा बिंदुपथ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x² + y² = (x − 4)² + (y − 2)² वरून 8x + 4y = 20, म्हणून 2x + y − 5 = 0.
  2. 2x² + y² = 49.
  3. 3(5 − 2, 7 − 3) = (3, 4).
  4. 4|y| = 2|x|, म्हणून y² = 4x² (म्हणजे y = 2x आणि y = −2x या दोन रेषा).
  5. 5(3 + 2, −4 − 1) = (5, −5).
  6. 6x = X + 1, y = Y − 2 : 3(X + 1) + 2(Y − 2) − 7 = 3X + 2Y − 8, म्हणून 3X + 2Y − 8 = 0.
  7. 7(x − 3)² + (y + 2)² = 16 ; नवा मूलबिंदू (3, −2) आणि नवे समीकरण X² + Y² = 16.
  8. 8PA² = PB² : −8x + 12y − 16 = 0, म्हणजे 2x − 3y + 4 = 0.

उतार, नतिकोन आणि रेषांमधील कोन

रोजच्या जीवनातून

डोंगराचा रस्ता किती तीव्र चढतो हे सांगण्यासाठी आपण "100 मीटर पुढे गेलो की 10 मीटर वर" असे म्हणतो. रेषेचा उतार हेच मोजतो : वर जाणे ÷ पुढे जाणे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये tan θ = समोरची बाजू ÷ लगतची बाजू शिकलो; उतार म्हणजे तोच tan θ.

सोपी व्याख्या

रेषा X-अक्षाच्या धन दिशेशी घड्याळाच्या उलट दिशेने जो कोन करते त्याला नतिकोन θ म्हणतात (0° ≤ θ < 180°). नतिकोनाच्या tan ला रेषेचा उतार m म्हणतात. उभ्या रेषेचा नतिकोन 90° असल्याने उतार व्याख्यित नसतो.

नियम 1 : उतार काढण्याच्या दोन पद्धती — m = tan θ आणि दोन बिंदूंवरून m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

XY(3, 4)θrise 4run 3m = tan θ = 4/3

आकृतीत : रेषा (0, 0) आणि (3, 4) मधून जाते : वर जाणे 4, पुढे जाणे 3, म्हणून m = 4/3 आणि θ ≈ 53°.

नियम 2 : समांतर आणि लंब रेषा — समांतर : m₁ = m₂. लंब : m₁ × m₂ = −1.

नियम 3 : दोन रेषांमधील कोन — tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| (लघुकोनासाठी). 1 + m₁m₂ = 0 असेल तर रेषा लंब.

XYθslope m₂slope m₁tan θ =|(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|

आकृतीत : उतार 1/2 आणि 3 असलेल्या रेषांमधील कोन θ : tan θ = |(3 − 1/2)/(1 + 3/2)| = 1, म्हणून θ = 45°.

नियम 4 : तीन बिंदू एकरेषीय असण्याची अट — A, B, C एकरेषीय असतील तर AB चा उतार = BC चा उतार.

सूत्र कसे मिळाले? : रेषेवर (x₁, y₁) आणि (x₂, y₂) हे दोन बिंदू घ्या. त्यांच्यातून एक काटकोन त्रिकोण काढा : आडवी बाजू x₂ − x₁ आणि उभी बाजू y₂ − y₁. tan θ = उभी ÷ आडवी, म्हणून m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). दोन रेषांचे नतिकोन θ₁ आणि θ₂ असतील तर त्यांच्यातील कोन θ = θ₂ − θ₁. tan(θ₂ − θ₁) = (tan θ₂ − tan θ₁)/(1 + tan θ₂ tan θ₁) = (m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂). कोन लघु घ्यायचा म्हणून निरपेक्ष मूल्य घेतात.

