K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा ८: प्रकीर्णनाची मापे

6 संकल्पना · उत्तरांसह 48 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

प्रकीर्णन आणि विस्तार

रोजच्या जीवनातून

दोन फलंदाजांची सरासरी धावसंख्या सारखी असू शकते; पण एक नेहमी 40 च्या आसपास धावा करतो आणि दुसरा कधी 0 तर कधी 100. माहिती सरासरीभोवती किती पसरली आहे हे सांगणारी संख्या म्हणजे प्रकीर्णन. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात मध्य, मध्यगा आणि बहुलक शिकलो; ते माहितीचे "केंद्र" सांगतात. आता "पसारा" मोजायला शिकतो.

सोपी व्याख्या

माहितीतील सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य यांतील फरक म्हणजे विस्तार. विस्तार ÷ (मोठे + लहान) म्हणजे विस्तार गुणांक. माहिती जितकी जास्त पसरलेली तितके प्रकीर्णन जास्त.

नियम 1 : विस्तार आणि त्याचा गुणांक — विस्तार = L − S; विस्तार गुणांक = (L − S) ÷ (L + S). L मोठे मूल्य, S लहान मूल्य. वर्गीकृत माहितीत L म्हणजे शेवटच्या वर्गाची वरची मर्यादा आणि S म्हणजे पहिल्या वर्गाची खालची मर्यादा.

30406070Arange = 430406070Brange = 40mean = 50same mean, different spread

आकृतीत : दोन्ही संचांचा मध्य सारखा आहे; पण B चा विस्तार जास्त आहे.

नियम 2 : विस्ताराची मर्यादा — विस्तार फक्त दोन टोकांची मूल्ये पाहतो; मधली मूल्ये कशीही असली तरी विस्तार बदलत नाही. एक टोकाचे मूल्य बदलले की विस्तार पूर्ण बदलतो.

सूत्र कसे मिळाले? : मूल्यांत सर्वांमध्ये एकच संख्या मिळवली की सर्व मूल्ये त्याच प्रमाणात सरकतात; मोठे आणि लहान दोन्ही सारख्याच संख्येने वाढतात. म्हणून (L + k) − (S + k) = L − S आणि विस्तार तोच राहतो.

  • सोपे : माहिती 12, 7, 19, 4, 15 : L = 19, S = 4. विस्तार = 19 − 4 = 15. गुणांक = 15/23.
  • मध्यम : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 : L = 50, S = 0. विस्तार = 50 − 0 = 50.
  • परीक्षेसाठी : सर्वात लहान मूल्य 6 आणि विस्तार 14 : L = 6 + 14 = 20. गुणांक = 14/26 = 7/13.
लक्षात ठेवा

विस्ताराला एकक असते (माहितीसारखेच); विस्तार गुणांकाला एकक नसते. म्हणून दोन वेगळ्या एककांतील माहितीची तुलना गुणांकानेच होते.

सामान्य चूक

विस्तार गुणांकात (L − S) ÷ (L − S) किंवा L ÷ S लिहिणे. भाजक नेहमी बेरीज (L + S).

शॉर्टकट

माहितीत सर्वांना सारखी संख्या मिळवली/वजा केली तर विस्तार बदलत नाही; सर्वांना k ने गुणले तर विस्तार |k| पट होतो. आठवणीची युक्ती : "मिळवा-वजा करा, पसारा तोच; गुणा, पसारा वाढतो".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "प्रत्येक मूल्यात 5 मिळवले" असे दिले की उत्तर आकडेमोड न करता तोच विस्तार.

CET-स्टाइल उदाहरण : माहिती 3, 8, 12, 20 आहे. प्रत्येक मूल्यात 5 मिळवल्यावर विस्तार किती ? (A) 17 (B) 22 (C) 12 (D) 5

उत्तर : (A). मूळ विस्तार 20 − 3 = 17 आणि तो बदलत नाही. वेळ वाचवण्याची पद्धत : मिळवल्याने विस्तार बदलत नाही; फक्त 20 − 3.

