परवलय : प्रमाण रूपे
टॉर्चच्या परावर्तकाचा आकार आणि सॅटेलाइट डिशचा आकार परवलयाचा असतो. डिशच्या एका विशेष बिंदूवर सर्व लहरी एकत्र येतात; त्याला नाभी म्हणतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये दोन बिंदूंमधील अंतर आणि वर्तुळ शिकलो; परवलय हाही अंतराच्या अटीवरूनच बनतो : "नाभी आणि नियता यांपासून सारखे अंतर".
स्थिर बिंदू (नाभी) आणि स्थिर रेषा (नियता) यांपासून सारख्या अंतरावर असणाऱ्या बिंदूंचा बिंदुपथ म्हणजे परवलय. नाभीतून जाणारी आणि नियतेला लंब रेषा म्हणजे अक्ष; अक्ष आणि परवलय यांचा छेदबिंदू म्हणजे शिरोबिंदू.
नियम 1 : चार प्रमाण रूपे — y² = 4ax : नाभी (a, 0), नियता x = −a. y² = −4ax : नाभी (−a, 0), नियता x = a. x² = 4ay : नाभी (0, a), नियता y = −a. x² = −4ay : नाभी (0, −a), नियता y = a. शिरोबिंदू मूलबिंदू.
आकृतीत : P वरून नाभी F आणि नियतेवरील M पर्यंतची अंतरे सारखी (PF = PM); हिरवा रेषाखंड नाभिलंब.
नियम 2 : नाभिलंब आणि नाभीपासूनचे अंतर — नाभीतून अक्षाला लंब असणारी जीवा म्हणजे नाभिलंब; y² = 4ax मध्ये तिची लांबी 4a आणि टोके (a, ±2a). बिंदू (x₁, y₁) चे नाभीपासूनचे अंतर x₁ + a.
सूत्र कसे मिळाले? : P(x, y) हा परवलयावर आहे. नाभी F(a, 0) आणि नियता x = −a. PF = PM म्हणजे √((x − a)² + y²) = x + a. दोन्ही बाजूंचे वर्ग : (x − a)² + y² = (x + a)². (x − a)² आणि (x + a)² मधील फरक 4ax, म्हणून y² = 4ax.
- सोपे : y² = 12x : 4a = 12, a = 3. नाभी (3, 0), नियता x = −3, नाभिलंबाची लांबी 12.
- मध्यम : नाभी (0, −5) आणि शिरोबिंदू मूलबिंदू : a = 5 आणि परवलय खाली उघडते. समीकरण x² = −4ay = −20y.
- परीक्षेसाठी : y² = 16x वरील बिंदू नाभीपासून 9 अंतरावर : x₁ + 4 = 9, x₁ = 5. y² = 80, y = ±4√5. बिंदू (5, 4√5) आणि (5, −4√5).
चार रूपांत y² असेल तर परवलय डावी–उजवीकडे (अक्ष X) आणि x² असेल तर वर–खाली (अक्ष Y) उघडते. धन गुणक म्हणजे उजवीकडे/वर, ऋण म्हणजे डावीकडे/खाली.
y² = 12x वरून a = 12 घेणे. 4a = 12 म्हणून a = 3. नाभी (12, 0) नव्हे, (3, 0).
गुणकाला 4 ने भागा : तोच a. y² = 4ax साठी नाभी = (गुणक ÷ 4, 0), नियता x = −(गुणक ÷ 4); नाभिलंब = गुणक स्वतः. आठवणीची युक्ती : "चार भागा, a मिळवा; नाभिलंब म्हणजे गुणक".
CET मध्ये नाभिलंबाची टोके दिली जातात; त्यावरून a = (x-निर्देशक) घ्या आणि 4a गुणक होतो.
CET-स्टाइल उदाहरण : ज्या परवलयाच्या नाभिलंबाची टोके (3, 6) आणि (3, −6) आहेत (शिरोबिंदू मूलबिंदू) त्याचे समीकरण ? (A) y² = 12x (B) y² = 6x (C) y² = 24x (D) y² = 3x
उत्तर : (A). नाभिलंब x = a ही रेषा, म्हणून a = 3 आणि y² = 4 × 3 × x = 12x. वेळ वाचवण्याची पद्धत : टोक (a, 2a) : 2a = 6 आणि a = 3; 4a = 12.
फरक ओळखा
| मुद्दा | y² = 4ax | x² = 4ay |
|---|---|---|
| अक्ष | X-अक्ष | Y-अक्ष |
| नाभी | (a, 0) | (0, a) |
| नियता | x = −a | y = −a |
| उघडते | उजवीकडे | वर |
सरावासाठी प्रश्न
- 1y² = 20x ची नाभी आणि नियता लिहा.
- 2x² = −16y च्या नाभिलंबाची लांबी सांगा.
- 3नाभी (6, 0) आणि शिरोबिंदू मूलबिंदू असलेल्या परवलयाचे समीकरण लिहा.