  • सोपे : (2, 1) आणि (6, 9) मधून जाणाऱ्या रेषेचा उतार = (9 − 1)/(6 − 2) = 8/4 = 2. उतार √3 असेल तर tan θ = √3, म्हणून θ = 60°.
  • मध्यम : (2, 3), (4, 7) आणि (6, k) एकरेषीय असतील तर k : AB चा उतार = (7 − 3)/(4 − 2) = 2. BC चा उतार = (k − 7)/(6 − 4) = 2, म्हणून k − 7 = 4 आणि k = 11.
  • परीक्षेसाठी : उतार 2 आणि 1/3 असलेल्या रेषांमधील लघुकोन : tan θ = |(2 − 1/3)/(1 + 2 × 1/3)| = |(5/3)/(5/3)| = 1, म्हणून θ = 45°.
लक्षात ठेवा

नतिकोन 0° ते 180° च्या मध्ये मोजतात. आडव्या रेषेचा उतार 0 आणि उभ्या रेषेचा उतार व्याख्यित नाही.

सामान्य चूक

उतार ऋण असेल तर θ = tan⁻¹ चे उत्तर ऋण येते; नतिकोन म्हणून 180° − (लघुकोन) घ्या. उदा. m = −1 → θ = 135°, −45° नाही.

शॉर्टकट

लंब रेषेचा उतार = दिलेल्या उताराचा "उलटा आणि चिन्ह बदललेला". उदा. 2/3 → −3/2. समांतर रेषेचा उतार तोच. आठवणीची युक्ती : "लंब = उलटा आणि उलटा चिन्ह".

CET सापळा

CET मध्ये उतार सरळ दिलेला नसतो; आधी रेषेचे समीकरण y = mx + c रूपात आणा किंवा −(x चा गुणक)/(y चा गुणक) वापरा.

CET-स्टाइल उदाहरण : A(1, 2) आणि B(3, k) मधून जाणारी रेषा x + 2y − 5 = 0 ला लंब असेल तर k ? (A) 4 (B) 6 (C) 3 (D) −2

उत्तर : (B). x + 2y − 5 = 0 चा उतार −1/2, म्हणून AB चा उतार 2. (k − 2)/(3 − 1) = 2, k − 2 = 4, k = 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दिलेल्या रेषेचा उतार −1/2 → लंब उतार 2 → "वाढ 2 × पुढे 2 = 4" म्हणून k = 2 + 4.

फरक ओळखा

मुद्दासमांतर रेषालंब रेषाएकरेषीय बिंदू
अटm₁ = m₂m₁m₂ = −1AB चा उतार = BC चा उतार
दोन रेषांमधील कोन0°90°रेषा एकच
उदाहरण2 आणि 22 आणि −1/2(2, 3), (4, 7), (6, 11)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(1, −2) आणि (4, 7) मधून जाणाऱ्या रेषेचा उतार काढा.
  2. 2नतिकोन 135° असलेल्या रेषेचा उतार काय ?
  3. 3नतिकोन 30° असलेल्या रेषेचा उतार काढा.
मध्यम
  1. 4(1, 2) आणि (3, k) मधून जाणारी रेषा (0, 1) आणि (2, 7) मधून जाणाऱ्या रेषेला समांतर असेल तर k काढा.
  2. 5A(1, 1) आणि B(4, k) मधून जाणारी रेषा C(0, 2) आणि D(3, 0) मधून जाणाऱ्या रेषेला लंब असेल तर k काढा.
  3. 6(−1, −5), (1, −1) आणि (4, k) एकरेषीय असतील तर k काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7उतार 3 आणि −2 असलेल्या रेषांमधील लघुकोन काढा.
  2. 8A(1, 1), B(5, 3), C(3, 7) हा त्रिकोण B मध्ये काटकोन आहे हे दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(7 − (−2))/(4 − 1) = 9/3 = 3.
  2. 2m = tan 135° = −1.
  3. 3tan 30° = 1/√3.
  4. 4दिलेल्या रेषेचा उतार (7 − 1)/(2 − 0) = 3. (k − 2)/(3 − 1) = 3, म्हणून k = 8.
  5. 5CD चा उतार = (0 − 2)/(3 − 0) = −2/3, म्हणून AB चा उतार 3/2. (k − 1)/(4 − 1) = 3/2, k − 1 = 9/2, k = 11/2.
  6. 6(−1, −5) आणि (1, −1) चा उतार = 4/2 = 2. (k + 1)/(4 − 1) = 2, k + 1 = 6, k = 5.
  7. 7tan θ = |(3 − (−2))/(1 + 3 × (−2))| = |5/(−5)| = 1, म्हणून θ = 45°.
  8. 8AB चा उतार = 2/4 = 1/2, BC चा उतार = (7 − 3)/(3 − 5) = −2. गुणाकार = −1, म्हणून AB ⊥ BC.