फरक ओळखा

मुद्दाविस्तारविस्तार गुणांक
सूत्रL − S(L − S) ÷ (L + S)
एककमाहितीचे एककएकक नाही
उपयोगएका संचाचा पसारादोन संचांची तुलना

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1माहिती 9, 3, 14, 6 चा विस्तार काढा.
  2. 2माहिती 25, 40, 31, 18, 36 चा विस्तार काढा.
  3. 3सर्वात मोठे मूल्य 48 आणि सर्वात लहान 30 असल्यास विस्तार गुणांक काढा.
मध्यम
  1. 4वर्ग 10–20, 20–30, … , 60–70 यांचा विस्तार काढा.
  2. 5माहिती 4, 10, 16 चा विस्तार गुणांक काढा.
  3. 6विस्तार 25 आणि सर्वात लहान मूल्य 15 असल्यास सर्वात मोठे मूल्य काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7माहिती 4, 9, 13 मधील प्रत्येक मूल्य 3 ने गुणले. नवा विस्तार काढा.
  2. 8माहिती 5, 8, 12, 20 मधील प्रत्येक मूल्य 2 ने गुणून मग 2 वजा केले. नवा विस्तार काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 114 − 3 = 11.
  2. 240 − 18 = 22.
  3. 318/78 = 3/13.
  4. 470 − 10 = 60.
  5. 5(16 − 4)/(16 + 4) = 12/20 = 3/5.
  6. 6L = 15 + 25 = 40.
  7. 7मूळ विस्तार 13 − 4 = 9; नवा 3 × 9 = 27.
  8. 8मूळ विस्तार 20 − 5 = 15; नवा 2 × 15 = 30 (वजाबाकीने बदल नाही).

विचरण आणि प्रमाणित विचलन : अवर्गीकृत माहिती

रोजच्या जीवनातून

दोन गोलंदाजांच्या षटकातील धावा : एकाच्या 6, 6, 6 आणि दुसऱ्याच्या 1, 6, 11. सरासरी सारखी; पण दुसऱ्याचे आकडे सरासरीपासून लांब आहेत. प्रत्येक आकडा सरासरीपासून किती दूर आहे याचे सरासरी माप म्हणजे प्रमाणित विचलन. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात मध्य काढायला आणि वर्ग/वर्गमूळ करायला शिकलो; हेच दोन आधार येथे लागतात : आधी फरकांचे वर्ग, मग वर्गमूळ.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक मूल्याचा मध्यापासूनचा फरक काढून त्यांचे वर्ग करा; त्या वर्गांचा मध्य म्हणजे विचरण (σ²). विचरणाचे वर्गमूळ म्हणजे प्रमाणित विचलन (σ), ज्याचे एकक माहितीसारखेच असते.

नियम 1 : दोन सूत्रे — विचरण σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n. झटपट रूप : σ² = Σx² ÷ n − (x̄)². प्रमाणित विचलन σ = √σ².

012345678mean = 4−3−1+1+3deviation = x − meansquares: 9, 1, 0, 1, 9 total 20variance = 20 ÷ 5 = 4SD = √4 = 2

आकृतीत : प्रत्येक मूल्य आणि मध्य यांतील फरक रेषाखंडांनी दाखवले आहेत; या फरकांचे वर्ग करून त्यांचा मध्य म्हणजे विचरण.

नियम 2 : विचरणाचे गुणधर्म — विचरण कधीही ऋण नसते. सर्व मूल्ये सारखी असतील तर σ = 0. σ जितके मोठे तितकी माहिती जास्त पसरलेली.

सूत्र कसे मिळाले? : Σ(x − x̄)² = Σ(x² − 2x̄x + x̄²) = Σx² − 2x̄Σx + n x̄². Σx = n x̄ म्हणून मधले पद −2n x̄² होते. उरते Σx² − n x̄². n ने भागा : σ² = Σx²/n − x̄².

  • सोपे : मूल्ये 4, 8 : मध्य 6; फरकांचे वर्ग 4, 4; विचरण 8/2 = 4; σ = 2.
  • मध्यम : 1 ते 7 : मध्य 4; फरकांचे वर्ग 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 = 28; विचरण 28/7 = 4; σ = 2.
  • परीक्षेसाठी : n = 10, Σx = 50, Σx² = 290 : x̄ = 5; σ² = 290/10 − 25 = 4; σ = 2.
लक्षात ठेवा

विचरणाचे एकक माहितीच्या एककाचा वर्ग असते (सेमी² ); प्रमाणित विचलनाचे एकक माहितीसारखेच (सेमी). म्हणून पसाऱ्याचे माप सांगताना σ वापरतात.

सामान्य चूक

Σx² ऐवजी (Σx)² घेणे. Σx² म्हणजे आधी प्रत्येकाचा वर्ग, मग बेरीज; (Σx)² म्हणजे आधी बेरीज, मग वर्ग.

