K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 11 · गणित भाग १

धडा ९: संभाव्यता

7 संकल्पना · उत्तरांसह 56 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

नमुना अवकाश आणि घटना

रोजच्या जीवनातून

पाठीमागून आवाज आला तर मित्र हाक मारतोय की नाही सांगता येत नाही; पण नाणे उडवले तर निकाल छापा किंवा काटा यांपैकीच एक येणार हे आधीच माहीत असते. जे निकाल येऊ शकतात त्यांची यादी म्हणजे नमुना अवकाश. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात संच आणि शक्यतांची साधी कल्पना शिकलो; येथे संचांचीच भाषा वापरून शक्यता मांडतो.

सोपी व्याख्या

ज्याचे निकाल आधी ठरवता येत नाहीत पण सर्व संभाव्य निकाल माहीत असतात त्याला यादृच्छिक प्रयोग म्हणतात. सर्व संभाव्य निकालांचा संच म्हणजे नमुना अवकाश (S). S चा कोणताही उपसंच म्हणजे घटना.

नियम 1 : घटनांचे प्रकार — सरळ घटना : एकच निकाल. पूरक घटना A′ : A न घडणे. परस्पर अपवर्जी : दोन्ही एकदम घडू शकत नाहीत (A ∩ B रिकामा). परिपूर्ण घटना : त्यांची युनियन S असते. सर्वांचे निकाल समसंभाव्य असतील तेव्हा पुढील सूत्रे चालतात.

2nd die1stdie111,6222,5333,4444,3555,2666,1S has 36 boxes; A = "sum is 7" has 6P(A) = 6/36 = 1/6

आकृतीत : दोन फासे फेकल्यावर 36 निकाल; "बेरीज 7" ही घटना A चे 6 निकाल (नारिंगी तिरकी रांग).

नियम 2 : निकाल मोजण्याची पद्धत — एका नाण्याचे 2 निकाल; n नाणी असतील तर 2 चा n वेळा गुणाकार. एका फाशाचे 6; दोन फाशांचे 6 × 6 = 36. पत्त्यांचा संच 52 : 4 प्रकार × 13.

सूत्र कसे मिळाले? : प्रत्येक निकालासाठी पुढच्या प्रयोगाचे सर्व निकाल पुन्हा येतात, म्हणून संख्या गुणाकाराने वाढते. दोन फाशांत पहिल्या फाशाचे 6 निकाल आणि प्रत्येकासोबत दुसऱ्याचे 6; एकूण 6 × 6 = 36.

  • सोपे : 3 नाणी फेकली : n(S) = 2 × 2 × 2 = 8.
  • मध्यम : दोन फासे, घटना "बेरीज 8" : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). म्हणजे 5 निकाल.
  • परीक्षेसाठी : 3 नाण्यांत "किमान एक छापा" : पूरक "सर्व काटे" फक्त 1; म्हणून 8 − 1 = 7 निकाल. A = "बेरीज 7" आणि B = "दोन्ही फासे सारखे" परस्पर अपवर्जी आहेत, कारण सारख्या अंकांची बेरीज सम असते.
लक्षात ठेवा

निकाल मोजताना "फेकल्यावर क्रम महत्त्वाचा" : (2,5) आणि (5,2) हे दोन वेगळे निकाल आहेत; (4,4) एकच.

सामान्य चूक

दोन फाशांचे 12 निकाल (6 + 6) मानणे. बरोबर 6 × 6 = 36.

शॉर्टकट

"किमान एक" घटना दिली की पूरक "एकही नाही" मोजा आणि S मधून वजा करा. आठवणीची युक्ती : "किमान एक = सर्व − एकही नाही".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात नाणी n वेळा फेकली की 2ⁿ; 2n किंवा n² घेऊ नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : एक नाणे 4 वेळा फेकले. n(S) किती ? (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 32

उत्तर : (A). 2 × 2 × 2 × 2 = 16. वेळ वाचवण्याची पद्धत : प्रत्येक फेकीला दुप्पट : 2, 4, 8, 16.

फरक ओळखा

मुद्दापरस्पर अपवर्जीपरिपूर्ण
अर्थएकदम घडत नाहीतमिळून सर्व S
सूत्रA ∩ B रिकामाA ∪ B = S
उदाहरणफाशावर 1 आणि फाशावर 2सम आणि विषम

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एक फासा फेकला. नमुना अवकाश लिहा.
  2. 24 नाणी फेकली. n(S) काढा.
  3. 3फाशावर "सम अंक" ही घटना लिहा.
मध्यम
  1. 4दोन फासे : "बेरीज 5" घटनेचे निकाल मोजा.
  2. 5दोन फासे : "दोन्ही अंक सारखे" घटनेचे निकाल मोजा.
  3. 6दोन फासे : "बेरीज 10 किंवा जास्त" घटनेचे निकाल मोजा.
आव्हानात्मक
  1. 73 नाणी : "बरोबर दोन छापे" घटनेचे निकाल मोजा.
  2. 852 पत्त्यांतून एक पान : "राजा किंवा बदाम" घटनेचे निकाल मोजा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  2. 22⁴ = 16.
  3. 3{2, 4, 6}.
  4. 4(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) : 4.
  5. 5(1,1) ते (6,6) : 6.
  6. 6(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) : 6.
  7. 7HHT, HTH, THH : 3.
  8. 84 राजे + 13 बदाम − 1 (बदामाचा राजा) = 16.