रेषेची प्रमाण रूपे

रोजच्या जीवनातून

दोन खुंट्या ताणलेल्या दोरीने जोडल्या तर दोरी एक सरळ रेषा बनते. दोरी ठरवण्यासाठी आपल्याला एक खुंटी आणि दिशा, किंवा दोन खुंट्या, किंवा दोन अक्षांवरील जागा सांगाव्या लागतात; यातून रेषेची वेगवेगळी रूपे येतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये y = mx + c शिकलो; आता ती आणि त्यासारखी इतर रूपे दिलेल्या माहितीनुसार निवडतो.

सोपी व्याख्या

रेषेचे समीकरण म्हणजे रेषेवरील प्रत्येक बिंदू (x, y) पूर्ण करणारे x आणि y मधील समीकरण. दिलेल्या माहितीनुसार बिंदू-उतार रूप, दोन बिंदू रूप, उतार-अंतःखंड रूप, दोन अंतःखंड रूप आणि लंब रूप यांपैकी योग्य रूप वापरतात.

नियम 1 : बिंदू-उतार आणि दोन बिंदू — y − y₁ = m(x − x₁) आणि (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁).

नियम 2 : उतार-अंतःखंड आणि दोन अंतःखंड — y = mx + c (c = y-अंतःखंड) आणि x/a + y/b = 1 (a = x-अंतःखंड, b = y-अंतःखंड).

XYa = 4b = 3x/a + y/b = 1x/4 + y/3 = 1

आकृतीत : x-अंतःखंड 4 आणि y-अंतःखंड 3 असलेली रेषा : x/4 + y/3 = 1, म्हणजे 3x + 4y − 12 = 0.

नियम 3 : लंब रूप आणि विशेष रेषा — x cos α + y sin α = p (p = मूलबिंदूपासून रेषेपर्यंतचा लंब, α = त्या लंबाचा कोन). आडवी रेषा y = k, उभी रेषा x = h.

सूत्र कसे मिळाले? : रेषेवर P(x, y) आणि दिलेला बिंदू A(x₁, y₁) घ्या. AP चा उतार (y − y₁)/(x − x₁) हा दिलेल्या उतार m इतका असायला हवा : (y − y₁)/(x − x₁) = m, म्हणून y − y₁ = m(x − x₁). हेच बिंदू-उतार रूप. आता त्यात x₁ = 0, y₁ = c ठेवले की y = mx + c येते. दोन अंतःखंड रूपासाठी (a, 0) आणि (0, b) या बिंदूंचा उतार −b/a; बिंदू-उतार रूपात (a, 0) घेतल्यावर y = −(b/a)(x − a), म्हणजे x/a + y/b = 1.

  • सोपे : (3, −1) मधून जाणारी, उतार 2 असलेली रेषा : y + 1 = 2(x − 3), म्हणजे y + 1 = 2x − 6, म्हणून 2x − y − 7 = 0.
  • मध्यम : (2, 5) आणि (6, 1) मधून जाणारी रेषा : उतार = (1 − 5)/(6 − 2) = −1. y − 5 = −1(x − 2), म्हणून x + y − 7 = 0.
  • परीक्षेसाठी : 3x + 4y = 10 चे लंब रूप : √(3² + 4²) = 5 ने भागा. (3/5)x + (4/5)y = 2. म्हणून cos α = 3/5, sin α = 4/5 आणि p = 2.
लक्षात ठेवा

रेषेवरील बिंदूचे निर्देशक समीकरणात ठेवले की दोन्ही बाजू सारख्या येतात; उत्तर तपासण्यासाठी नेहमी दिलेला बिंदू समीकरणात ठेवा.

सामान्य चूक

x/a + y/b = 1 मध्ये a किंवा b ऋण असेल तर चिन्ह विसरणे; तसेच लंब रूपात p नेहमी धन असतो हे विसरणे.