- 4x² = 4ay हे परवलय (4, 2) मधून जाते. समीकरण लिहा.
- 5y² = 12x वरील (3, 6) या बिंदूचे नाभीपासूनचे अंतर काढा.
- 6नाभी (−4, 0) आणि शिरोबिंदू मूलबिंदू असलेल्या परवलयाचे समीकरण लिहा.
- 7y² = 8x वरील बिंदू नाभीपासून 10 अंतरावर आहेत. ते बिंदू काढा.
- 8y² = 8x च्या शिरोबिंदू आणि नाभिलंबाच्या टोकांनी बनणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1a = 5. नाभी (5, 0) आणि नियता x = −5.
- 2लांबी 16.
- 3a = 6 म्हणून y² = 24x.
- 416 = 4a × 2 = 8a, म्हणून a = 2 आणि x² = 8y.
- 5a = 3. अंतर = x₁ + a = 3 + 3 = 6.
- 6a = 4 आणि परवलय डावीकडे उघडते : y² = −16x.
- 7a = 2. x₁ + 2 = 10, x₁ = 8, y² = 64, y = ±8. बिंदू (8, 8) आणि (8, −8).
- 8a = 2. टोके (2, 4) आणि (2, −4); पाया 8 आणि उंची 2. क्षेत्रफळ = ½ × 8 × 2 = 8.
परवलय : प्राचल रूप आणि स्पर्शिका
चेंडू हवेत उडवला की तो ठरावीक क्षणी ठरावीक जागी असतो; क्षण बदलला की जागा बदलते. असे एकाच चलावर (क्षण) अवलंबून असलेले बिंदू म्हणजे प्राचल रूप. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये सरळ रेषेचा उतार आणि रेषेचे समीकरण शिकलो; स्पर्शिका म्हणजे अशी रेषा जी परवलयाला एकाच बिंदूत भेटते.
y² = 4ax वरील प्रत्येक बिंदू (at², 2at) या रूपात लिहिता येतो; t हा प्राचल. परवलयाला एकाच बिंदूत स्पर्श करणारी रेषा म्हणजे स्पर्शिका.
नियम 1 : बिंदूवरील स्पर्शिका — y² = 4ax ला (x₁, y₁) वर : yy₁ = 2a(x + x₁). t या बिंदूवर : ty = x + at². x² = 4ay ला (x₁, y₁) वर : xx₁ = 2a(y + y₁).
आकृतीत : P(at², 2at) वरील स्पर्शिका परवलयाला फक्त P मध्ये भेटते.
नियम 2 : उतारावरून स्पर्शिका — y = mx + c हे y² = 4ax ला स्पर्श करते जर c = a/m. स्पर्शबिंदू (a/m², 2a/m). x² = 4ay साठी अट c = −am².
सूत्र कसे मिळाले? : y = mx + c हे y² = 4ax मध्ये ठेवा : m²x² + (2mc − 4a)x + c² = 0. स्पर्शासाठी एकच मूळ हवे, म्हणून विवेचक शून्य : (2mc − 4a)² − 4m²c² = 0. विस्तार : 16a² − 16amc = 0, म्हणून c = a/m. दुहेरी मूळ x = −(2mc − 4a)/(2m²) = a/m², म्हणून स्पर्शबिंदू (a/m², 2a/m).
- सोपे : y² = 4x (a = 1) वर t = 3 : (at², 2at) = (1 × 9, 2 × 1 × 3) = (9, 6).
- मध्यम : y² = 16x ला (4, 8) वरील स्पर्शिका : a = 4, 8y = 8(x + 4), म्हणून x − y + 4 = 0.
- परीक्षेसाठी : y = 3x + c ही रेषा y² = 24x ला स्पर्श करते : a = 6 आणि m = 3, म्हणून c = a/m = 2.
परवलयावर बिंदू (x₁, y₁) असेल तरच yy₁ = 2a(x + x₁) स्पर्शिका देते. बाहेरचा बिंदू असेल तर तेच समीकरण स्पर्शजीवा देते.
c = a/m ऐवजी c = am लिहिणे. a ला m ने भागायचे, गुणायचे नाही.
स्पर्शिका लिहिताना y² → yy₁ आणि 2x → x + x₁ (म्हणजे 4ax → 2a(x + x₁)). x² = 4ay साठी x² → xx₁ आणि 2y → y + y₁. आठवणीची युक्ती : "वर्ग तोडा, एक पूर्ण, एक अर्धा".
CET मध्ये "रेषा स्पर्श करते" असे दिले की रेषेला y = mx + c रूपात आणा आणि c = a/m वापरा; विवेचकाची लांब आकडेमोड टाळा.
CET-स्टाइल उदाहरण : y = x + k ही रेषा y² = 36x ला स्पर्श करते. k = ? (A) 36 (B) 18 (C) 9 (D) 4
उत्तर : (C). 4a = 36, a = 9 आणि m = 1; k = a/m = 9. वेळ वाचवण्याची पद्धत : गुणक ÷ 4 = a; मग a ÷ m.