घटनेची संभाव्यता

रोजच्या जीवनातून

"आज पाऊस पडण्याची शक्यता 70 %" असे हवामान सांगते; म्हणजे 100 पैकी 70 वेळा तशी परिस्थिती असताना पाऊस पडला. शक्यतेला संख्येत मांडले की संभाव्यता. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात अपूर्णांक आणि शेकडेवारी शिकलो; संभाव्यता हाही 0 ते 1 मधील अपूर्णांकच आहे.

सोपी व्याख्या

सर्व निकाल समसंभाव्य असतील तर घटना A ची संभाव्यता म्हणजे A मधील निकालांची संख्या ÷ S मधील निकालांची संख्या. अशक्य घटनेची संभाव्यता 0 आणि निश्चित घटनेची 1.

नियम 1 : मूळ सूत्र — P(A) = n(A) ÷ n(S); 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A).

01/41/23/41impossiblecertainP(7) = 0P(six) = 1/6P(head) = 1/2P(1 to 6) = 1always 0 ≤ P(A) ≤ 1P(A) + P(not A) = 1

आकृतीत : संभाव्यता नेहमी 0 आणि 1 यांच्यामध्ये; 0 अशक्य, 1 निश्चित.

नियम 2 : पूरक घटना — A घडण्याची आणि न घडण्याची संभाव्यता मिळून नेहमी 1. म्हणून "किमान एक" प्रकारात P = 1 − P(एकही नाही).

सूत्र कसे मिळाले? : A मधील निकाल आणि A′ मधील निकाल मिळून सर्व S ला भरतात, म्हणून n(A) + n(A′) = n(S). दोन्ही बाजूंना n(S) ने भागा : P(A) + P(A′) = 1, म्हणजे P(A′) = 1 − P(A).

  • सोपे : फासा फेकला; 4 पेक्षा मोठा अंक : {5, 6} म्हणून P = 2/6 = 1/3.
  • मध्यम : दोन फासे; बेरीज 7 : P = 6/36 = 1/6. तीन नाणी; किमान एक छापा : P = 1 − 1/8 = 7/8.
  • परीक्षेसाठी : 52 पत्त्यांतून एक पान; चित्रे (राजा, राणी, गुलाम) : 12 पाने. P = 12/52 = 3/13.
लक्षात ठेवा

संभाव्यता कधीही ऋण किंवा 1 पेक्षा मोठी येत नाही. असे आले तर आकडेमोड चुकली आहे.

सामान्य चूक

अनुकूल निकाल ÷ प्रतिकूल निकाल घेणे. 4 पैकी 1 निकाल अनुकूल असेल तर P = 1/4 (1/3 नव्हे); भाजक म्हणजे एकूण निकाल.

शॉर्टकट

अंश आणि भाजक दोन्ही मोजताना एकच नियम वापरा (क्रम मानायचा की नाही). सोपे नसेल तर पूरक घटना काढा. आठवणीची युक्ती : "अनुकूल ÷ एकूण; अवघड तर 1 − पूरक".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "किमान एक 6" असे आले की थेट मोजू नका; 1 − (5/6)² वापरा.

CET-स्टाइल उदाहरण : दोन फासे फेकले. किमान एका फाशावर 6 येण्याची संभाव्यता ? (A) 11/36 (B) 1/6 (C) 1/3 (D) 25/36

उत्तर : (A). एकही 6 नसण्याचे 5 × 5 = 25 निकाल; P = 1 − 25/36 = 11/36. वेळ वाचवण्याची पद्धत : 36 − 25 = 11 थेट.

फरक ओळखा

मुद्दाअशक्य घटनानिश्चित घटना
P01
निकालएकही नाहीसर्व S
उदाहरणफाशावर 7फाशावर 1 ते 6 पैकी एक

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1फासा फेकला. मूळ संख्या येण्याची संभाव्यता काढा.
  2. 252 पत्त्यांतून एक पान; ते एक्का असण्याची संभाव्यता ?
  3. 3पिशवीत 3 लाल आणि 7 निळे चेंडू; एक काढला. लाल असण्याची संभाव्यता ?
मध्यम
  1. 4दोन नाणी; दोन्ही छापे येण्याची संभाव्यता ?
  2. 5दोन फासे; बेरीज 9 येण्याची संभाव्यता ?
  3. 6तीन नाणी; बरोबर दोन छापे येण्याची संभाव्यता ?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन फासे; अंकांचा गुणाकार 12 येण्याची संभाव्यता ?
  2. 852 पत्त्यांतून एक पान; ते राजा नाही आणि बदामही नाही अशी संभाव्यता ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1{2, 3, 5} : 3/6 = 1/2.
  2. 24/52 = 1/13.
  3. 33/10.
  4. 41/4.
  5. 5(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) : 4/36 = 1/9.
  6. 6HHT, HTH, THH : 3/8.
  7. 7(2,6), (3,4), (4,3), (6,2) : 4/36 = 1/9.
  8. 8राजा किंवा बदाम 16 पाने; बाकी 36. P = 36/52 = 9/13.