शॉर्टकट

रूप निवडा : एक बिंदू + उतार → बिंदू-उतार; दोन बिंदू → आधी उतार काढा; अक्षांवरील जागा → x/a + y/b = 1; "मूलबिंदूपासून लंब" → लंब रूप. आठवणीची युक्ती : "बिंदू-उतार = बि-उ", "अंतःखंड = अं-अं" : दिलेली माहिती गटात बसवा.

CET सापळा

CET मध्ये "अंतःखंडांची बेरीज" किंवा "x-अंतःखंड y-अंतःखंडाच्या दुप्पट" असे येते : x/a + y/b = 1 मध्ये a = 2b घ्या आणि दिलेला बिंदू ठेवून b काढा.

CET-स्टाइल उदाहरण : (4, 1) मधून जाणाऱ्या रेषेचा x-अंतःखंड y-अंतःखंडाच्या दुप्पट असेल तर रेषा ? (A) x + 2y − 6 = 0 (B) 2x + y − 9 = 0 (C) x + y − 5 = 0 (D) x − 2y − 2 = 0

उत्तर : (A). y-अंतःखंड b, x-अंतःखंड 2b : x/(2b) + y/b = 1. (4, 1) ठेवा : 2/b + 1/b = 1, b = 3. रेषा x/6 + y/3 = 1, म्हणजे x + 2y − 6 = 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पर्याय तपासा : (4, 1) ठेवल्यावर A मध्ये 4 + 2 − 6 = 0 ✓. नंतर अंतःखंड 6 आणि 3 पाहा (6 = 2 × 3).

फरक ओळखा

रूपकेव्हा वापरावेसूत्र
बिंदू-उतारएक बिंदू आणि उतार दिलाy − y₁ = m(x − x₁)
दोन बिंदूदोन बिंदू दिलेउतार काढून बिंदू-उतार
उतार-अंतःखंडउतार आणि y-अंतःखंड दिलाy = mx + c
दोन अंतःखंडदोन्ही अक्षांवरील जागा दिलीx/a + y/b = 1
लंब रूपमूलबिंदूपासूनचा लंब दिलाx cos α + y sin α = p

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1उतार −2 असलेली आणि (1, 3) मधून जाणारी रेषा लिहा.
  2. 2x-अंतःखंड 5 आणि y-अंतःखंड 2 असलेल्या रेषेचे समीकरण लिहा.
  3. 3y-अंतःखंड 4 आणि उतार 3 असलेल्या रेषेचे समीकरण लिहा.
मध्यम
  1. 4(−1, 2) आणि (3, −2) मधून जाणारी रेषा काढा.
  2. 5(2, 1) मधून जाणारी आणि (0, 0), (3, 6) जोडणाऱ्या रेषेला समांतर रेषा काढा.
  3. 6(1, 1) मधून जाणारी आणि x − 3y + 6 = 0 ला लंब रेषा काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(4, 1) मधून जाणारी आणि दोन्ही अक्षांवर समान अंतःखंड कापणारी रेषा काढा.
  2. 84x + 3y − 15 = 0 चे लंब रूप लिहा आणि p काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1y − 3 = −2(x − 1), म्हणून 2x + y − 5 = 0.
  2. 2x/5 + y/2 = 1; 10 ने गुणा : 2x + 5y = 10, म्हणून 2x + 5y − 10 = 0.
  3. 3y = 3x + 4, म्हणजे 3x − y + 4 = 0.
  4. 4उतार = (−2 − 2)/(3 + 1) = −1. y − 2 = −1(x + 1), म्हणून x + y − 1 = 0.
  5. 5उतार = 6/3 = 2. y − 1 = 2(x − 2), म्हणून 2x − y − 3 = 0.
  6. 6दिलेल्या रेषेचा उतार 1/3, म्हणून लंब उतार −3. y − 1 = −3(x − 1), म्हणून 3x + y − 4 = 0.
  7. 7x/a + y/a = 1, म्हणजे x + y = a. (4, 1) ठेवा : a = 5. रेषा x + y − 5 = 0.
  8. 8√(16 + 9) = 5 ने भागा : (4/5)x + (3/5)y = 3, म्हणून p = 3.