शॉर्टकट

मध्य पूर्ण संख्या असेल तर फरक काढून वर्ग करा; मध्य अपूर्णांकात असेल तर Σx²/n − x̄² वापरा. आठवणीची युक्ती : "वर्गांचा मध्य वजा मध्याचा वर्ग".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात Σx आणि Σx² दिलेले असतात; मध्य आणि Σx²/n काढा आणि लगेच वजा करा. वर्गमूळ घ्यायला विसरू नका (प्रश्न σ चा आहे का σ² चा ते वाचा).

CET-स्टाइल उदाहरण : 20 निरीक्षणांचा मध्य 8 आणि Σx² = 1300 आहे. प्रमाणित विचलन किती ? (A) 1 (B) 2 (C) 65 (D) 4

उत्तर : (A). σ² = 1300/20 − 8² = 65 − 64 = 1; σ = 1. वेळ वाचवण्याची पद्धत : थेट 65 − 64; फरकांचे वर्ग करायची गरज नाही.

फरक ओळखा

मुद्दाविचरण σ²प्रमाणित विचलन σ
सूत्रΣ(x − x̄)² ÷ n√विचरण
एककएककाचा वर्गमाहितीसारखे
किंमतऋण नाहीऋण नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12 आणि 6 चे विचरण काढा.
  2. 27, 7, 7, 7 चे विचरण किती ?
  3. 31, 2, 3, 4, 5 चे विचरण काढा.
मध्यम
  1. 44, 6, 6, 8 चे विचरण काढा.
  2. 5n = 8, Σx = 40, Σx² = 240 असल्यास विचरण काढा.
  3. 65 निरीक्षणांचा मध्य 6 आणि Σx² = 190 आहे. विचरण काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7पहिल्या 11 नैसर्गिक संख्यांचे विचरण काढा.
  2. 89 निरीक्षणांचा मध्य 7 आणि विचरण 4 आहे. मध्याइतकेच 7 हे आणखी एक मूल्य मिळवले. नवे विचरण काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1मध्य 4; वर्ग 4 + 4 = 8; 8/2 = 4.
  2. 2सर्व मूल्ये मध्याइतकी; विचरण 0.
  3. 3मध्य 3; वर्ग 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10; 10/5 = 2.
  4. 4मध्य 6; वर्ग 4 + 0 + 0 + 4 = 8; 8/4 = 2.
  5. 5x̄ = 5; σ² = 240/8 − 25 = 5.
  6. 6σ² = 190/5 − 36 = 38 − 36 = 2.
  7. 7मध्य 6; σ² = (121 − 1)/12 = 10.
  8. 8मूळ Σ(x − 7)² = 9 × 4 = 36. नवे मूल्य 7 चा फरक 0 असतो; नवे n = 10 आणि मध्य तोच. विचरण 36/10 = 3.6.

विचरण आणि प्रमाणित विचलन : वारंवारता वितरण

रोजच्या जीवनातून

वर्गातील 40 मुलांचे गुण : काहींना 6, काहींना 7, काहींना 8. प्रत्येक गुण वेगळा लिहिण्यापेक्षा "6 गुण — 12 मुले" असे तक्त्यात लिहितो. तक्त्यावरूनही पसारा मोजता येतो. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात वारंवारता तक्ता आणि वर्गचिन्ह (वर्गाची मधली किंमत) शिकलो; त्यांचाच वापर येथे होतो.

सोपी व्याख्या

जेव्हा मूल्य x आणि त्याची वारंवारता f दिलेली असते, तेव्हा प्रत्येक मूल्य f वेळा मोजले जाते. N = Σf म्हणजे एकूण निरीक्षणे. वर्गीकृत माहितीत x म्हणजे वर्गचिन्ह.

नियम 1 : वारंवारता वितरणाची सूत्रे — x̄ = Σfx ÷ N; σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)²; σ = √σ².

f=15f=415f=625f=435f=145mean = 25SD = 10class marks (x)N = 16, Σfd² ÷ N = 1, SD = 10 × √1 = 10

आकृतीत : स्तंभ म्हणजे वारंवारता; मध्य या संचाचे संतुलन बिंदू आहे आणि σ पसाऱ्याची एक पायरी.

नियम 2 : पायरी विचलन पद्धत — मोठी वर्गचिन्हे असतील तर u = (x − A) ÷ h घ्या (A कल्पित मध्य, h वर्गाची रुंदी). तेव्हा x̄ = A + h × Σfu ÷ N आणि σ = h × √(Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²).

सूत्र कसे मिळाले? : x = A + hu आहे. मूल्ये h ने गुणली आणि A ने सरकवली, म्हणून मध्य x̄ = A + h ū आणि प्रमाणित विचलन σ_x = h σ_u (सरकवल्याने पसारा बदलत नाही, गुणाकाराने h पट होतो). σ_u² = Σfu²/N − (Σfu/N)².