बेरजेचे प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

वर्गातील 20 मुलांना क्रिकेट आवडते आणि 15 मुलांना फुटबॉल; दोन्ही आवडणाऱ्यांना दोनदा मोजले तर एकूण संख्या चुकते. "किंवा" म्हणजे दोन्ही मोजताना सामाईक भाग एकदाच धरायचा. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात संचांचे n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) शिकलो; तेच सूत्र संभाव्यतेत येते.

सोपी व्याख्या

A किंवा B घडणे म्हणजे A ∪ B; A आणि B दोन्ही घडणे म्हणजे A ∩ B. बेरजेचे प्रमेय A ∪ B ची संभाव्यता सांगते.

नियम 1 : प्रमेय — P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). A, B परस्पर अपवर्जी असतील तर P(A ∩ B) = 0 आणि P(A ∪ B) = P(A) + P(B). "दोन्ही नाहीत" : P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B).

S311236A: kingB: heartn(A ∪ B) = 3 + 1 + 12 = 16P(A ∪ B) = 4/52 + 13/52 − 1/52

आकृतीत : 52 पत्त्यांत A = राजा, B = बदाम : सामाईक एकच (बदामाचा राजा), म्हणून एकदा वजा.

सूत्र कसे मिळाले? : A ∪ B मधील निकाल मोजताना A चे n(A) आणि B चे n(B) घेतले की सामाईक n(A ∩ B) निकाल दोनदा येतात. म्हणून n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). n(S) ने भागले की संभाव्यतेचे सूत्र.

  • सोपे : परस्पर अपवर्जी : P(A) = 0.4, P(B) = 0.3. P(A ∪ B) = 0.7.
  • मध्यम : 52 पत्ते : राजा किंवा बदाम. 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
  • परीक्षेसाठी : P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.7 : P(A ∩ B) = 0.5 + 0.4 − 0.7 = 0.2.
लक्षात ठेवा

"किंवा" म्हणजे बेरीज (वजा सामाईक), "आणि" म्हणजे छेद. सर्व निकाल मोजले की सामाईक वजा करायचे राहिले का ते तपासा.

सामान्य चूक

परस्पर अपवर्जी नसताना P(A) + P(B) एवढेच घेणे; उत्तर कधी कधी 1 पेक्षा मोठे येते.

शॉर्टकट

तिन्ही संख्या दिल्या आणि एक कमी असेल तर सूत्रातूनच काढा : P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B). आठवणीची युक्ती : "जोडा, सामाईक वजा करा".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "A किंवा B नाही" असे दिले की 1 − P(A ∪ B).

CET-स्टाइल उदाहरण : P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A ∩ B) = 1/6. P(A ∪ B) = ? (A) 2/3 (B) 5/6 (C) 1/6 (D) 3/4

उत्तर : (A). 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. वेळ वाचवण्याची पद्धत : सर्वांना 6 भाजक : 3 + 2 − 1.

फरक ओळखा

मुद्दापरस्पर अपवर्जीअपवर्जी नाहीत
P(A ∩ B)0शून्य नसते
P(A ∪ B)P(A) + P(B)P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
उदाहरणफाशावर 2 किंवा 5फाशावर सम किंवा 4 पेक्षा मोठा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1परस्पर अपवर्जी A, B साठी P(A) = 0.2, P(B) = 0.5. P(A ∪ B) काढा.
  2. 2परस्पर अपवर्जी A, B साठी P(A) = 3/10, P(B) = 1/5. P(A ∪ B) काढा.
  3. 3P(A ∪ B) = 0.6 असल्यास A किंवा B दोन्ही न घडण्याची संभाव्यता काढा.
मध्यम
  1. 4फासा फेकला. सम अंक किंवा 4 पेक्षा मोठा अंक येण्याची संभाव्यता ?
  2. 552 पत्त्यांतून एक पान; इस्पिक किंवा एक्का येण्याची संभाव्यता ?
  3. 6P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.3. P(A ∪ B) काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7P(A ∪ B) = 0.9, P(A) = 0.6, P(B) = 0.7. P(A ∩ B) काढा.
  2. 8फासा फेकला. 2 ने किंवा 3 ने भाग जाणारा अंक येण्याची संभाव्यता ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 10.2 + 0.5 = 0.7.
  2. 23/10 + 2/10 = 1/2.
  3. 31 − 0.6 = 0.4.
  4. 4{2, 4, 6, 5} : 4/6 = 2/3.
  5. 513 + 4 − 1 = 16; 16/52 = 4/13.
  6. 60.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8.
  7. 70.6 + 0.7 − 0.9 = 0.4.
  8. 8{2, 3, 4, 6} : 4/6 = 2/3.

