धडा ६: वर्तुळ

नियम 1 : केंद्र-त्रिज्या रूप — (x − h)² + (y − k)² = r². केंद्र मूलबिंदू असेल तर x² + y² = r².

आकृतीत : केंद्र C(h, k) पासून वर्तुळावरील कोणताही बिंदू P(x, y) याचे अंतर r.

नियम 2 : व्यासाच्या टोकांवरून — व्यासाची टोके (x₁, y₁) आणि (x₂, y₂) असतील तर (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0. किंवा केंद्र = मध्यबिंदू आणि r = व्यास ÷ 2.

आकृतीत : A आणि B व्यासाची टोके; C हा AB चा मध्यबिंदू.

सूत्र कसे मिळाले? : केंद्र C(h, k) आणि वर्तुळावरील बिंदू P(x, y) घ्या. CP = r. अंतर सूत्राने √((x − h)² + (y − k)²) = r. दोन्ही बाजूंचे वर्ग केले की (x − h)² + (y − k)² = r². व्यासाच्या टोकांसाठी : वर्तुळावरील P मधून व्यासाची टोके A आणि B ला जोडल्यास कोन APB = 90°, म्हणून PA आणि PB चे उतार गुणले की −1 येते. हे लिहिले आणि सोपे केले की (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0.

• सोपे : केंद्र (−2, 3), त्रिज्या 4 : (x + 2)² + (y − 3)² = 16.
• मध्यम : केंद्र (1, −1) आणि (4, 3) मधून जाणारे वर्तुळ : r² = (4 − 1)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25. समीकरण (x − 1)² + (y + 1)² = 25.
• परीक्षेसाठी : व्यासाची टोके (−1, 2) आणि (5, −4) : (x + 1)(x − 5) + (y − 2)(y + 4) = 0, म्हणजे x² − 4x − 5 + y² + 2y − 8 = 0, म्हणून x² + y² − 4x + 2y − 13 = 0. (केंद्र (2, −1) आणि r² = 18 असेही मिळते.)

CET-स्टाइल उदाहरण : वर्तुळ X-अक्षाला (3, 0) मध्ये स्पर्श करते आणि (1, 2) मधून जाते. त्याचे समीकरण ? (A) (x − 3)² + (y − 2)² = 4 (B) (x − 3)² + (y − 1)² = 1 (C) (x − 3)² + (y − 4)² = 16 (D) (x − 1)² + (y − 3)² = 4

उत्तर : (A). केंद्र (3, k), r = k. (1 − 3)² + (2 − k)² = k², 4 + 4 − 4k = 0, k = 2. समीकरण (x − 3)² + (y − 2)² = 4. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पर्यायांत (1, 2) ठेवा : A मध्ये 4 + 0 = 4 ✓ आणि केंद्राचा y = r (2 = 2) ✓; इतर पर्याय एका अटीतच अपयशी.

फरक ओळखा

नियम 1 : केंद्र आणि त्रिज्या — केंद्र (−g, −f) आणि त्रिज्या r = √(g² + f² − c).

आकृतीत : x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 : g = −3, f = 2, केंद्र (3, −2), r = √(9 + 4 + 12) = 5.

नियम 2 : बिंदूची स्थिती आणि तीन बिंदू — S₁ = x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c : S₁ < 0 आत, S₁ = 0 वर, S₁ > 0 बाहेर. तीन बिंदू दिले तर x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 मध्ये प्रत्येक बिंदू ठेवून तीन समीकरणे सोडवा.

सूत्र कसे मिळाले? : (x − h)² + (y − k)² = r² चा विस्तार करा : x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² − r² = 0. x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 शी तुलना : 2g = −2h, 2f = −2k, c = h² + k² − r². म्हणून h = −g, k = −f आणि r² = h² + k² − c = g² + f² − c.

• सोपे : x² + y² − 8x + 6y = 0 : 2g = −8, 2f = 6, c = 0. g = −4, f = 3. केंद्र (4, −3) आणि r = √(16 + 9 − 0) = 5.
• मध्यम : (0, 0), (8, 0) आणि (0, 6) मधून जाणारे वर्तुळ : (0, 0) वरून c = 0. (8, 0) वरून 64 + 16g = 0, g = −4. (0, 6) वरून 36 + 12f = 0, f = −3. समीकरण x² + y² − 8x − 6y = 0.
• परीक्षेसाठी : x² + y² + 2x − 6y + k = 0 ची त्रिज्या 2 असेल तर k : g = 1, f = −3. r² = 1 + 9 − k = 4, म्हणून k = 6. (वास्तव वर्तुळासाठी 10 − k > 0, म्हणजे k < 10.)