  • सोपे : x : 3, 5, 7 ; f : 1, 2, 1. N = 4, Σfx = 20, x̄ = 5. Σfx² = 9 + 50 + 49 = 108; σ² = 27 − 25 = 2.
  • मध्यम : x : 2, 4, 6, 8 ; f : 1, 3, 4, 2. N = 10, Σfx = 54, x̄ = 5.4. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324; σ² = 32.4 − 29.16 = 3.24; σ = 1.8.
  • परीक्षेसाठी : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 ; f : 1, 3, 5, 1. वर्गचिन्हे 5, 15, 25, 35; A = 25, h = 10 : u = −2, −1, 0, 1. Σfu = −4, Σfu² = 8, N = 10. x̄ = 25 + 10 × (−0.4) = 21. σ = 10 × √(0.8 − 0.16) = 10 × 0.8 = 8.
लक्षात ठेवा

विचरणात N = Σf (n नाही). वर्गीकृत माहितीत x म्हणून नेहमी वर्गचिन्ह घ्या, वर्गाची मर्यादा नाही.

सामान्य चूक

Σfx² काढताना (fx)² घेणे. बरोबर : f × x². उदाहरणार्थ x = 6, f = 4 : 4 × 36 = 144, (24)² = 576 नव्हे.

शॉर्टकट

मूल्ये मोठी असतील तर u = (x − A)/h घ्या; शेवटी σ ला h ने गुणा. मध्यावर A घेतला तर Σfu लहान येतो. आठवणीची युक्ती : "लहान करा, काढा, परत मोठे करा (h ने गुणा)".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात σ_u दिले की उत्तर h × σ_u. म्हणजे गुणांचे A वजा करून मग भागणे मोजायची गरज नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : u = (x − 30)/5 घेऊन Σfu = 0, Σfu² = 80, N = 20 मिळाले. σ किती ? (A) 10 (B) 2 (C) 20 (D) 50

उत्तर : (A). σ_u² = 80/20 − 0 = 4, σ_u = 2; σ = 5 × 2 = 10. वेळ वाचवण्याची पद्धत : Σfu = 0 म्हणून फक्त Σfu²/N चे वर्गमूळ, मग h ने गुणा.

फरक ओळखा

मुद्दाथेट पद्धतपायरी विचलन
वापरालहान xमोठे x किंवा वर्गचिन्हे
मध्यΣfx ÷ NA + h × Σfu ÷ N
σ√(Σfx²/N − x̄²)h × √(Σfu²/N − (Σfu/N)²)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x : 1, 3, 5 ; f : 1, 2, 1. विचरण काढा.
  2. 2x : 0, 2 ; f : 1, 1. विचरण काढा.
  3. 3x : 10, 20, 30 ; f : 1, 2, 1. विचरण काढा.
मध्यम
  1. 4x : 2, 4, 6, 8 ; f : 2, 3, 3, 2. विचरण काढा.
  2. 5x : 10, 20, 30, 40 ; f : 2, 4, 3, 1. A = 20, h = 10 घेऊन σ काढा.
  3. 6N = 20, Σfx = 200, Σfx² = 2100 असल्यास विचरण काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 ; f : 2, 4, 3, 1. मध्य आणि σ काढा.
  2. 8x : 1, 2, 3, 4, 5 ; f : 1, 2, 4, 2, 1. विचरण काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x̄ = 3; Σfx² = 1 + 18 + 25 = 44; σ² = 11 − 9 = 2.
  2. 2मध्य 1; (1 + 1)/2 = 1.
  3. 3मध्य 20; (100 + 0 + 0 + 100)/4 = 50.
  4. 4N = 10, Σfx = 50, x̄ = 5; Σfx² = 8 + 48 + 108 + 128 = 292; σ² = 29.2 − 25 = 4.2.
  5. 5Σfu = 3, Σfu² = 9; σ = 10 × √(0.9 − 0.09) = 10 × 0.9 = 9.
  6. 6x̄ = 10; σ² = 2100/20 − 100 = 5.
  7. 7वर्गचिन्हे 5, 15, 25, 35; x̄ = 18, σ² = 405 − 324 = 81, σ = 9.
  8. 8N = 10, x̄ = 3; Σf(x − 3)² = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12; σ² = 12/10 = 1.2.