सशर्त संभाव्यता आणि गुणाकाराचे प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

फासा फेकला आणि कोणीतरी सांगितले "अंक सम आहे". आता शक्यता फक्त 2, 4, 6 पैकी राहतात; पूर्वीचे 6 निकाल उरले नाहीत. नवी माहिती मिळाली की संभाव्यता बदलते. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात नमुना अवकाश आणि P = अनुकूल ÷ एकूण शिकलो; येथे एकूण निकालांची यादी लहान होते.

सोपी व्याख्या

B घडले आहे हे माहीत असताना A घडण्याची संभाव्यता म्हणजे सशर्त संभाव्यता P(A | B). B घडले आहे असे गृहीत धरल्याने नमुना अवकाश B इतका लहान होतो.

नियम 1 : सशर्त संभाव्यता — P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = n(A ∩ B) ÷ n(B) (जेव्हा P(B) ≠ 0).

SABA∩Bwhole Sgiven B: new S5 points in Bgreen = also in A: 3 of 5P(A | B) = n(A ∩ B) ÷ n(B) = 3/5

आकृतीत : B घडले : नवे अवकाश फक्त B; त्यातील A ∩ B चे 3 बिंदू (हिरवे) 5 पैकी.

नियम 2 : गुणाकाराचे प्रमेय — P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(A) × P(B | A). चेंडू परत न ठेवता काढल्यास दुसऱ्या वेळी संख्या कमी होते, म्हणून हेच सूत्र वापरतात.

सूत्र कसे मिळाले? : सशर्त सूत्र P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) या सूत्रात दोन्ही बाजूंना P(B) ने गुणा : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B). A आणि B ची अदलाबदल केली की दुसरे रूप.

  • सोपे : P(A ∩ B) = 0.2, P(B) = 0.5 : P(A | B) = 0.2/0.5 = 0.4.
  • मध्यम : फासा; अंक सम आहे हे माहीत. P(अंक 3 पेक्षा मोठा | सम) : सम = {2, 4, 6}; त्यातील {4, 6}. P = 2/3.
  • परीक्षेसाठी : पिशवीत 4 लाल आणि 6 निळे चेंडू; परत न ठेवता 2 काढले; दोन्ही लाल : 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15.
लक्षात ठेवा

P(A | B) या रूपात "|" च्या मागचा घटक (B) हा भाजक. P(A | B) आणि P(B | A) साधारणपणे वेगळे असतात.

सामान्य चूक

परत न ठेवताना दुसऱ्या वेळीही 4/10 घेणे. बरोबर : एक चेंडू कमी, म्हणून 3/9.

शॉर्टकट

अट दिली की मनात नवा नमुना अवकाश तयार करा आणि त्यातल्या निकालांचे सरळ मोजमाप करा; सूत्र लावायचीही गरज पडत नाही. आठवणीची युक्ती : "अट आली, अवकाश आक्रसला".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "पहिला फासा 3 आला" अशी अट असेल तर दुसऱ्या फाशाचे 6 निकालच नवे अवकाश; 36 घेऊ नका.

CET-स्टाइल उदाहरण : दोन फासे; पहिल्यावर 3 आला हे माहीत. बेरीज 8 येण्याची संभाव्यता ? (A) 1/6 (B) 5/36 (C) 1/36 (D) 1/3

उत्तर : (A). नवे अवकाश : (3,1) ते (3,6) = 6 निकाल; त्यात फक्त (3,5) बेरीज 8. P = 1/6. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दुसऱ्या फाशावर 5 हवा : 6 पैकी 1.

फरक ओळखा

मुद्दाP(A)P(A ∣ B)
अवकाशपूर्ण Sफक्त B
भाजकn(S)n(B)
अटनाहीB घडले आहे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1P(A ∩ B) = 0.3, P(B) = 0.6. P(A | B) काढा.
  2. 2फासा; अंक विषम आहे हे माहीत. तो 3 असण्याची संभाव्यता ?
  3. 3P(B) = 0.5, P(A | B) = 0.4. P(A ∩ B) काढा.
मध्यम
  1. 4दोन फासे; बेरीज 7 आहे हे माहीत. पहिल्यावर 4 असण्याची संभाव्यता ?
  2. 5पिशवीत 5 लाल आणि 3 निळे चेंडू; परत न ठेवता दोन काढले. दोन्ही लाल येण्याची संभाव्यता ?
  3. 652 पत्त्यांतून परत न ठेवता दोन पाने; दोन्ही एक्के येण्याची संभाव्यता ?
आव्हानात्मक
  1. 7P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∪ B) = 0.8. P(A | B) काढा.
  2. 8दोन फासे; बेरीज 10 किंवा जास्त आहे हे माहीत. दोन्ही अंक सारखे असण्याची संभाव्यता ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 10.3/0.6 = 0.5.
  2. 2{1, 3, 5} पैकी 3 : 1/3.
  3. 30.5 × 0.4 = 0.2.
  4. 4बेरीज 7 चे 6 निकाल; (4,3) फक्त एक. 1/6.
  5. 55/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
  6. 64/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221.
  7. 7P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8 = 0.3; P(A | B) = 0.3/0.5 = 0.6.
  8. 86 निकाल; सारखे अंक (5,5), (6,6) : 2/6 = 1/3.