रेषेचे सामान्य रूप आणि अंतरे

रोजच्या जीवनातून

शेतात दोन समांतर कुंपणे आहेत आणि त्यांच्यातील सरळ आडवी अंतराची पट्टी म्हणजे दोन समांतर रेषांमधील अंतर. विहिरीपासून कुंपणापर्यंतचे सर्वात कमी अंतर म्हणजे लंब अंतर. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये अंतर सूत्र आणि समांतर रेषा शिकलो; येथे समीकरणावरून थेट अंतर काढतो.

सोपी व्याख्या

सामान्य रूप म्हणजे ax + by + c = 0 (a आणि b दोन्ही एकदम 0 नसतात). या एका रूपात सर्व सरळ रेषा येतात, आडव्या आणि उभ्याही. बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे लंब अंतर म्हणजे बिंदूला रेषेशी जोडणाऱ्या सर्वात लहान रेषाखंडाची लांबी.

नियम 1 : सामान्य रूपातून उतार आणि अंतःखंड — उतार m = −a/b, x-अंतःखंड −c/a, y-अंतःखंड −c/b.

नियम 2 : बिंदूपासून रेषेचे अंतर — d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²). मूलबिंदूपासून अंतर |c| / √(a² + b²).

XYP(4, 4)dd = |3·4 + 4·4 − 12|/5= 16/53x + 4y − 12 = 0

आकृतीत : P(4, 4) पासून 3x + 4y − 12 = 0 पर्यंतचे लंब अंतर d = 16/5.

नियम 3 : समांतर रेषांमधील अंतर आणि क्षेत्रफळ — ax + by + c₁ = 0 आणि ax + by + c₂ = 0 यांच्यातील अंतर d = |c₁ − c₂| / √(a² + b²). रेषा आणि अक्षांनी बनलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × |x-अंतःखंड| × |y-अंतःखंड|.

सूत्र कसे मिळाले? : ax + by + c = 0 मध्ये y काढा : y = −(a/b)x − c/b, म्हणून उतार −a/b. y = 0 ठेवल्यावर x = −c/a आणि x = 0 ठेवल्यावर y = −c/b. अंतरासाठी मूलबिंदू P(x₁, y₁) वर न्या : x = X + x₁, y = Y + y₁. रेषा aX + bY + (ax₁ + by₁ + c) = 0 होते. नवा मूलबिंदू म्हणजे P. मूलबिंदूपासून रेषेचे अंतर |स्थिरपद| / √(a² + b²), म्हणून d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²).

  • सोपे : 5x − 2y + 3 = 0 : उतार = −5/(−2) = 5/2. x-अंतःखंड = −3/5. y-अंतःखंड = −3/(−2) = 3/2.
  • मध्यम : (3, 1) पासून 5x + 12y − 20 = 0 पर्यंतचे अंतर = |15 + 12 − 20|/√(25 + 144) = 7/13.
  • परीक्षेसाठी : (1, 2) पासून 3x + 4y + k = 0 चे अंतर 3 असेल तर k : |3 + 8 + k|/5 = 3, म्हणून |11 + k| = 15. 11 + k = 15 किंवा 11 + k = −15, म्हणून k = 4 किंवा k = −26.
लक्षात ठेवा

अंतर नेहमी धन असते, म्हणून अंश निरपेक्ष मूल्यात ठेवतात. सूत्रात रेषा ax + by + c = 0 रूपात (उजवीकडे 0) हवी.

सामान्य चूक

समांतर रेषांमधील अंतर काढण्यापूर्वी दोन्ही समीकरणांचे x आणि y चे गुणक समान केले नाहीत तर उत्तर चुकते. उदा. 6x + 8y + 20 = 0 ला 2 ने भागा.

शॉर्टकट

अंतर म्हणजे "(बिंदू समीकरणात ठेवून मिळालेली किंमत) ÷ (गुणकांचा वर्गमूळ)". √(a² + b²) साठी लक्षात ठेवा : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. आठवणीची युक्ती : "ठेवा, निरपेक्ष, भागा" — बिंदू ठेवा, निरपेक्ष करा, मग भागा.

CET सापळा

CET मध्ये "अंतर 3 आहे" असे दिले की k च्या दोन किमती येतात (±); पर्यायांत दोन्ही असतात. फक्त एक घेतली तर चूक.