CET-स्टाइल उदाहरण : बिंदू (2, 1) हा x² + y² − 10x − 4y + 4 = 0 या वर्तुळाच्या कोठे आहे ? (A) आत (B) वर (C) बाहेर (D) केंद्रावर

उत्तर : (A). S₁ = 4 + 1 − 20 − 4 + 4 = −15 < 0, म्हणून आत. वेळ वाचवण्याची पद्धत : फक्त चिन्ह पाहा : −15 ऋण म्हणून आत. केंद्र (5, 2) आहे; (2, 1) केंद्र नाही.

फरक ओळखा

नियम 1 : प्राचल समीकरणे — केंद्र (h, k), त्रिज्या r : x = h + r cos θ, y = k + r sin θ. केंद्र मूलबिंदू : x = r cos θ, y = r sin θ.

आकृतीत : काटकोन त्रिकोणात आडवी बाजू r cos θ आणि उभी बाजू r sin θ.

नियम 2 : प्राचल ते कार्तीय — cos θ = (x − h)/r आणि sin θ = (y − k)/r ठेवून cos²θ + sin²θ = 1 वापरा : (x − h)² + (y − k)² = r².

सूत्र कसे मिळाले? : केंद्र C(h, k) आणि वर्तुळावरील P(x, y) जोडा. P मधून X-अक्षाला लंब काढा : काटकोन त्रिकोण मिळतो ज्यात कर्ण r आहे. आडवी बाजू = r cos θ आणि उभी बाजू = r sin θ. म्हणून P चा x = h + r cos θ आणि y = k + r sin θ.

• सोपे : केंद्र मूलबिंदू, r = 5, θ = 90° : (5 cos 90°, 5 sin 90°) = (0, 5).
• मध्यम : केंद्र (2, −1), r = 3, θ = 180° : x = 2 + 3 cos 180° = 2 − 3 = −1 आणि y = −1 + 3 sin 180° = −1. बिंदू (−1, −1).
• परीक्षेसाठी : x = 1 + 4 cos θ, y = 2 + 4 sin θ चे कार्तीय समीकरण : cos θ = (x − 1)/4 आणि sin θ = (y − 2)/4. वर्ग करून बेरीज : (x − 1)²/16 + (y − 2)²/16 = 1, म्हणून (x − 1)² + (y − 2)² = 16.

CET-स्टाइल उदाहरण : x = 3 + 5 cos θ, y = −2 + 5 sin θ या वर्तुळावर y ची कमाल किंमत ? (A) 3 (B) −7 (C) 5 (D) 8

उत्तर : (A). y = −2 + 5 sin θ आणि sin θ ची कमाल 1 : y = −2 + 5 = 3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : केंद्राचा y (−2) + त्रिज्या (5) = 3, गणित न करता.

फरक ओळखा

नियम 1 : बिंदूवरील स्पर्शिका — x² + y² = r² ला (x₁, y₁) वर : xx₁ + yy₁ = r². x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ला : xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0.

आकृतीत : स्पर्शबिंदू P वरील त्रिज्या CP आणि स्पर्शिका एकमेकींना लंब.

नियम 2 : स्पर्शाची अट आणि उतारावरून — y = mx + c हे x² + y² = r² ला स्पर्श करते जर c² = r²(1 + m²). उतार m दिला तर स्पर्शिका y = mx ± r√(1 + m²). सर्वसाधारण : केंद्रापासून रेषेचे अंतर = r.

नियम 3 : स्पर्शिकेची लांबी — बाह्य बिंदू (x₁, y₁) पासून : लांबी = √S₁, जेथे S₁ = x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c. बाह्य बिंदूपासून दोन समान लांबीच्या स्पर्शिका येतात.

आकृतीत : बाह्य बिंदू P पासून दोन स्पर्शिका PA आणि PB समान लांबीच्या.

सूत्र कसे मिळाले? : केंद्र मूलबिंदू, स्पर्शबिंदू P(x₁, y₁). त्रिज्या OP चा उतार y₁/x₁. स्पर्शिका तिला लंब म्हणून तिचा उतार −x₁/y₁. y − y₁ = −(x₁/y₁)(x − x₁), म्हणजे xx₁ + yy₁ = x₁² + y₁² = r². लांबीसाठी : बाह्य बिंदू P, केंद्र C, स्पर्शबिंदू A. त्रिकोण CAP मध्ये A वर काटकोन. म्हणून PA² = CP² − CA² = CP² − r². ही किंमत S₁ आहे.