स्वतंत्र घटना

रोजच्या जीवनातून

नाणे फेकले आणि फासा फेकला : नाण्याचा निकाल फाशावर काहीही परिणाम करत नाही. अशा एकमेकांवर परिणाम न करणाऱ्या घटना म्हणजे स्वतंत्र घटना. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात शक्यतांचा गुणाकार शिकलो (नाणे आणि फासा = 2 × 6); त्याचेच हे सूत्ररूप.

सोपी व्याख्या

जर B घडले की नाही याचा A च्या संभाव्यतेवर परिणाम होत नसेल, तर A आणि B स्वतंत्र घटना आहेत : P(A | B) = P(A).

नियम 1 : स्वतंत्र घटनांचे सूत्र — A, B स्वतंत्र असतील तर P(A ∩ B) = P(A) × P(B). त्यांच्या पूरक घटनाही स्वतंत्र : P(A′ ∩ B′) = P(A′) × P(B′).

0.6H0.4M0.7HH0.420.3HM0.180.7MH0.280.3MM0.12both hit: 0.6 × 0.7 = 0.42

आकृतीत : दोन नेमबाजांच्या अचूकतेची 0.6 आणि 0.7 असताना वृक्षाकृती; शेवटचे आकडे गुणाकार.

नियम 2 : अनेक घटना — "दोन्ही" = गुणाकार. "किमान एक" = 1 − (दोन्ही अयशस्वी). "बरोबर एक" = P(A) × P(B′) + P(A′) × P(B).

सूत्र कसे मिळाले? : P(A | B) = P(A) हे सशर्त सूत्रात ठेवा : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(B) × P(A). म्हणजे P(A ∩ B) = P(A) × P(B). पूरक घटनांसाठीही हेच, कारण P(A′) = 1 − P(A) आणि अटी तशाच राहतात.

  • सोपे : नाणे आणि फासा : P(छापा आणि 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12.
  • मध्यम : A, B स्वतंत्र; P(A) = 0.5, P(B) = 0.4. P(A ∩ B) = 0.2; P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
  • परीक्षेसाठी : नेमबाज 0.6 आणि 0.7 : दोघे लागले 0.42; बरोबर एक 0.18 + 0.28 = 0.46; किमान एक 1 − 0.4 × 0.3 = 0.88.
लक्षात ठेवा

परत ठेवून काढलेले चेंडू स्वतंत्र; परत न ठेवता काढलेले स्वतंत्र नाहीत (दुसऱ्यावर पहिल्याचा परिणाम होतो).

सामान्य चूक

परस्पर अपवर्जी आणि स्वतंत्र एकच मानणे. अपवर्जी घटनांत P(A ∩ B) = 0; स्वतंत्र घटनांत P(A) × P(B) (दोन्ही शून्य नसताना शून्य नाही).

शॉर्टकट

"किमान एक" वृक्षाकृतीत सर्वात कमी फांद्या देते : 1 − (सर्व अयशस्वी). आठवणीची युक्ती : "दोन्ही = गुणा; किमान एक = 1 − गुणा (अयशस्वी)".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात P(A′ ∩ B′) दिले की प्रत्येकाचे पूरक घेऊन गुणा : (1 − P(A))(1 − P(B)).

CET-स्टाइल उदाहरण : A, B स्वतंत्र; P(A) = 1/3, P(B) = 1/4. P(A′ ∩ B′) = ? (A) 1/2 (B) 1/12 (C) 5/12 (D) 7/12

उत्तर : (A). 2/3 × 3/4 = 1/2. वेळ वाचवण्याची पद्धत : पूरके 2/3 आणि 3/4; 3 रद्द, 2/4 = 1/2.

फरक ओळखा

मुद्दास्वतंत्रपरस्पर अपवर्जी
P(A ∩ B)P(A) × P(B)0
अर्थएकमेकांवर परिणाम नाहीएकदम घडत नाहीत
उदाहरणनाणे आणि फासाफाशावर 2 आणि 5

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1सलग दोन वेळा नाणे फेकले. दोन्ही वेळा छापा येण्याची संभाव्यता ?
  2. 2एक फासा दोनदा फेकला. दोन्ही वेळा 6 येण्याची संभाव्यता ?
  3. 3A, B स्वतंत्र; P(A) = 0.3, P(B) = 0.5. P(A ∩ B) काढा.
मध्यम
  1. 4दोन नेमबाजांची अचूकता 0.8 आणि 0.5. दोघे लागण्याची संभाव्यता ?
  2. 5त्याच नेमबाजांपैकी बरोबर एक लागण्याची संभाव्यता ?
  3. 6त्याच नेमबाजांपैकी किमान एक लागण्याची संभाव्यता ?
आव्हानात्मक
  1. 7A, B स्वतंत्र; P(A) = 0.4 आणि P(A ∪ B) = 0.7. P(B) काढा.
  2. 8फासा तीनदा फेकला. एकदाही 6 न येण्याची संभाव्यता ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11/2 × 1/2 = 1/4.
  2. 21/6 × 1/6 = 1/36.
  3. 30.3 × 0.5 = 0.15.
  4. 40.8 × 0.5 = 0.4.
  5. 50.8 × 0.5 + 0.2 × 0.5 = 0.4 + 0.1 = 0.5.
  6. 61 − 0.2 × 0.5 = 0.9.
  7. 70.4 + p − 0.4p = 0.7, म्हणून 0.6p = 0.3 आणि p = 0.5.
  8. 8(5/6)³ = 125/216.