मूलबिंदू आणि एकक बदल

रोजच्या जीवनातून

सर्व विद्यार्थ्यांना शिक्षकाने 5 गुण वाढवून दिले, तर सर्वांचे गुण 5 ने पुढे सरकतात; पण कोण कोणाच्या किती पुढे/मागे आहे ते तसेच राहते. गुण 2 ने गुणले तर अंतरे दुप्पट होतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात y = ax + b हे रेषेचे रूप शिकलो; येथे प्रत्येक x वरून y = ax + b बनवल्यावर मध्य आणि σ कसे बदलतात ते पाहतो.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक मूल्यात सारखी संख्या मिळवणे/वजा करणे म्हणजे मूलबिंदू बदल. प्रत्येक मूल्याला सारख्या संख्येने गुणणे/भागणे म्हणजे एकक बदल.

नियम 1 : y = ax + b साठी — ȳ = a x̄ + b; σ_y = |a| σ_x; σ_y² = a² σ_x². b चा σ वर परिणाम नाही.

0xspread 400x − 50spread 40 (only shifted)0u = (x − 50) ÷ 10spread 4 (ten times narrower)SD of x = 10 × SD of u

आकृतीत : सर्व बिंदू 4 ने सरकले : मध्य सरकला पण अंतरे तीच; सर्व अंतरे 2 पट झाली : σ दुप्पट.

सूत्र कसे मिळाले? : y = ax + b तर ȳ = a x̄ + b. फरक y − ȳ = a(x − x̄) (b वजा झाले). वर्ग : a²(x − x̄)². मध्य घेतला की σ_y² = a² σ_x². वर्गमूळ घेताना ऋण a चा |a| होतो, कारण σ ऋण नसतो.

  • सोपे : मध्य 8, σ = 3. प्रत्येक मूल्यात 10 मिळवले : नवा मध्य 18; σ = 3 तोच.
  • मध्यम : मध्य 8, σ = 3 आणि y = 2x − 5 : ȳ = 16 − 5 = 11; σ_y = 2 × 3 = 6; σ_y² = 36.
  • परीक्षेसाठी : u = (x − A)/10 साठी σ_u = 1.2 : σ_x = 10 × 1.2 = 12.
लक्षात ठेवा

मिळवणे/वजा करणे : मध्य बदलतो, σ तोच. गुणणे/भागणे : मध्य आणि σ दोन्ही बदलतात (σ ला |a| ने गुणा, विचरणाला a² ने).

सामान्य चूक

ऋण a साठी σ ऋण लिहिणे (−12). σ कधीही ऋण नसते; |a| वापरा.

शॉर्टकट

विचरणासाठी a चा वर्ग, σ साठी a चा निरपेक्ष. b कडे बघायचेच नाही. आठवणीची युक्ती : "b गायब, a चा वर्ग".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात y = 1 − 3x दिले की मध्य काढताना b मोजा, पण σ काढताना b सोडा आणि |−3| = 3 घ्या.

CET-स्टाइल उदाहरण : x चा मध्य 20 आणि σ = 4. y = 1 − 3x तर y चे σ किती ? (A) 12 (B) −12 (C) 4 (D) 13

उत्तर : (A). σ_y = |−3| × 4 = 12 (मध्य −59 येतो, पण तो विचारलेला नाही). वेळ वाचवण्याची पद्धत : फक्त |a| × σ; b आणि मध्य वाचण्याचीही गरज नाही.

फरक ओळखा

बदलमध्यσ
x + bx̄ + bतोच
a xa x̄σ × abs(a)
a x + ba x̄ + bσ × abs(a)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मध्य 12, σ = 2. प्रत्येक मूल्यात 5 मिळवले. नवा मध्य आणि σ सांगा.
  2. 2σ = 3 आणि प्रत्येक मूल्य 4 ने गुणले. नवे σ काढा.
  3. 3विचरण 9 आणि प्रत्येक मूल्यातून 7 वजा केले. नवे विचरण काढा.
मध्यम
  1. 4σ_x = 5 आणि y = 3x + 2 तर σ_y काढा.
  2. 5y = (x − 50)/10 आणि σ_y = 2.4 तर σ_x काढा.
  3. 6मध्य 30, σ = 6. y = (x − 30)/6 चा मध्य आणि σ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7x चे विचरण 16 आहे. y = 3 − 2x चे विचरण काढा.
  2. 8मध्य 10 आणि σ = 5. सर्व मूल्ये 3 ने गुणली. विचरण गुणांक (टक्क्यांत) किती ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1मध्य 17; σ = 2 तोच.
  2. 2σ = 4 × 3 = 12.
  3. 3विचरण 9 तोच.
  4. 4σ_y = 3 × 5 = 15.
  5. 5σ_x = 10 × 2.4 = 24.
  6. 6मध्य (30 − 30)/6 = 0; σ = 6/6 = 1.
  7. 7(−2)² × 16 = 64.
  8. 8मूळ गुणांक 5/10 × 100 = 50 %; नवा मध्य 30, σ = 15; 15/30 × 100 = 50 %.

