त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे
शिडी भिंतीला टेकवली की तिचा झुकाव जितका जास्त तितकी ती भिंतीवर उंच जाते. झुकाव आणि बाजूंची गुणोत्तरे यांचा संबंध म्हणजे त्रिकोणमिती.
काटकोन त्रिकोणात कोन θ ला समोरची बाजू, लगतची बाजू आणि कर्ण असतो. sin θ = समोर ÷ कर्ण, cos θ = लगत ÷ कर्ण, tan θ = समोर ÷ लगत. त्यांचे उलट : cosec θ = 1 ÷ sin θ, sec θ = 1 ÷ cos θ, cot θ = 1 ÷ tan θ.
आकृतीत : बाजू 3, 4, 5 ; θ समोर 3, लगत 4, कर्ण 5. sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.
नियम 1 : sin, cos, tan काढा — कोन θ ओळखून समोरची, लगतची आणि कर्ण निवडा. आवश्यक असेल तेव्हा पायथागोरसने तिसरी बाजू काढा.
त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : समोर 3, लगत 4, कर्ण 5 ⇒ sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.
- मध्यम : समोर 5, लगत 12, कर्ण 13 ⇒ sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12.
- परीक्षेसाठी : sin θ = 8/17 ⇒ समोर 8, कर्ण 17, लगत = √(289 − 64) = 15 ⇒ cos θ = 15/17, tan θ = 8/15.
नियम 2 : उलटी गुणोत्तरे — cosec, sec आणि cot ही sin, cos आणि tan ची उलटी (1 ÷) आहेत; म्हणजे अपूर्णांक उलटा करा.
- सोपे : sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4 ⇒ cosec θ = 5/3, sec θ = 5/4, cot θ = 4/3.
- मध्यम : sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12 ⇒ cosec θ = 13/5, sec θ = 13/12, cot θ = 12/5.
- परीक्षेसाठी : tan θ = 7/24 ⇒ कर्ण = √(49 + 576) = 25 ⇒ sin θ = 7/25, cos θ = 24/25, cosec θ = 25/7, sec θ = 25/24.
नियम 3 : 30°, 45°, 60° ची किंमत — sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2. cos ची किंमत उलट क्रमाने. tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3.
- सोपे : sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1.
- मध्यम : tan 60° × tan 30° = √3 × 1/√3 = 1.
- परीक्षेसाठी : 3 tan² 30° + 2 sin² 60° = 3 × 1/3 + 2 × 3/4 = 1 + 3/2 = 5/2.
θ बदलला की समोरची आणि लगतची बाजू बदलते; कर्ण नेहमी काटकोनासमोरची सर्वात मोठी बाजू.
sin θ चा अर्थ sin × θ नाही; sin आणि θ एकच गुणोत्तर आहे. तसेच sin 60° ≠ 2 × sin 30°.
आठवणीची युक्ती : "सोह-काह-टोआ" — sin = समोर/कर्ण, cos = लगत/कर्ण, tan = समोर/लगत. 30°, 45°, 60° साठी sin ची किंमत √1/2, √2/2, √3/2 ; cos उलट.
फरक ओळखा
| मुद्दा | sin 30° 45° 60° | cos 30° 45° 60° |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
| 0 ते 1 | वाढते | कमी होते |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समोर 6, कर्ण 10 ; sin θ किती?
- 2sin 30° किती?
- 3tan 45° किती?
- 4sin θ = 3/5 ; cos θ आणि tan θ काढा.
- 5cos θ = 5/13 ; sin θ आणि cot θ काढा.
- 6किंमत काढा : sin 60° × cos 30° − cos 60° × sin 30°.
- 7किंमत काढा : 4 sin² 30° + tan² 60° − 2 cos² 45°.
- 8काटकोन त्रिकोणात tan θ = 20/21. sin θ आणि sec θ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16/10 = 3/5.
- 21/2.
- 31.
- 4लगत = 4 ; cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.
- 5समोर = 12 ; sin θ = 12/13, cot θ = 5/12.
- 6(√3/2)(√3/2) − (1/2)(1/2) = 3/4 − 1/4 = 1/2.
- 74 × 1/4 + 3 − 2 × 1/2 = 1 + 3 − 1 = 3.
- 8कर्ण = √(400 + 441) = 29 ; sin θ = 20/29, sec θ = 29/21.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका
बेरीज 10 असलेल्या दोन संख्यांपैकी एक माहीत असेल तर दुसरी लगेच कळते. त्याचप्रमाणे sin θ माहीत असेल तर cos θ सूत्राने लगेच कळते.