संपूर्ण संभाव्यता आणि बेझचे प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

दोन पिशव्यांपैकी डोळे मिटून एक निवडली आणि त्यातून एक चेंडू काढला; तो लाल निघाला. आता "तो कोणत्या पिशवीतून आला असेल ?" हा उलटा प्रश्न पडतो. निकालावरून कारण शोधणे म्हणजे बेझचे प्रमेय. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात अपूर्णांकांची बेरीज आणि गुणाकार शिकलो; तसेच मागील विभागातील P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) येथे वारंवार वापरतो.

सोपी व्याख्या

E₁, E₂ हे परस्पर अपवर्जी आणि परिपूर्ण (मिळून S) असतील आणि घटना A त्यांपैकी कोणत्याही एकासोबत घडत असेल, तर A ची एकूण संभाव्यता संपूर्ण संभाव्यता; A घडले हे माहीत असताना E₁ ची संभाव्यता बेझचे प्रमेय देते.

नियम 1 : दोन सूत्रे — P(A) = P(E₁) × P(A | E₁) + P(E₂) × P(A | E₂). बेझ : P(E₁ | A) = P(E₁) × P(A | E₁) ÷ P(A).

1/2bag I1/2bag II3/5red3/102/5black1/52/6red1/64/6black1/3P(red) = 3/10 + 1/6 = 7/15

आकृतीत : पिशवी I : 3 लाल 2 काळे; पिशवी II : 2 लाल 4 काळे. लाल मार्ग नारिंगी : 3/10 आणि 1/6.

नियम 2 : वृक्षाकृतीची पद्धत — फांद्यांवरील संभाव्यता गुणा; "लाल" संपणाऱ्या सर्व मार्गांची बेरीज = P(लाल). बेझमध्ये एका मार्गाचा भाग ÷ सर्व लाल मार्गांची बेरीज.

सूत्र कसे मिळाले? : A = (A ∩ E₁) ∪ (A ∩ E₂), हे दोन भाग परस्पर अपवर्जी, म्हणून P(A) = P(A ∩ E₁) + P(A ∩ E₂) = P(E₁)P(A | E₁) + P(E₂)P(A | E₂). सशर्त सूत्रात P(E₁ | A) = P(E₁ ∩ A) ÷ P(A) आणि P(E₁ ∩ A) = P(E₁)P(A | E₁); हेच बेझ.

  • सोपे : P(E₁) = 0.4, P(A | E₁) = 0.5; P(E₂) = 0.6, P(A | E₂) = 0.25 : P(A) = 0.2 + 0.15 = 0.35.
  • मध्यम : पिशवी I (3 लाल 2 काळे) किंवा II (2 लाल 4 काळे), निवड 1/2 : P(लाल) = 1/2 × 3/5 + 1/2 × 2/6 = 3/10 + 1/6 = 7/15.
  • परीक्षेसाठी : चेंडू लाल निघाला; तो पिशवी I मधला असण्याची संभाव्यता : (3/10) ÷ (7/15) = 45/70 = 9/14.
लक्षात ठेवा

सर्व फांद्यांची शेवटची संभाव्यता मिळून नेहमी 1 : 3/10 + 1/5 + 1/6 + 1/3 = 1. असे नसेल तर काहीतरी चुकले आहे.

सामान्य चूक

P(E₁ | A) आणि P(A | E₁) एकच मानणे. "लाल निघाल्यावर पिशवी I" आणि "पिशवी I असताना लाल" हे वेगळे आहेत.

शॉर्टकट

अपूर्णांक टाळायला सर्व संभाव्यता समान भाजकावर आणा; बेझमध्ये भाजक रद्द होतो आणि फक्त अंश उरतात. आठवणीची युक्ती : "एक मार्ग ÷ सर्व मार्ग".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात "सदोष निघाला, तो यंत्र A चा असण्याची संभाव्यता" असे आले की हे बेझ आहे; P(सदोष) काढल्यावर लगेच भागाकार.

CET-स्टाइल उदाहरण : यंत्र A 60 % वस्तू बनवते (2 % सदोष) आणि यंत्र B 40 % (5 % सदोष). एक वस्तू निवडली. ती सदोष असण्याची संभाव्यता ? (A) 0.032 (B) 0.07 (C) 0.035 (D) 0.07 पेक्षा जास्त

उत्तर : (A). 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन गुणाकार मिळवा; (B) आणि (D) सरळ चूक कारण 0.05 पेक्षा जास्त येत नाही.