एकत्रित प्रमाणित विचलन

रोजच्या जीवनातून

दोन तुकड्यांचे गुण स्वतंत्र माहीत आहेत; पण शाळेची एकूण सरासरी आणि पसारा काढायचा आहे. सर्व उत्तरपत्रिका पुन्हा तपासायच्या नसतात; प्रत्येक तुकडीची संख्या, मध्य आणि σ पुरे. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात भारित सरासरी शिकलो; एकत्रित मध्य तोच प्रकार आहे. त्यावर σ चे सूत्र उभे राहते.

सोपी व्याख्या

दोन संचांची संख्या n₁, n₂, मध्य x̄₁, x̄₂ आणि प्रमाणित विचलने σ₁, σ₂ असतील तर सर्व निरीक्षणांचा एकत्रित मध्य आणि एकत्रित प्रमाणित विचलन काढता येते.

नियम 1 : एकत्रित सूत्रे — x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂). d₁ = x̄₁ − x̄, d₂ = x̄₂ − x̄. σ² = [n₁(σ₁² + d₁²) + n₂(σ₂² + d₂²)] ÷ (n₁ + n₂).

40455055606570group 1group 2combined mean = 56d₁ = −6d₂ = 4mean 50mean 60

आकृतीत : दोन संचांचे मध्य एकत्रित मध्यापासून d₁ आणि d₂ अंतरावर आहेत; ही अंतरे σ ची किंमत वाढवतात.

सूत्र कसे मिळाले? : प्रत्येक संचाचा Σ(x − x̄)² = n σ². एकत्रित मध्यापासूनचा फरक : x − x̄ = (x − x̄₁) + d₁. वर्ग करून बेरीज केली की मधले पद शून्य होते (संचाच्या मध्यापासूनच्या फरकांची बेरीज 0). उरते n₁σ₁² + n₁d₁². दुसऱ्या संचाचेही तसेच; दोन्ही मिळवून N ने भागा.

  • सोपे : दोन तुकड्या : 30 मुले, मध्य 40 आणि 20 मुले, मध्य 50. एकत्रित मध्य = (1200 + 1000)/50 = 44.
  • मध्यम : 30 मुले (मध्य 40, σ 3) आणि 20 मुले (मध्य 50, σ 7) : x̄ = 44; d₁ = −4, d₂ = 6. σ² = [30(9 + 16) + 20(49 + 36)]/50 = (750 + 1700)/50 = 49; σ = 7.
  • परीक्षेसाठी : 20 मुले (मध्य 50, σ 2) आणि 30 मुले (मध्य 70, σ 2) : x̄ = 62; d₁ = −12, d₂ = 8. σ² = [20(4 + 144) + 30(4 + 64)]/50 = 5000/50 = 100; σ = 10.
लक्षात ठेवा

एकत्रित σ हे दोन σ च्या सरासरीपेक्षा मोठे असू शकते, कारण संचांचे मध्य दूर असतील तर पसारा वाढतो (d चे पद).

सामान्य चूक

σ = (σ₁ + σ₂)/2 घेणे. बरोबर पद्धत : प्रत्येक संचाचे n(σ² + d²) मिळवून N ने भागा.

शॉर्टकट

आधी एकत्रित मध्य काढा, मग d₁ आणि d₂. d शून्य झाले तर σ² फक्त n₁σ₁² आणि n₂σ₂² चा भारित मध्य. आठवणीची युक्ती : "σ² आणि d² एकत्र बांधा, n ने गुणा".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात n₁ आणि n₂ खूप वेगळे दिले की एकत्रित मध्य मोठ्या संचाच्या जवळ येतो; उत्तर पडताळायला याचा उपयोग करा.

CET-स्टाइल उदाहरण : 10 निरीक्षणे (मध्य 40, σ 3) आणि 40 निरीक्षणे (मध्य 35, σ 2). एकत्रित σ किती ? (A) 3 (B) 2.5 (C) 9 (D) 5

उत्तर : (A). x̄ = 36; d₁ = 4, d₂ = −1; σ² = (10 × 25 + 40 × 5)/50 = 9; σ = 3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : σ₁² + d₁² = 25 आणि σ₂² + d₂² = 5; (250 + 200)/50.