फरक ओळखा
| मुद्दा | बिंदूवरील स्पर्शिका | उतारावरील स्पर्शिका |
|---|---|---|
| दिलेले | बिंदू (x₁, y₁) | उतार m |
| सूत्र | yy₁ = 2a(x + x₁) | y = mx + a/m |
| स्पर्शिका किती | एक | एक (y² = 4ax साठी) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1y² = 4x वर t = −2 असलेला बिंदू लिहा.
- 2y² = 16x वर t = 2 असलेला बिंदू लिहा.
- 3y = 2x + c हे y² = 16x ला स्पर्श करते. c काढा.
- 4y² = 12x ला (3, −6) वरील स्पर्शिका लिहा.
- 5x² = 12y ला (6, 3) वरील स्पर्शिका लिहा.
- 6y² = 8x ला उतार 1/2 असलेली स्पर्शिका लिहा.
- 7y = x + 4 ही रेषा y² = 16x ला कोणत्या बिंदूत स्पर्श करते ?
- 8y² = 8x वर t = 3 असलेल्या बिंदूवरील स्पर्शिका लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(4, −4).
- 2a = 4. (16, 16).
- 3a = 4, c = a/m = 2.
- 4a = 3. −6y = 6(x + 3), म्हणून x + y + 3 = 0.
- 5a = 3. 6x = 6(y + 3), म्हणून x − y − 3 = 0.
- 6a = 2, c = a/m = 4. y = x/2 + 4, म्हणजे x − 2y + 8 = 0.
- 7a = 4, m = 1. स्पर्शबिंदू (a/m², 2a/m) = (4, 8).
- 8a = 2. ty = x + at² : 3y = x + 18, म्हणजे x − 3y + 18 = 0.
विवृत्त : प्रमाण रूप
गोल ताट तिरके धरून पाहिले की ते लांबट गोल दिसते; तोच विवृत्ताचा आकार. ग्रहांच्या कक्षाही विवृत्ताकार असतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये वर्तुळ शिकलो (एका केंद्रापासून सारखे अंतर); विवृत्तात दोन नाभ्या असतात आणि अंतरांची बेरीज स्थिर राहते.
दोन स्थिर बिंदूंपासून (नाभ्या) अंतरांची बेरीज स्थिर (2a) असणाऱ्या बिंदूंचा बिंदुपथ म्हणजे विवृत्त. 2a ही बेरीज दोन नाभ्यांमधील अंतरापेक्षा मोठी हवी. दीर्घ अक्ष 2a आणि लघु अक्ष 2b.
नियम 1 : प्रमाण समीकरण — x²/a² + y²/b² = 1 (a > b). b² = a²(1 − e²), म्हणजे c² = a² − b² आणि e = c/a. नाभ्या (±ae, 0), नियता x = ±a/e, e < 1. Y-अक्षावर दीर्घ अक्ष असेल तर x²/b² + y²/a² = 1 आणि नाभ्या (0, ±ae).
आकृतीत : P वरून दोन्ही नाभ्यांपर्यंतची अंतरे जोडली की बेरीज 2a येते.
नियम 2 : नाभिलंब आणि अंतरांची बेरीज — नाभिलंबाची लांबी 2b²/a. विवृत्तावरील कोणत्याही बिंदूसाठी PF₁ + PF₂ = 2a. दोन नाभ्यांमधील अंतर 2ae.
सूत्र कसे मिळाले? : नाभ्या (±c, 0) आणि PF₁ + PF₂ = 2a. √((x + c)² + y²) + √((x − c)² + y²) = 2a. एक मूळ बाजूला नेऊन वर्ग केल्यावर आणि सोपे केल्यावर (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²) येते. b² = a² − c² घेतल्यावर b²x² + a²y² = a²b²; दोन्ही बाजूंना a²b² ने भागल्यावर x²/a² + y²/b² = 1.
- सोपे : x²/36 + y²/20 = 1 : a = 6, b² = 20, c² = 36 − 20 = 16, c = 4. नाभ्या (±4, 0) आणि e = 4/6 = 2/3.
- मध्यम : नाभ्या (±2, 0) आणि e = 1/2 : ae = 2 म्हणून a = 4. b² = a² − c² = 16 − 4 = 12. समीकरण x²/16 + y²/12 = 1.
- परीक्षेसाठी : 4x² + 9y² = 144 : 144 ने भागा, x²/36 + y²/16 = 1. a = 6, b = 4, c² = 20, e = √20/6 = √5/3. नाभिलंब = 2b²/a = 32/6 = 16/3.
विवृत्तात मोठा छेद a² असतो आणि तो कोणत्या चलाखाली आहे त्यावरून दीर्घ अक्ष ठरतो. x² खाली मोठा छेद = X-अक्षावर दीर्घ अक्ष.
c² = a² + b² लिहिणे (हे अतिपरवलयाचे सूत्र). विवृत्तात c² = a² − b².