CET-स्टाइल उदाहरण : 8x + 15y + 4 = 0 आणि 8x + 15y − 30 = 0 या रेषांमधील अंतर ? (A) 2 (B) 34 (C) 2/17 (D) 17/2

उत्तर : (A). d = |4 − (−30)|/√(64 + 225) = 34/17 = 2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 8-15-17 चा त्रिकोण ओळखा; अंश 34 = 2 × 17 म्हणून उत्तर लगेच 2.

फरक ओळखा

मुद्दाबिंदूपासून रेषेचे अंतरसमांतर रेषांमधील अंतर
सूत्र(ax₁ + by₁ + c) चे निरपेक्ष मूल्य ÷ √(a² + b²)(c₁ − c₂) चे निरपेक्ष मूल्य ÷ √(a² + b²)
काय दिलेएक बिंदू आणि एक रेषादोन समांतर रेषा
आधी काय करारेषा ax + by + c = 0 रूपात आणादोन्हीचे x, y चे गुणक समान करा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 17x − 2y + 1 = 0 चा उतार काढा.
  2. 22x + 3y − 12 = 0 चे दोन्ही अंतःखंड काढा.
  3. 3मूलबिंदूपासून 5x − 12y + 39 = 0 पर्यंतचे अंतर काढा.
मध्यम
  1. 4(3, −2) पासून 3x + 4y − 5 = 0 पर्यंतचे अंतर काढा.
  2. 53x − 4y + 5 = 0 आणि 3x − 4y − 10 = 0 यांच्यातील अंतर काढा.
  3. 65x + 3y − 30 = 0 आणि अक्षांनी बनलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(2, 1) पासून 5x − 12y + k = 0 चे अंतर 2 असेल तर k च्या दोन्ही किमती काढा.
  2. 8त्रिकोणाचे शिरोबिंदू A(0, 0), B(4, 3) आणि C(2, 5) आहेत. C पासून AB वरील उंची काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1उतार = −7/(−2) = 7/2.
  2. 2x-अंतःखंड = 12/2 = 6 आणि y-अंतःखंड = 12/3 = 4.
  3. 3|39|/√(25 + 144) = 39/13 = 3.
  4. 4|9 − 8 − 5|/5 = 4/5.
  5. 5d = |5 − (−10)|/√(9 + 16) = 15/5 = 3.
  6. 6अंतःखंड 6 आणि 10. क्षेत्रफळ = ½ × 6 × 10 = 30.
  7. 7|10 − 12 + k|/13 = 2, म्हणून |k − 2| = 26. k = 28 किंवा k = −24.
  8. 8AB ची रेषा : 3x − 4y = 0. उंची = |3 × 2 − 4 × 5|/5 = 14/5.

रेषाकुल आणि संगामी रेषा

रोजच्या जीवनातून

एकाच चौकात येऊन मिळणारे अनेक रस्ते पाहा; सर्व रस्ते एका जागी भेटतात. अशा एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व रेषांचा गट म्हणजे रेषाकुल. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये दोन समीकरणे सोडवून छेदनबिंदू काढला; येथे त्याच बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व रेषा एका सूत्रात बांधतो.

सोपी व्याख्या

एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या रेषांना संगामी रेषा म्हणतात आणि त्या बिंदूला संगम बिंदू म्हणतात. एकाच गुणधर्माच्या रेषांच्या समूहाला रेषाकुल म्हणतात; येथे सर्व रेषा L₁ = 0 आणि L₂ = 0 च्या छेदनबिंदूतून जातात.

नियम 1 : छेदनबिंदू आणि रेषाकुल — L₁ = 0 आणि L₂ = 0 चा छेदनबिंदू = दोन समीकरणे एकत्र सोडवून मिळणारा (x, y). त्या बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व रेषा : L₁ + kL₂ = 0 (k कोणतीही संख्या).

XYP(3, 1)x + y − 4 = 0x − y − 2 = 0L₁ + kL₂ = 0

आकृतीत : x + y − 4 = 0 आणि x − y − 2 = 0 यांच्या छेदनबिंदू P(3, 1) तून जाणाऱ्या रेषा : k च्या वेगवेगळ्या किमती हिरव्या रेषा देतात.