• सोपे : x² + y² = 100 ला (6, 8) वरील स्पर्शिका : 6x + 8y = 100, म्हणजे 3x + 4y − 50 = 0.
• मध्यम : x² + y² = 50 ला उतार −1 असलेल्या स्पर्शिका : c² = 50 × (1 + 1) = 100, c = ±10. रेषा y = −x ± 10, म्हणजे x + y − 10 = 0 आणि x + y + 10 = 0.
• परीक्षेसाठी : (4, 9) पासून x² + y² − 2x − 6y + 1 = 0 ला स्पर्शिकेची लांबी : S₁ = 16 + 81 − 8 − 54 + 1 = 36. लांबी = √36 = 6.

CET-स्टाइल उदाहरण : 4x − 3y + k = 0 ही रेषा x² + y² = 9 ला स्पर्श करते. k ची धन किंमत ? (A) 15 (B) 9 (C) 5 (D) 3

उत्तर : (A). केंद्रापासून अंतर = r : |k|/√(16 + 9) = 3, |k| = 15, k = 15. वेळ वाचवण्याची पद्धत : मूलबिंदू केंद्र असताना k = r × √(a² + b²) = 3 × 5 = 15.

फरक ओळखा

नियम 1 : दिग्दर्शक वर्तुळ — x² + y² = r² चे दिग्दर्शक वर्तुळ x² + y² = 2r². (x − h)² + (y − k)² = r² चे : (x − h)² + (y − k)² = 2r². केंद्र तेच, त्रिज्या r√2.

आकृतीत : हिरव्या दिग्दर्शक वर्तुळावरील P मधून दोन स्पर्शिका एकमेकींना लंब.

नियम 2 : रेषा आणि वर्तुळ — केंद्रापासून रेषेचे अंतर d : d < r छेदते, d = r स्पर्श करते, d > r भेटत नाही. जीवेची लांबी 2√(r² − d²).

आकृतीत : केंद्रापासून d अंतरावरील रेषा AB ही जीवा बनवते; AB = 2√(r² − d²).

नियम 3 : दोन वर्तुळांची स्थिती — केंद्रांमधील अंतर d, त्रिज्या r₁ आणि r₂ : d = r₁ + r₂ बाह्य स्पर्श; d = |r₁ − r₂| अंतर्गत स्पर्श; d > r₁ + r₂ वेगळी; |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ दोन बिंदूंत छेदतात.

सूत्र कसे मिळाले? : P हा दिग्दर्शक वर्तुळावरचा बिंदू असून त्यातून दोन स्पर्शिका लंब आहेत. स्पर्शबिंदू A आणि B, केंद्र C. चौकोन CAPB मध्ये तीन कोन 90° आहेत, म्हणून तो चौरस, ज्याची बाजू r. चौरसाचा कर्ण CP = r√2. म्हणून P हा केंद्रापासून r√2 अंतरावर, आणि बिंदुपथ x² + y² = 2r². जीवेसाठी : केंद्रापासून जीवेवर लंब जीवेला दुभागतो; काटकोन त्रिकोणात (अर्धी जीवा)² = r² − d².

• सोपे : x² + y² = 49 का दिग्दर्शक वर्तुळ : x² + y² = 2 × 49 = 98.
• मध्यम : 5x + 12y − 39 = 0 आणि x² + y² = 9 : d = 39/√(25 + 144) = 39/13 = 3 = r. म्हणून रेषा वर्तुळाला स्पर्श करते.
• परीक्षेसाठी : 5x + 12y − 65 = 0 ही रेषा x² + y² = 169 मधून कापते त्या जीवेची लांबी : d = 65/13 = 5. जीवा = 2√(169 − 25) = 2 × 12 = 24.

CET-स्टाइल उदाहरण : x² + y² = 16 आणि (x − 6)² + y² = 4 ही वर्तुळे ? (A) बाह्य स्पर्श करतात (B) अंतर्गत स्पर्श करतात (C) दोन बिंदूंत छेदतात (D) वेगळी आहेत

उत्तर : (A). केंद्रे (0, 0) आणि (6, 0), d = 6. r₁ = 4, r₂ = 2. r₁ + r₂ = 6 = d, म्हणून बाह्य स्पर्श. वेळ वाचवण्याची पद्धत : आधी r₁ + r₂ तपासा; ते d शी जुळले की उत्तर तयार.

फरक ओळखा