फरक ओळखा

मुद्दाएकत्रित मध्यएकत्रित σ²
आधारn × x̄n × (σ² + d²)
भागN नेN ने
d चा उपयोगनाहीआहे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 140 निरीक्षणांचा मध्य 10 आणि 60 निरीक्षणांचा मध्य 15. एकत्रित मध्य काढा.
  2. 220 मुलांचा मध्य 50 आणि 30 मुलांचा मध्य 60. एकत्रित मध्य काढा.
  3. 325 आणि 25 निरीक्षणांचे मध्य 8 आणि 12 आहेत. एकत्रित मध्य काढा.
मध्यम
  1. 420 निरीक्षणे (मध्य 40, σ 2) आणि 30 निरीक्षणे (मध्य 60, σ 2). एकत्रित मध्य आणि σ काढा.
  2. 520 निरीक्षणे (मध्य 50, σ 2) आणि 30 निरीक्षणे (मध्य 40, σ 8). एकत्रित मध्य आणि σ काढा.
  3. 630 निरीक्षणे (मध्य 40, σ 3) आणि 20 निरीक्षणे (मध्य 30, σ 7). एकत्रित मध्य आणि σ काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7एका संचात 10 मूल्ये सर्व 10 आणि दुसऱ्यात 10 मूल्ये सर्व 30 आहेत. एकत्रित σ काढा.
  2. 840 निरीक्षणे (मध्य 60, σ 2) आणि 60 निरीक्षणे (मध्य 50, σ 8). एकत्रित मध्य आणि σ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(400 + 900)/100 = 13.
  2. 2(1000 + 1800)/50 = 56.
  3. 3(200 + 300)/50 = 10.
  4. 4x̄ = 52; d = −12, 8; σ² = [20(4 + 144) + 30(4 + 64)]... = 100; σ = 10.
  5. 5x̄ = 44; d = 6, −4; σ² = [20 × 40 + 30 × 80]/50 = 64; σ = 8.
  6. 6x̄ = 36; d = 4, −6; σ² = [30 × 25 + 20 × 85]/50 = 49; σ = 7.
  7. 7x̄ = 20; d = −10, 10; σ² = (10 × 100 + 10 × 100)/20 = 100; σ = 10.
  8. 8x̄ = 54; d = 6, −4; σ² = [40 × 40 + 60 × 80]/100 = 64; σ = 8.

विचरण गुणांक

रोजच्या जीवनातून

एका शहराचे दिवसाचे तापमान 30 अंश असून 3 अंशांनी बदलते; दुसऱ्या ठिकाणी 6 अंश असून 3 अंशांनी बदलते. तितकाच बदल दुसऱ्या जागी जास्त जाणवतो. म्हणून पसारा मध्याच्या तुलनेत मोजतात. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात शेकडेवारी शिकलो; विचरण गुणांक म्हणजे σ ची मध्याशी शेकडेवारी.

सोपी व्याख्या

σ ला मध्याने भागून 100 ने गुणले की विचरण गुणांक (CV) मिळतो. तो टक्क्यांत असतो आणि त्याला एकक नाही. ज्या संचाचा CV कमी तो अधिक सुसंगत.

नियम 1 : CV चे सूत्र — CV = (σ ÷ x̄) × 100 %.

Amean 50SD 10CV = 20%Bmean 200SD 30CV = 15%bigger SD, but smaller CV: B is more consistent

आकृतीत : A चे σ मोठे आहे; पण मध्याच्या तुलनेत B चा पसारा जास्त आहे. म्हणून CV वरून तुलना.

नियम 2 : कधी वापरायचा — दोन संचांचे मध्य किंवा एकके वेगळी असतील तेव्हा σ ची तुलना चालत नाही; तेव्हा CV वापरा. CV कमी म्हणजे जास्त सुसंगत, जास्त म्हणजे जास्त चढउतार.

सूत्र कसे मिळाले? : σ चे एकक आणि मध्याचे एकक सारखे आहे; म्हणून σ ÷ x̄ ला एकक नसते. 100 ने गुणले की ही संख्या शेकडेवारी बनते. मध्य दुप्पट असून σ दुप्पट असेल तर CV तोच, कारण भागाकारात दोन्ही 2 रद्द होतात.