मोठा छेद − लहान छेद = c². उदा. 25 आणि 9 : c² = 16, c = 4; e = c ÷ a = 4/5. आठवणीची युक्ती : "विवृत्तात वजा, अतिपरवलयात बेरीज".
CET मध्ये समीकरण 4x² + 9y² = 144 सारखे गुणकासह येते; आधी 1 होईपर्यंत भागा, मगच a² आणि b² वाचा.
CET-स्टाइल उदाहरण : 9x² + 16y² = 144 या विवृत्तावरील कोणत्याही बिंदूचे दोन्ही नाभ्यांपासूनच्या अंतरांची बेरीज ? (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16
उत्तर : (B). 144 ने भागा : x²/16 + y²/9 = 1, a = 4. बेरीज = 2a = 8. वेळ वाचवण्याची पद्धत : मोठा छेद 16 चे वर्गमूळ 4 आणि दुप्पट : 8.
फरक ओळखा
| मुद्दा | वर्तुळ | विवृत्त |
|---|---|---|
| नाभ्या | एक केंद्र | दोन नाभ्या |
| समीकरण | x² + y² = r² | x²/a² + y²/b² = 1 |
| उत्केंद्रता | 0 | 0 आणि 1 च्या दरम्यान |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x²/100 + y²/64 = 1 साठी a, b आणि e काढा.
- 2x²/169 + y²/25 = 1 च्या नाभ्या काढा.
- 3x²/49 + y²/25 = 1 च्या दीर्घ आणि लघु अक्षांची लांबी काढा.
- 416x² + 25y² = 400 ची उत्केंद्रता आणि नाभिलंबाची लांबी काढा.
- 5नाभ्या (±5, 0) आणि लघु अक्षाची लांबी 24 असलेल्या विवृत्ताचे समीकरण लिहा.
- 6केंद्र मूलबिंदू असलेले विवृत्त (4, 0) आणि (0, 3) मधून जाते (अक्ष निर्देशक अक्ष). समीकरण लिहा.
- 7उत्केंद्रता 4/5 आणि नाभ्या (±8, 0) असलेल्या विवृत्ताचे समीकरण लिहा.
- 8x²/16 + y²/7 = 1 च्या दोन नियतांमधील अंतर काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1a = 10, b = 8, c² = 36 म्हणून c = 6 आणि e = 3/5.
- 2c² = 169 − 25 = 144, c = 12. नाभ्या (±12, 0).
- 3दीर्घ अक्ष 14 आणि लघु अक्ष 10.
- 4x²/25 + y²/16 = 1; c² = 9, e = 3/5. नाभिलंब = 2 × 16/5 = 32/5.
- 5b = 12, c = 5, a² = 144 + 25 = 169. समीकरण x²/169 + y²/144 = 1.
- 6a = 4 आणि b = 3 : x²/16 + y²/9 = 1.
- 7ae = 8 आणि e = 4/5 म्हणून a = 10. b² = 100 − 64 = 36. समीकरण x²/100 + y²/36 = 1.
- 8c² = 16 − 7 = 9, c = 3, e = 3/4. अंतर = 2a/e = 8 ÷ 3/4 = 32/3.
विवृत्त : प्राचल रूप, स्पर्शिका आणि विशेष वर्तुळे
एका गोल चकतीवर प्रत्येक बिंदू कोनाने ठरवता येतो; ती चकती एका बाजूला दाबली की तोच बिंदू विवृत्तावर येतो. म्हणून विवृत्ताचे बिंदूही एका कोनाने (θ) ठरतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये cos θ आणि sin θ शिकलो आणि cos²θ + sin²θ = 1; त्यातूनच विवृत्ताचे प्राचल रूप मिळते.
विवृत्तावरील बिंदू (a cos θ, b sin θ) असा लिहिता येतो; θ हा प्राचल. a त्रिज्येचे x² + y² = a² हे वर्तुळ म्हणजे सहायक वर्तुळ. ज्या बिंदूंतून येणाऱ्या दोन स्पर्शिका लंब असतात त्यांचा बिंदुपथ म्हणजे दिग्दर्शक वर्तुळ.
नियम 1 : स्पर्शिका — (x₁, y₁) वर : xx₁/a² + yy₁/b² = 1. θ वर : x cos θ/a + y sin θ/b = 1. उतार m : y = mx ± √(a²m² + b²); स्पर्शाची अट c² = a²m² + b².
आकृतीत : सहायक वर्तुळावरील Q आणि विवृत्तावरील P यांचा x-निर्देशक सारखा (a cos θ).
नियम 2 : सहायक आणि दिग्दर्शक वर्तुळ — सहायक वर्तुळ : x² + y² = a². दिग्दर्शक वर्तुळ : x² + y² = a² + b². दिग्दर्शक वर्तुळावरील बिंदूतून येणाऱ्या दोन स्पर्शिका एकमेकींना लंब.