फरक ओळखा

मुद्दासंपूर्ण संभाव्यताबेझ
शोधतोP(A)P(E₁ ∣ A)
पद्धतसर्व मार्गांची बेरीजएक मार्ग ÷ बेरीज
प्रश्नकिती शक्यता ?कारण कोणते ?

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1P(E₁) = P(E₂) = 0.5; P(A | E₁) = 0.2, P(A | E₂) = 0.4. P(A) काढा.
  2. 2P(E) = 0.3, P(A | E) = 0.5, P(A | E′) = 0.1. P(A) काढा.
  3. 3यंत्र A 50 % वस्तू (4 % सदोष), यंत्र B 50 % (2 % सदोष). एक वस्तू सदोष असण्याची संभाव्यता काढा.
मध्यम
  1. 4पिशवी I : 2 पांढरे 3 काळे; पिशवी II : 4 पांढरे 1 काळा. पिशवी यादृच्छिक निवडली. चेंडू पांढरा येण्याची संभाव्यता ?
  2. 5वरील पिशव्या : चेंडू पांढरा निघाला; तो पिशवी II मधला असण्याची संभाव्यता ?
  3. 6मागील यंत्रांच्या प्रश्नात (A 50 % आणि 4 %, B 50 % आणि 2 %) वस्तू सदोष निघाली. ती यंत्र A ची असण्याची संभाव्यता ?
आव्हानात्मक
  1. 7तीन यंत्रे : 20 % (5 % सदोष), 30 % (4 %), 50 % (2 %). सदोष वस्तू पहिल्या यंत्राची असण्याची संभाव्यता ?
  2. 8दोन नाणी : एक सामान्य, एक दोन्ही बाजूंना छापा. एक यादृच्छिक निवडून फेकले; छापा आला. ते दोन छापे असलेले असण्याची संभाव्यता ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 10.1 + 0.2 = 0.3.
  2. 20.3 × 0.5 + 0.7 × 0.1 = 0.15 + 0.07 = 0.22.
  3. 30.5 × 0.04 + 0.5 × 0.02 = 0.03.
  4. 41/2 × 2/5 + 1/2 × 4/5 = 1/5 + 2/5 = 3/5.
  5. 5(2/5) ÷ (3/5) = 2/3.
  6. 60.02 ÷ 0.03 = 2/3.
  7. 7P(सदोष) = 0.01 + 0.012 + 0.01 = 0.032; 0.01 ÷ 0.032 = 5/16.
  8. 8P(छापा) = 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1 = 3/4; (1/2) ÷ (3/4) = 2/3.

ऑड्स

रोजच्या जीवनातून

"आपल्या संघाच्या जिंकण्याची शक्यता 2 विरुद्ध 3" असे सामन्यापूर्वी म्हणतात; म्हणजे 5 पैकी 2 वेळा जिंकतो आणि 3 वेळा हरतो. बाजूचे आणि विरुद्धचे यांचे गुणोत्तर म्हणजे ऑड्स. इयत्ता ९–१० पासून पुढे : इयत्ता 9–10 च्या अभ्यासात गुणोत्तर शिकलो; ऑड्स हेही गुणोत्तरच, फक्त संभाव्यता भागाकारातून येते.

सोपी व्याख्या

घटनेच्या बाजूने ऑड्स = अनुकूल निकाल : प्रतिकूल निकाल. घटनेच्या विरुद्ध ऑड्स = प्रतिकूल : अनुकूल.

नियम 1 : ऑड्स आणि संभाव्यता — बाजूने ऑड्स a : b असतील तर P = a ÷ (a + b). उलट P(A) असेल तर बाजूने ऑड्स P(A) : P(A′) = P(A) : (1 − P(A)).

123456favourable: 2unfavourable: 4die thrown: number greater than 4odds in favour = 2 : 4 = 1 : 2odds against = 4 : 2 = 2 : 1P = 2/6 = 1/3

आकृतीत : फासा : 4 पेक्षा मोठा अंक (5, 6) अनुकूल 2; प्रतिकूल 4. ऑड्स 2 : 4 = 1 : 2; P = 2/6 = 1/3.

नियम 2 : दोन्ही बाजू — ऑड्समध्ये बेरीज (a + b) हे एकूण निकाल असतात. बाजूचे ऑड्स a : b तर विरुद्ध b : a.

सूत्र कसे मिळाले? : अनुकूल निकाल a आणि प्रतिकूल b, तर एकूण a + b. म्हणून P = a/(a + b) आणि P(A′) = b/(a + b). गुणोत्तर P : P(A′) = a/(a + b) : b/(a + b) = a : b.

  • सोपे : P(A) = 2/5 : ऑड्स बाजूने 2/5 : 3/5 = 2 : 3.
  • मध्यम : विरुद्ध ऑड्स 7 : 3 : बाजूने 3 : 7, P = 3/10.
  • परीक्षेसाठी : 52 पत्त्यांतून राजा : अनुकूल 4, प्रतिकूल 48. बाजूने ऑड्स 4 : 48 = 1 : 12; P = 4/52 = 1/13.
लक्षात ठेवा

ऑड्समध्ये अंश आणि अंश+भाजक वेगळे : ऑड्स 1 : 2 म्हणजे P = 1/3 (1/2 नव्हे).