  • सोपे : x̄ = 40, σ = 8 : CV = 8/40 × 100 = 20 %.
  • मध्यम : A : x̄ = 50, σ = 6, CV = 12 %. B : x̄ = 80, σ = 8, CV = 10 %. B चा CV कमी म्हणून B अधिक सुसंगत.
  • परीक्षेसाठी : CV = 25 % आणि x̄ = 16 : σ = 25/100 × 16 = 4.
लक्षात ठेवा

CV ला "टक्का" एकक आहे; σ ला माहितीचे एकक. दोन संचांचे एकक वेगळे असेल (किलो आणि सेमी) तर फक्त CV तुलना करतो.

सामान्य चूक

ज्याचे σ मोठे तोच जास्त विखुरलेला असे मानणे. मध्य वेगळे असतील तर CV पाहावा.

शॉर्टकट

दोन संचांची तुलना करताना σ/x̄ काढा; 100 ने गुणायची गरज नाही, कारण दोन्हींना तोच 100. आठवणीची युक्ती : "कमी CV = सुसंगत".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "अधिक सुसंगत कोण ?" असे विचारले तर CV कमी असलेला निवडा, σ कमी असलेला नाही.

CET-स्टाइल उदाहरण : A : x̄ = 60, σ = 9. B : x̄ = 40, σ = 8. कोणता संच अधिक सुसंगत ? (A) A (B) B (C) दोन्ही सारखे (D) सांगता येत नाही

उत्तर : (A). CV_A = 15 %, CV_B = 20 %; A चा CV कमी. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 9/60 = 0.15 आणि 8/40 = 0.2; थेट तुलना.

फरक ओळखा

मुद्दाσCV
एककमाहितीचेटक्का
तुलनासमान मध्य असतील तेव्हाकोणतेही संच
लहान किंमतकमी पसाराजास्त सुसंगत

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x̄ = 50, σ = 5 : CV काढा.
  2. 2x̄ = 20, σ = 3 : CV काढा.
  3. 3CV = 12 % आणि x̄ = 50 असल्यास σ काढा.
मध्यम
  1. 4CV = 20 % आणि σ = 6 असल्यास मध्य काढा.
  2. 5A : x̄ = 25, σ = 5. B : x̄ = 40, σ = 6. कोणता अधिक सुसंगत ?
  3. 6माहिती 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 चा CV काढा (σ = 2).
आव्हानात्मक
  1. 7मध्य 40 आणि CV 15 % आहे. प्रत्येक मूल्यात 10 मिळवले. नवा CV काढा.
  2. 8A चा CV 30 %, मध्य 20; B चा CV 45 %, मध्य 30. दोघांचे σ काढा. कोणाचा पसारा जास्त ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15/50 × 100 = 10 %.
  2. 23/20 × 100 = 15 %.
  3. 3σ = 12/100 × 50 = 6.
  4. 4x̄ = σ × 100 ÷ CV = 600/20 = 30.
  5. 5CV_A = 20 %, CV_B = 15 %; B अधिक सुसंगत.
  6. 6मध्य 5; CV = 2/5 × 100 = 40 %.
  7. 7σ = 15/100 × 40 = 6; नवा मध्य 50; CV = 6/50 × 100 = 12 %.
  8. 8σ_A = 6; σ_B = 13.5. B चा पसारा जास्त.

धडा ८ : प्रकीर्णनाची मापे — झटपट उजळणी

मापेसूत्र / मुद्दा
विस्तारL − S; गुणांक (L − S)/(L + S); मिळवल्याने बदल नाही
विचरणσ² = Σ(x − x̄)²/n = Σx²/n − x̄²
प्रमाणित विचलनσ = √σ²; एकक माहितीसारखे
वारंवारता वितरणσ² = Σfx²/N − x̄²; पायरी विचलन σ = h × σ_u
y = ax + bȳ = a x̄ + b; σ_y = abs(a) × σ_x
एकत्रितx̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/N; σ² = [n₁(σ₁² + d₁²) + n₂(σ₂² + d₂²)]/N
विचरण गुणांकCV = σ/x̄ × 100 %; कमी CV = अधिक सुसंगत

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • विस्तार फक्त दोन टोके पाहतो; σ सर्व मूल्ये पाहते.
  • σ चे एकक माहितीसारखे, σ² चे वर्ग एकक.
  • मिळवणे/वजा करणे : σ तोच; गुणणे : σ ला |a| ने गुणा.
  • एकत्रित σ च्या सूत्रात d² विसरू नका.
  • तुलनेसाठी CV; कमी CV म्हणजे अधिक सुसंगत.
अभ्यासाचा मंत्र

"पसारा मोजा : वर्ग, मध्य, वर्गमूळ".