सूत्र कसे मिळाले? : y = mx + c हे x²/a² + y²/b² = 1 मध्ये ठेवा : (b² + a²m²)x² + 2a²mcx + a²(c² − b²) = 0. विवेचक शून्य : 4a⁴m²c² − 4(b² + a²m²)a²(c² − b²) = 0. a² ने भागून विस्तार केल्यावर −b²c² + b⁴ + a²m²b² = 0, म्हणून c² = a²m² + b².
- सोपे : x²/16 + y²/9 = 1 वर θ = 30° : (4 cos 30°, 3 sin 30°) = (4 × √3/2, 3 × 1/2) = (2√3, 3/2).
- मध्यम : x²/20 + y²/5 = 1 ला (4, 1) वरील स्पर्शिका : 4x/20 + 1·y/5 = 1, म्हणजे x/5 + y/5 = 1, म्हणून x + y − 5 = 0.
- परीक्षेसाठी : y = 2x + c ही रेषा x²/9 + y²/64 = 1 ला स्पर्श करते : c² = a²m² + b² = 9 × 4 + 64 = 100, म्हणून c = ±10 आणि रेषा 2x − y ± 10 = 0.
विवृत्ताला दिलेल्या उताराच्या नेहमी दोन समांतर स्पर्शिका असतात (±), विवृत्ताच्या दोन्ही बाजूंना एक एक.
स्पर्शाच्या अटीत c² = a²m² − b² लिहिणे (हे अतिपरवलयाचे). विवृत्तात + आहे.
दिग्दर्शक वर्तुळाची त्रिज्येचा वर्ग = दोन्ही छेदांची बेरीज. x²/25 + y²/144 : 25 + 144 = 169. आठवणीची युक्ती : "दिग्दर्शक = दोन्ही छेद जोडा".
CET मध्ये "लंब स्पर्शिकांच्या छेदबिंदूचा बिंदुपथ" विचारला की उत्तर दिग्दर्शक वर्तुळ; सहायक वर्तुळ (x² + y² = a²) चुकीचा पर्याय असतो.
CET-स्टाइल उदाहरण : x²/25 + y²/144 = 1 च्या लंब स्पर्शिकांच्या छेदबिंदूचा बिंदुपथ ? (A) x² + y² = 144 (B) x² + y² = 169 (C) x² + y² = 25 (D) x² + y² = 119
उत्तर : (B). दिग्दर्शक वर्तुळ x² + y² = a² + b² = 25 + 144 = 169. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन छेद जोडा : 25 + 144.
फरक ओळखा
| मुद्दा | सहायक वर्तुळ | दिग्दर्शक वर्तुळ |
|---|---|---|
| समीकरण | x² + y² = a² | x² + y² = a² + b² |
| त्रिज्या | a | √(a² + b²) |
| उपयोग | प्राचल θ दाखवणे | लंब स्पर्शिकांचा बिंदुपथ |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x²/36 + y²/25 = 1 वर θ = 90° असलेला बिंदू लिहा.
- 2x²/81 + y²/49 = 1 चे सहायक वर्तुळ लिहा.
- 3x²/9 + y²/16 = 1 चे दिग्दर्शक वर्तुळ लिहा.
- 4x²/16 + y²/36 = 1 वर θ = 60° असलेला बिंदू काढा.
- 5x²/20 + y²/5 = 1 ला (4, −1) वरील स्पर्शिका लिहा.
- 6x²/16 + y²/9 = 1 ला उतार −1 असलेल्या स्पर्शिका लिहा.
- 7(5, 12) मधून x²/100 + y²/69 = 1 ला येणाऱ्या स्पर्शिका लंब आहेत का ?
- 8y = x + c ही रेषा x²/25 + y²/9 = 1 ला स्पर्श करते. c ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(6 cos 90°, 5 sin 90°) = (0, 5).
- 2x² + y² = 81.
- 3x² + y² = 9 + 16 = 25.
- 4(4 cos 60°, 6 sin 60°) = (2, 3√3).
- 54x/20 − y/5 = 1, म्हणजे x − y − 5 = 0.
- 6c² = 16 × 1 + 9 = 25, c = ±5. रेषा x + y − 5 = 0 आणि x + y + 5 = 0.
- 7होय. 5² + 12² = 169 आणि 100 + 69 = 169, म्हणून बिंदू दिग्दर्शक वर्तुळावर आहे.
- 8c² = 25 × 1 + 9 = 34, म्हणून c = ±√34.
अतिपरवलय : प्रमाण रूप
वीज निर्मिती केंद्रातील शीतकरण मनोऱ्याची (cooling tower) बाजू अतिपरवलयाच्या भागासारखी वळलेली असते. दोन तुटक फांद्या असलेला हा आकार आहे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये पायथागोरस शिकलो; अतिपरवलयात c² = a² + b² हे त्याचेच रूप आहे आणि विवृत्ताच्या तुलनेत फक्त चिन्ह बदलते.