सामान्य चूक

ऑड्स a : b वरून P = a/b घेणे. बरोबर P = a/(a + b).

शॉर्टकट

P वरून ऑड्स : अंश आणि भाजकातील फरक अंश; म्हणजे P = 2/5 तर 2 आणि 5 − 2 = 3, ऑड्स 2 : 3. आठवणीची युक्ती : "अंश : (भाजक − अंश)".

CET सापळा

CET च्या प्रश्नात दोन ऑड्स दिले की आधी दोन्हींचे P काढा, मग बेरजेचे प्रमेय वापरा.

CET-स्टाइल उदाहरण : A च्या बाजूने ऑड्स 3 : 4 आणि B च्या बाजूने 2 : 5; A, B परस्पर अपवर्जी. P(A ∪ B) = ? (A) 5/7 (B) 5/11 (C) 1/2 (D) 6/7

उत्तर : (A). P(A) = 3/7, P(B) = 2/7; बेरीज 5/7. वेळ वाचवण्याची पद्धत : दोन्ही 7 भाजक : 3 + 2.

फरक ओळखा

मुद्दासंभाव्यताऑड्स
रूपअपूर्णांक 0 ते 1गुणोत्तर a : b
भाजकएकूण निकालप्रतिकूल निकाल
उदाहरण2/62 : 4

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1P(A) = 3/7 असल्यास A च्या बाजूने ऑड्स काढा.
  2. 2बाजूने ऑड्स 4 : 5 असल्यास P काढा.
  3. 3फासा फेकला; 6 येण्याच्या बाजूने ऑड्स काढा.
मध्यम
  1. 4विरुद्ध ऑड्स 7 : 3 असल्यास घटनेची संभाव्यता काढा.
  2. 5P(A) = 0.6 असल्यास A च्या विरुद्ध ऑड्स काढा.
  3. 6दोन नाणी; दोन्ही छापे येण्याच्या बाजूने ऑड्स काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7A च्या बाजूने ऑड्स 2 : 3 आणि B च्या बाजूने 1 : 4; A, B परस्पर अपवर्जी. A ∪ B च्या बाजूने ऑड्स काढा.
  2. 8A च्या बाजूने ऑड्स 1 : 2 आणि B च्या बाजूने 1 : 3; A, B स्वतंत्र. P(A ∪ B) काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 : (7 − 3) = 3 : 4.
  2. 24/(4 + 5) = 4/9.
  3. 3अनुकूल 1, प्रतिकूल 5 : 1 : 5.
  4. 4बाजूने 3 : 7; P = 3/10.
  5. 5P(A′) = 0.4; विरुद्ध ऑड्स 0.4 : 0.6 = 2 : 3.
  6. 6अनुकूल 1 (HH), प्रतिकूल 3. 1 : 3.
  7. 7P(A) = 2/5, P(B) = 1/5, P(A ∪ B) = 3/5; ऑड्स 3 : 2.
  8. 8P(A) = 1/3, P(B) = 1/4; P(A ∩ B) = 1/12; P(A ∪ B) = 1/3 + 1/4 − 1/12 = 1/2.

धडा ९ : संभाव्यता — झटपट उजळणी

विषयसूत्र / मुद्दा
संभाव्यताP(A) = n(A)/n(S); 0 ≤ P ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A)
निकाल मोजणेn नाणी 2ⁿ; दोन फासे 36; पत्ते 52
बेरजेचे प्रमेयP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); अपवर्जी असल्यास P(A) + P(B)
सशर्तP(A ∣ B) = P(A ∩ B)/P(B); P(A ∩ B) = P(B) P(A ∣ B)
स्वतंत्रP(A ∩ B) = P(A) P(B); किमान एक = 1 − P(सर्व अयशस्वी)
संपूर्ण संभाव्यता / बेझP(A) = Σ P(Eᵢ) P(A ∣ Eᵢ); P(E₁ ∣ A) = P(E₁) P(A ∣ E₁)/P(A)
ऑड्सबाजूने a : b तर P = a/(a + b); विरुद्ध b : a

🎯 परीक्षेसाठी सर्वाधिक महत्त्वाचे मुद्दे

  • संभाव्यता कधीही 0 पेक्षा लहान किंवा 1 पेक्षा मोठी नाही.
  • "किंवा" म्हणजे बेरीज वजा सामाईक; "आणि" म्हणजे गुणाकार.
  • अट आली की अवकाश लहान होतो; भाजक n(B).
  • परत न ठेवता काढल्यास स्वतंत्र नाही; दुसऱ्या वेळी संख्या कमी.
  • ऑड्समध्ये भाजक a + b; a : b नव्हे.
अभ्यासाचा मंत्र

"अनुकूल ÷ एकूण; अवघड तर 1 − पूरक".