नियम 2 : तीन रेषा संगामी असण्याची अट — तिसरी रेषा पहिल्या दोन रेषांच्या छेदनबिंदूतून जायला हवी. किंवा [[a₁, b₁, c₁], [a₂, b₂, c₂], [a₃, b₃, c₃]] = 0.

सूत्र कसे मिळाले? : P(x₀, y₀) हा L₁ = 0 आणि L₂ = 0 चा छेदनबिंदू आहे म्हणजे L₁(x₀, y₀) = 0 आणि L₂(x₀, y₀) = 0. मग L₁ + kL₂ मध्ये (x₀, y₀) ठेवल्यावर 0 + k × 0 = 0. म्हणजे k कोणताही असला तरी L₁ + kL₂ = 0 ही रेषा P मधून जाते. संगामी रेषांसाठी : तीनही समीकरणांना एकच (x₀, y₀) पूर्ण करतात, म्हणून सारणिक 0 येतो (सारणिकाच्या धड्यात पाहिल्याप्रमाणे).

  • सोपे : 2x + 3y = 12 आणि x − y = 1 चा छेदनबिंदू : दुसऱ्याला 3 ने गुणून बेरीज करा : 5x = 15, x = 3. मग y = 2. तपासा : 6 + 6 = 12 ✓. बिंदू (3, 2).
  • मध्यम : x + y − 6 = 0 आणि 2x − y + 3 = 0 च्या छेदनबिंदूतून आणि मूलबिंदूतून जाणारी रेषा : बेरीज 3x − 3 = 0, x = 1, y = 5. बिंदू (1, 5) आणि (0, 0) यांचा उतार 5, म्हणून y = 5x, म्हणजे 5x − y = 0.
  • परीक्षेसाठी : x + 2y − 5 = 0, 3x − y − 1 = 0 आणि 3x + ky − 13 = 0 संगामी असतील तर k : पहिल्या दोन रेषांचा छेदनबिंदू (1, 2). तिसऱ्यात ठेवा : 3 + 2k − 13 = 0, म्हणून k = 5.
लक्षात ठेवा

L₁ + kL₂ = 0 मध्ये k ने काहीही ठरवता येते : एक अट (उदा. दिलेला बिंदू) दिली की k ची किंमत मिळते. L₂ स्वतः या रेषाकुलात k = ∞ ने येते.

सामान्य चूक

छेदनबिंदू न काढता k ठरवताना दोन्ही समीकरणांचे चिन्ह चुकवणे; समीकरणे प्रथम "= 0" रूपात लिहा आणि मगच L₁ + kL₂ बनवा.

शॉर्टकट

k वाले पद वेगळे करा : (x + y − 4) + k(x − y − 2) = 0 मध्ये k चे गुणक आणि k शिवायची पदे वेगळी = 0 ठेवा. दोन समीकरणे मिळतात आणि स्थिर बिंदू लगेच. आठवणीची युक्ती : "k सोबत आणि k शिवाय — दोन्ही शून्य".

CET सापळा

CET मध्ये "रेषा स्थिर बिंदूतून जाते" असे दिले की k च्या पदांचे गट करा. सर्व पर्याय तपासत बसू नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : (1 + k)x + (2 − k)y − (5 + 2k) = 0 ही रेषा k कोणताही असला तरी ज्या स्थिर बिंदूतून जाते तो ? (A) (3, 1) (B) (1, 3) (C) (−3, 1) (D) (3, −1)

उत्तर : (A). k चे गट : (x + 2y − 5) + k(x − y − 2) = 0. x + 2y = 5 आणि x − y = 2 सोडवा : वजाबाकी 3y = 3, y = 1, x = 3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : k = 0 आणि k = 1 ठेवून दोन रेषा मिळवा आणि त्यांचा छेदनबिंदू काढा.