दोन स्थिर बिंदूंपासून (नाभ्या) अंतरांतील फरकाचे निरपेक्ष मूल्य स्थिर (2a) असणाऱ्या बिंदूंचा बिंदुपथ म्हणजे अतिपरवलय. दोन नाभ्यांमधील अंतरापेक्षा 2a लहान असते. छेदक अक्ष 2a आणि संयुग्मी अक्ष 2b.
नियम 1 : प्रमाण समीकरण — x²/a² − y²/b² = 1. b² = a²(e² − 1), म्हणजे c² = a² + b² आणि e = c/a, e > 1. नाभ्या (±ae, 0), नियता x = ±a/e, शिरोबिंदू (±a, 0). Y-अक्षावर छेदक अक्ष असेल तर y²/a² − x²/b² = 1 आणि नाभ्या (0, ±ae).
आकृतीत : P वरून दोन्ही नाभ्यांपर्यंतच्या अंतरांतील फरक 2a.
नियम 2 : नाभिलंब, संयुग्मी आणि काटकोन अतिपरवलय — नाभिलंबाची लांबी 2b²/a. संयुग्मी अतिपरवलय : y²/b² − x²/a² = 1. जेव्हा a = b तेव्हा काटकोन अतिपरवलय x² − y² = a² आणि e = √2.
सूत्र कसे मिळाले? : नाभ्या (±c, 0) आणि |PF₁ − PF₂| = 2a. √((x + c)² + y²) − √((x − c)² + y²) = ±2a. विवृत्ताप्रमाणेच वर्ग करून सोपे केल्यावर (c² − a²)x² − a²y² = a²(c² − a²) येते. b² = c² − a² घेतल्यावर b²x² − a²y² = a²b², म्हणून x²/a² − y²/b² = 1.
- सोपे : x²/144 − y²/25 = 1 : a = 12, b = 5, c² = 144 + 25 = 169, c = 13. नाभ्या (±13, 0) आणि e = 13/12.
- मध्यम : a = 4, e = 3/2 : b² = a²(e² − 1) = 16 × (9/4 − 1) = 20. समीकरण x²/16 − y²/20 = 1.
- परीक्षेसाठी : 9x² − 4y² = 36 : 36 ने भागा, x²/4 − y²/9 = 1. a = 2, b = 3, c² = 13, e = √13/2. नाभिलंब = 2b²/a = 18/2 = 9.
अतिपरवलयात धन पद ज्या चलाचे आहे त्यावरून छेदक अक्ष ठरतो : x² धन = X-अक्ष, y² धन = Y-अक्ष. a² हा धन पदाचा छेद, तो मोठा असण्याची गरज नाही.
विवृत्ताप्रमाणे c² = a² − b² वापरणे. अतिपरवलयात c² = a² + b² आणि e > 1.
धन पदाचा छेद आणि ऋण पदाचा छेद जोडा = c². 9 आणि 16 : c² = 25, c = 5; e = c ÷ a = 5/3. आठवणीची युक्ती : "विवृत्तात वजा, अतिपरवलयात बेरीज".
CET मध्ये 16x² − 9y² = 144 सारखे गुणकासह येते; 144 ने भागून x²/9 − y²/16 = 1 करा, मग a = 3 (16 नव्हे).
CET-स्टाइल उदाहरण : 16x² − 9y² = 144 या अतिपरवलयावरील कोणत्याही बिंदूचे दोन्ही नाभ्यांपासूनच्या अंतरांतील फरक ? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8
उत्तर : (C). 144 ने भागा : x²/9 − y²/16 = 1, a = 3. फरक = 2a = 6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : धन पदाचा छेद 9, त्याचे वर्गमूळ 3, दुप्पट : 6.
फरक ओळखा
| मुद्दा | विवृत्त | अतिपरवलय |
|---|---|---|
| समीकरण | x²/a² + y²/b² = 1 | x²/a² − y²/b² = 1 |
| c² | a² − b² | a² + b² |
| उत्केंद्रता | e < 1 | e > 1 |
| नाभ्यांपासून अंतरे | बेरीज स्थिर | फरक स्थिर |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x²/25 − y²/144 = 1 च्या छेदक आणि संयुग्मी अक्षांच्या लांब्या काढा.
- 2x²/64 − y²/36 = 1 च्या नाभ्या काढा.
- 3x²/49 − y²/576 = 1 ची उत्केंद्रता काढा.
- 4शिरोबिंदू (±8, 0) आणि नाभ्या (±17, 0) असलेल्या अतिपरवलयाचे समीकरण लिहा.
- 5x²/36 − y²/64 = 1 च्या नाभिलंबाची लांबी काढा.
- 616x² − 9y² = 144 ची उत्केंद्रता काढा.