कोणत्याही कोन θ साठी नेहमी खरी असणारी समीकरणे म्हणजे सर्वसमिका : sin² θ + cos² θ = 1 ; 1 + tan² θ = sec² θ ; 1 + cot² θ = cosec² θ.
आकृतीत : कर्ण 1 असलेल्या काटकोन त्रिकोणात बाजू sin θ आणि cos θ ; पायथागोरस ⇒ sin² θ + cos² θ = 1.
नियम 1 : sin² θ + cos² θ = 1 — एक ज्ञात असेल तर दुसऱ्याचा वर्ग = 1 − (ज्ञाताचा वर्ग), मग वर्गमूळ घ्या.
- सोपे : sin θ = 3/5 ⇒ cos² θ = 1 − 9/25 = 16/25 ⇒ cos θ = 4/5.
- मध्यम : sin θ = 5/13 ⇒ cos² θ = 1 − 25/169 = 144/169 ⇒ cos θ = 12/13.
- परीक्षेसाठी : cos θ = 7/25 ⇒ sin² θ = 1 − 49/625 = 576/625 ⇒ sin θ = 24/25.
नियम 2 : 1 + tan² θ = sec² θ — tan θ माहीत असेल तर sec² θ = 1 + tan² θ ; cot असेल तर 1 + cot² θ = cosec² θ.
- सोपे : tan θ = 3/4 ⇒ sec² θ = 1 + 9/16 = 25/16 ⇒ sec θ = 5/4.
- मध्यम : tan θ = 5/12 ⇒ sec² θ = 1 + 25/144 = 169/144 ⇒ sec θ = 13/12.
- परीक्षेसाठी : cot θ = 4/3 ⇒ cosec² θ = 1 + 16/9 = 25/9 ⇒ cosec θ = 5/3.
नियम 3 : सर्वसमिकेने सोपे करा — जोड्या ओळखा : sin² + cos² = 1 ; sec² − tan² = 1 ; (1 − sin)(1 + sin) = 1 − sin² = cos². सर्व काही sin आणि cos मध्ये लिहिणे सोपे पडते.
- सोपे : 5 sin² θ + 5 cos² θ = 5 (sin² θ + cos² θ) = 5 × 1 = 5.
- मध्यम : (1 − sin θ)(1 + sin θ) = 1 − sin² θ = cos² θ.
- परीक्षेसाठी : (1 + tan² θ) cos² θ = sec² θ × cos² θ = (1 ÷ cos² θ) × cos² θ = 1.
सर्वसमिका सर्व कोनांसाठी खरी असते; उदाहरणे तपासण्यासाठी 30° किंवा 45° घालून पहा.
sin² θ म्हणजे (sin θ)², sin (θ²) नव्हे. तसेच (sin θ + cos θ)² ≠ sin² θ + cos² θ.
आठवणीची युक्ती : "सिन-कॉस 1, टॅन-सेक 1, कॉट-कोसेक 1" — तिन्हींत 1 + (दुसऱ्याचा वर्ग) असे लिहिले आहे. वर्गमूळ घेताना धन किंमत घ्या (पहिला चरण).
फरक ओळखा
| मुद्दा | sin² + cos² | 1 + tan² |
|---|---|---|
| बरोबर | 1 | sec² θ |
| जोडी | sin आणि cos | tan आणि sec |
| उपयोग | cos काढणे | sec काढणे |
| उलटी बाजू | cos² = 1 − sin² | tan² = sec² − 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1sin² θ + cos² θ किती?
- 2sin θ = 4/5 ; cos θ किती?
- 3sec² θ − tan² θ किती?
- 4tan θ = 8/15 ; sec θ काढा.
- 5सोपे करा : (1 − cos θ)(1 + cos θ).
- 6सोपे करा : sin² θ + cos² θ + tan² θ.
- 7सिद्ध करा : (1 + tan² θ) cos² θ = 1.
- 8cos θ = 20/29 ; tan θ आणि cosec θ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11.
- 21 − 16/25 = 9/25 ⇒ cos θ = 3/5.
- 31.
- 41 + 64/225 = 289/225 ⇒ sec θ = 17/15.
- 51 − cos² θ = sin² θ.
- 61 + tan² θ = sec² θ.
- 7डावी बाजू = sec² θ × cos² θ = (1 ÷ cos² θ) × cos² θ = 1.
- 8sin² θ = 1 − 400/841 = 441/841 ⇒ sin θ = 21/29 ; tan θ = 21/20, cosec θ = 29/21.
उंची आणि अंतर
झाडाची उंची मोजायला आपण दोरी नेत नाही; झाडापासून काही अंतरावर उभे राहून शेंड्याकडे पाहिले की होणारा कोन आणि अंतर वापरून उंची काढतात.