फरक ओळखा

मुद्दासंगामी रेषाएकरेषीय बिंदू
काय असतेतीन किंवा अधिक रेषातीन किंवा अधिक बिंदू
अर्थसर्व रेषा एका बिंदूतून जातातसर्व बिंदू एका रेषेवर असतात
अटसारणिक = 0 किंवा तिसरी रेषा छेदनबिंदूतूनउतार समान किंवा क्षेत्रफळ 0

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x + y = 9 आणि x − y = 1 चा छेदनबिंदू काढा.
  2. 22x − y = 1 आणि x + y = 5 चा छेदनबिंदू काढा.
  3. 3(x + y − 4) + k(x − y − 2) = 0 ही रेषा k कोणताही असला तरी कोणत्या बिंदूतून जाते ?
मध्यम
  1. 4x + y − 5 = 0 आणि x − y − 1 = 0 च्या छेदनबिंदूतून आणि मूलबिंदूतून जाणारी रेषा काढा.
  2. 52x + y − 8 = 0 आणि x − y + 2 = 0 च्या छेदनबिंदूतून जाणारी आणि x + 2y − 3 = 0 ला समांतर रेषा काढा.
  3. 6x + y − 2 = 0, 2x − y − 1 = 0 आणि 3x + ky − 7 = 0 संगामी असतील तर k काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7सारणिक वापरून दाखवा की 2x + y − 5 = 0, x − y − 1 = 0 आणि 3x + 4y − 10 = 0 संगामी आहेत.
  2. 8x + y − 3 = 0 आणि 2x − y = 0 च्या छेदनबिंदूतून जाणारी आणि 2x + 3y − 1 = 0 ला लंब रेषा काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1बेरीज : 2x = 10, x = 5, y = 4. बिंदू (5, 4).
  2. 2बेरीज : 3x = 6, x = 2, y = 3. बिंदू (2, 3).
  3. 3x + y − 4 = 0 आणि x − y − 2 = 0 सोडवा : बिंदू (3, 1).
  4. 4छेदनबिंदू (3, 2). (0, 0) शी जोडणारी रेषा : y = (2/3)x, म्हणजे 2x − 3y = 0.
  5. 5छेदनबिंदू (2, 4). समांतर रेषा x + 2y + k = 0 : 2 + 8 + k = 0, k = −10. रेषा x + 2y − 10 = 0.
  6. 6पहिल्या दोन रेषांचा छेदनबिंदू (1, 1). 3 + k − 7 = 0, म्हणून k = 4.
  7. 7[[2, 1, −5], [1, −1, −1], [3, 4, −10]] = 2(10 + 4) − 1(−10 + 3) + (−5)(4 + 3) = 28 + 7 − 35 = 0, म्हणून संगामी.
  8. 8छेदनबिंदू (1, 2). लंब रेषा 3x − 2y + k = 0 : 3 − 4 + k = 0, k = 1. रेषा 3x − 2y + 1 = 0.

धडा ५ : सरळ रेषा — झटपट उजळणी

मुद्दासूत्र किंवा नियम
बिंदुपथP(x, y) घ्या, अट लिहा, वर्ग करून सोपे करा
स्थानांतरणX = x − h, Y = y − k
उतारm = tan θ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
समांतर / लंबm₁ = m₂ / m₁m₂ = −1
रेषांमधील कोनtan θ = (m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂) चे निरपेक्ष मूल्य
बिंदू-उतारy − y₁ = m(x − x₁)
अंतःखंड रूपx/a + y/b = 1
लंब रूपx cos α + y sin α = p
बिंदूपासून अंतर(ax₁ + by₁ + c) चे निरपेक्ष मूल्य ÷ √(a² + b²)
रेषाकुलL₁ + kL₂ = 0

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • अट मिळाली की P(x, y) घ्या आणि वर्ग करा.
  • उतार लंबासाठी "उलटा आणि चिन्ह बदला".
  • दिलेल्या माहितीनुसार रेषेचे रूप निवडा आणि शेवटी बिंदू ठेवून तपासा.
  • अंतर नेहमी धन; निरपेक्ष लावा.
  • संगामी रेषा : छेदनबिंदू काढा आणि तिसऱ्यात ठेवा.
  • CET मध्ये k च्या दोन किमती येऊ शकतात.
अभ्यासाचा मंत्र

अट → समीकरण → तपासणी. प्रत्येक वेळी दिलेला बिंदू समीकरणात ठेवून पाहा.