- 7(5, 4) मधून जाणाऱ्या काटकोन अतिपरवलयाचे समीकरण लिहा (x² − y² = a²).
- 8x²/25 − y²/144 = 1 च्या नियता लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1छेदक अक्ष 10 आणि संयुग्मी अक्ष 24.
- 2c² = 64 + 36 = 100, c = 10. नाभ्या (±10, 0).
- 3c² = 49 + 576 = 625, c = 25. e = c/a = 25/7.
- 4a = 8, c = 17, b² = 289 − 64 = 225. समीकरण x²/64 − y²/225 = 1.
- 52b²/a = 2 × 64/6 = 64/3.
- 6x²/9 − y²/16 = 1; c² = 25, e = 5/3.
- 725 − 16 = 9, म्हणून a² = 9 आणि समीकरण x² − y² = 9.
- 8c² = 25 + 144 = 169, c = 13, e = 13/5. नियता x = ±a/e = ±25/13.
अतिपरवलय : प्राचल रूप, स्पर्शिका आणि अनंतस्पर्शी
दूर जाणारे दोन सरळ रेल्वे रूळ क्षितिजाशी एकमेकांत मिळाल्यासारखे दिसतात, पण प्रत्यक्षात कधीच भेटत नाहीत. अतिपरवलयाच्या फांद्या अशाच दोन रेषांच्या जवळ जात राहतात; त्या रेषा म्हणजे अनंतस्पर्शी. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 मध्ये sec θ आणि tan θ शिकलो आणि 1 + tan²θ = sec²θ; त्यातूनच अतिपरवलयाचे प्राचल रूप मिळते.
अतिपरवलयावरील बिंदू (a sec θ, b tan θ) असा लिहिता येतो. ज्या दोन रेषांच्या जवळ फांद्या अनंतापर्यंत जातात पण त्यांना कधी भेटत नाहीत त्या अनंतस्पर्शी.
नियम 1 : स्पर्शिका — (x₁, y₁) वर : xx₁/a² − yy₁/b² = 1. θ वर : x sec θ/a − y tan θ/b = 1. उतार m : y = mx ± √(a²m² − b²); अट c² = a²m² − b² (a²m² > b²).
नियम 2 : अनंतस्पर्शी आणि दिग्दर्शक वर्तुळ — अनंतस्पर्शी : y = ±(b/a)x; दोन्ही रेषांचे संयुक्त समीकरण x²/a² − y²/b² = 0 (1 च्या जागी 0). दिग्दर्शक वर्तुळ : x² + y² = a² − b² (फक्त a > b असतानाच).
आकृतीत : हिरव्या आयताच्या कर्णरेषा म्हणजे अनंतस्पर्शी; P वरील स्पर्शिका केशरी.
सूत्र कसे मिळाले? : x²/a² − y²/b² = 1 वरून y = ±(b/a)√(x² − a²). x खूप मोठा असताना a² हे x² च्या तुलनेत नगण्य, म्हणून y ≈ ±(b/a)x. स्पर्शाची अट : y = mx + c ठेवल्यावर (b² − a²m²)x² − 2a²mcx − a²(c² + b²) = 0; विवेचक शून्य केल्यावर b²c² + b⁴ − a²m²b² = 0, म्हणून c² = a²m² − b².
- सोपे : x²/49 − y²/16 = 1 : a = 7, b = 4, अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x = ±4x/7.
- मध्यम : x² − y² = 16 ला (5, 3) वरील स्पर्शिका : 5x/16 − 3y/16 = 1, म्हणून 5x − 3y − 16 = 0. (तपासणी : 25 − 9 = 16 ✓.)
- परीक्षेसाठी : x²/16 − y²/20 = 1 ला उतार 3/2 असलेल्या स्पर्शिका : c² = a²m² − b² = 16 × 9/4 − 20 = 16, c = ±4. रेषा y = 3x/2 ± 4, म्हणजे 3x − 2y ± 8 = 0.
अनंतस्पर्शी मूलबिंदूतून जातात आणि अतिपरवलयाला कधी भेटत नाहीत. काटकोन अतिपरवलयात (a = b) ते y = ±x आणि एकमेकांना लंब.
अनंतस्पर्शी y = ±(a/b)x लिहिणे. उतार b/a (ऋण पदाचा मूळ ÷ धन पदाचा मूळ) असतो.
अनंतस्पर्शी लगेच मिळवा : x²/a² − y²/b² = 1 मधील 1 च्या जागी 0 ठेवा. 4x² − 9y² = 36 → 4x² − 9y² = 0. आठवणीची युक्ती : "एक काढा, शून्य ठेवा".
CET मध्ये अनंतस्पर्शी आणि अतिपरवलयाच्या समीकरणांत फक्त स्थिरांकाचा फरक असतो; पर्यायांत 36 आणि 0 असलेले पर्याय पाहून 0 वाला निवडा.