डोळ्याच्या पातळीपासून वर पाहण्याचा कोन म्हणजे उन्नत कोन आणि खाली पाहण्याचा कोन म्हणजे अवनत कोन. दोन्ही क्षितिज रेषेपासून मोजतात. tan θ = उंची ÷ अंतर.
आकृतीत : निरीक्षक आणि मनोऱ्याच्या पायात अंतर d, मनोऱ्याची उंची h, उन्नत कोन θ ; tan θ = h ÷ d.
नियम 1 : उंची काढा — h = d × tan θ. √3 ची किंमत 1.73 घ्या.
उंची आणि अंतर
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : अंतर 10 m, θ = 45° ⇒ h = 10 × 1 = 10 m.
- मध्यम : अंतर 20 m, θ = 30° ⇒ h = 20 × 1/√3 = 20 ÷ 1.73 ≈ 11.56 m.
- परीक्षेसाठी : अंतर 30 m, θ = 60° ⇒ h = 30 × √3 = 30 × 1.73 = 51.9 m.
नियम 2 : अंतर काढा — d = h ÷ tan θ. उंची आणि कोन माहीत असतील तर अंतर काढता येते.
- सोपे : h = 15 m, θ = 45° ⇒ d = 15 ÷ 1 = 15 m.
- मध्यम : h = 12 m, θ = 60° ⇒ d = 12 ÷ 1.73 ≈ 6.94 m.
- परीक्षेसाठी : h = 10 m, θ = 30° ⇒ d = 10 × 1.73 = 17.3 m.
नियम 3 : अवनत कोन आणि शिडी — अवनत कोन = तेवढाच उन्नत कोन (आंतरवर्ती कोन). शिडीसाठी : उंची = शिडी × sin θ, पायाचे अंतर = शिडी × cos θ.
- सोपे : 30 m उंच इमारतीवरून गाडीकडे अवनत कोन 45° ⇒ अंतर = 30 ÷ 1 = 30 m.
- मध्यम : 20 m उंच टेकडीवरून होडीकडे अवनत कोन 60° ⇒ अंतर = 20 ÷ 1.73 ≈ 11.56 m.
- परीक्षेसाठी : 10 m शिडी जमिनीशी 30° कोन करते ⇒ उंची = 10 × 1/2 = 5 m ; पायाचे अंतर = 10 × 0.865 = 8.65 m (√3/2 = 0.865).
कोन नेहमी क्षितिज रेषेपासून मोजतात, उभ्या रेषेपासून नाही. आकृती आधी काढा.
निरीक्षकाची उंची दिली असेल तर ती वजा/बेरीज करायला विसरू नका.
आठवणीची युक्ती : 45° ⇒ उंची = अंतर ; 30° ⇒ अंतर मोठे ; 60° ⇒ उंची मोठी (√3 पट). "तीस म्हणजे लांब, साठ म्हणजे उंच".
फरक ओळखा
| मुद्दा | उन्नत कोन | अवनत कोन |
|---|---|---|
| दिशा | वर | खाली |
| कुठून | निरीक्षकाच्या डोळ्यापासून | उंच जागेवरून |
| मोजणी | क्षितिज रेषेपासून | क्षितिज रेषेपासून |
| संबंध | अवनत कोनाइतकाच | उन्नत कोनाइतकाच |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंतर 12 m, θ = 45° ; उंची किती?
- 2tan θ = उंची ÷ ? (रिकामी जागा)
- 3अवनत कोन 30° असेल तर उन्नत कोन किती?
- 4अंतर 15 m, θ = 60° ; उंची काढा (√3 = 1.73).
- 5मनोऱ्याची उंची 30 m ; उन्नत कोन 30° ; अंतर काढा (√3 = 1.73).
- 640 m उंच दीपगृहावरून होडीकडे अवनत कोन 45° ; होडी किती दूर?
- 714 m शिडी भिंतीला 60° कोनात (जमिनीशी) टेकली आहे. ती किती उंच जाते? (√3 = 1.73)
- 8निरीक्षकाचे डोळे जमिनीपासून 2 m आहेत. मनोऱ्यापासून 20 m अंतरावरून शेंड्याचा उन्नत कोन 45° ; मनोऱ्याची उंची किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112 × 1 = 12 m.
- 2अंतर.
- 330° (आंतरवर्ती कोन).
- 415 × 1.73 = 25.95 m.
- 530 × 1.73 = 51.9 m.
- 640 ÷ 1 = 40 m.
- 7उंची = 14 × √3/2 = 7 × 1.73 = 12.11 m.
- 8डोळ्यावरची उंची = 20 × 1 = 20 m ; एकूण = 20 + 2 = 22 m.