CET-स्टाइल उदाहरण : 4x² − 9y² = 36 च्या अनंतस्पर्शींचे संयुक्त समीकरण ? (A) 4x² − 9y² = 0 (B) 4x² − 9y² = 1 (C) 9x² − 4y² = 0 (D) 4x² + 9y² = 0
उत्तर : (A). स्थिरांक 36 च्या जागी 0 : 4x² − 9y² = 0. वेळ वाचवण्याची पद्धत : डावी बाजू तशीच, उजवीकडे 0.
फरक ओळखा
| मुद्दा | विवृत्त स्पर्शाची अट | अतिपरवलय स्पर्शाची अट |
|---|---|---|
| अट | c² = a²m² + b² | c² = a²m² − b² |
| दिग्दर्शक वर्तुळ | x² + y² = a² + b² | x² + y² = a² − b² |
| विशेष रेषा | नाही | अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x |
सरावासाठी प्रश्न
- 1x²/25 − y²/9 = 1 वर θ = 0° असलेला बिंदू लिहा.
- 2x²/25 − y²/9 = 1 चे अनंतस्पर्शी लिहा.
- 3x²/36 − y²/16 = 1 ला शिरोबिंदू (6, 0) वरील स्पर्शिका लिहा.
- 4x²/4 − y²/9 = 1 वर θ = 45° असलेला बिंदू काढा.
- 5x²/9 − y²/16 = 1 ला (−5, 16/3) वरील स्पर्शिका लिहा.
- 6y = 3x + c ही रेषा x²/4 − y²/27 = 1 ला स्पर्श करते. c च्या किमती काढा.
- 7x²/49 − y²/13 = 1 चे दिग्दर्शक वर्तुळ लिहा.
- 8अनंतस्पर्शी y = ±(5/12)x आणि शिरोबिंदू (12, 0) असलेल्या अतिपरवलयाचे समीकरण लिहा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(5 sec 0°, 3 tan 0°) = (5, 0).
- 2b/a = 3/5, म्हणून y = ±3x/5.
- 3x = 6, म्हणजे x − 6 = 0.
- 4(2 sec 45°, 3 tan 45°) = (2√2, 3).
- 5−5x/9 − (16/3)y/16 = 1, म्हणजे −5x/9 − y/3 = 1. 9 ने गुणा : 5x + 3y + 9 = 0.
- 6c² = 4 × 9 − 27 = 9, म्हणून c = ±3.
- 7x² + y² = 49 − 13 = 36.
- 8a = 12, b/a = 5/12 म्हणून b = 5. समीकरण x²/144 − y²/25 = 1.
धडा ७ : शंकुच्छेद — झटपट उजळणी
| शंकुच्छेद | समीकरण आणि मुख्य सूत्रे |
|---|---|
| परवलय | y² = 4ax; नाभी (a, 0); नियता x = −a; नाभिलंब 4a; बिंदूचे नाभीपासून अंतर x₁ + a |
| परवलयाची स्पर्शिका | yy₁ = 2a(x + x₁); ty = x + at²; अट c = a/m |
| विवृत्त | x²/a² + y²/b² = 1; c² = a² − b²; e = c/a < 1; नाभिलंब 2b²/a; PF₁ + PF₂ = 2a |
| विवृत्ताची स्पर्शिका | xx₁/a² + yy₁/b² = 1; अट c² = a²m² + b² |
| सहायक आणि दिग्दर्शक वर्तुळ (विवृत्त) | x² + y² = a²; x² + y² = a² + b² |
| अतिपरवलय | x²/a² − y²/b² = 1; c² = a² + b²; e > 1; नाभिलंब 2b²/a; फरक 2a |
| अतिपरवलयाची स्पर्शिका | xx₁/a² − yy₁/b² = 1; अट c² = a²m² − b² |
| अनंतस्पर्शी | y = ±(b/a)x; संयुक्त समीकरण x²/a² − y²/b² = 0 |
| दिग्दर्शक वर्तुळ (अतिपरवलय) | x² + y² = a² − b² |
| प्राचल रूप | परवलय (at², 2at); विवृत्त (a cos θ, b sin θ); अतिपरवलय (a sec θ, b tan θ) |
🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे
- y² = 4ax मध्ये गुणक ÷ 4 = a.
- विवृत्तात वजा (c² = a² − b²), अतिपरवलयात बेरीज (c² = a² + b²).
- विवृत्ताची अट + b², अतिपरवलयाची अट − b².
- स्पर्शिका लिहिताना x² → xx₁, y² → yy₁, 2x → x + x₁.
- अनंतस्पर्शी : 1 च्या जागी 0.
- दिग्दर्शक वर्तुळ : विवृत्त a² + b², अतिपरवलय a² − b².
प्रथम समीकरण 1 च्या रूपात आणा, a² आणि b² ओळखा, मग सूत्र वापरा. उत्तर आल्यावर दिलेला बिंदू समीकरणात ठेवून तपासा.