चापाची लांबी आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
पिझ्झाचा एक त्रिकोणी तुकडा कापला की त्याचा बाहेरचा वक्र काठ म्हणजे चाप आणि तुकडा म्हणजे त्रिज्याखंड. तुकड्याचा कोन जितका मोठा तितका चाप लांब आणि तुकडा मोठा.
त्रिज्या r आणि केंद्रकोन θ असलेल्या चापाची लांबी l = θ ÷ 360 × 2πr. त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ A = θ ÷ 360 × πr² = ½ × l × r. (π = 22/7 घ्या.)
आकृतीत : r = 7, θ = 90° ; चाप l = 90 ÷ 360 × 2 × 22/7 × 7 = 11 ; क्षेत्रफळ = 90 ÷ 360 × 154 = 38.5.
नियम 1 : चापाची लांबी — θ ÷ 360 हा पूर्ण वर्तुळाचा किती भाग ते दाखवतो; त्याला परिघ 2πr ने गुणा.
चापाची लांबी आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 7, θ = 90° ⇒ l = 1/4 × 44 = 11.
- मध्यम : r = 21, θ = 60° ⇒ l = 1/6 × 132 = 22.
- परीक्षेसाठी : r = 7, θ = 120° ⇒ l = 1/3 × 44 ≈ 14.67.
नियम 2 : त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ — तोच भाग वर्तुळाच्या क्षेत्रफळ πr² ला गुणा.
चापाची लांबी आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 7, θ = 90° ⇒ A = 1/4 × 154 = 38.5.
- मध्यम : r = 14, θ = 60° ⇒ A = 1/6 × 616 ≈ 102.67.
- परीक्षेसाठी : r = 21, θ = 120° ⇒ A = 1/3 × 1386 = 462.
नियम 3 : चाप दिलेला असेल तेव्हा — A = ½ × l × r. तसेच θ = l × 360 ÷ (2πr).
- सोपे : l = 11, r = 7 ⇒ A = ½ × 11 × 7 = 38.5.
- मध्यम : l = 22, r = 21 ⇒ A = ½ × 22 × 21 = 231.
- परीक्षेसाठी : l = 11, r = 7 ⇒ θ = 11 × 360 ÷ 44 = 90°.
θ अंशांत असतो; सूत्रात 360 ने भागतात. अर्धवर्तुळ 180° आणि चतुर्थांश 90° असतो.
चापाची लांबी (सेमी) आणि क्षेत्रफळ (सेमी²) यांची एकके वेगळी आहेत; गोंधळ करू नका.
आठवणीची युक्ती : "भाग × परिघ = चाप" आणि "भाग × क्षेत्र = खंड", भाग = θ ÷ 360.
फरक ओळखा
| मुद्दा | चाप | त्रिज्याखंड |
|---|---|---|
| काय | लांबी | क्षेत्रफळ |
| सूत्र | θ ÷ 360 × 2πr | θ ÷ 360 × πr² |
| दुसरे रूप | l | ½ × l × r |
| एकक | सेमी | सेमी² |
सरावासाठी प्रश्न
- 1θ = 180° असेल तर चाप म्हणजे वर्तुळाचा कोणता भाग?
- 2r = 14, θ = 90° ; चापाची लांबी किती?
- 3r = 7, θ = 60° ; त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ किती?
- 4r = 21, θ = 90° ; चाप आणि क्षेत्रफळ काढा.
- 5l = 15, r = 10 ; क्षेत्रफळ किती?
- 6r = 14 असलेल्या वर्तुळात चापाची लांबी 22 आहे. θ काढा.
- 7घड्याळाचा मिनिट काटा 14 सेमी लांब आहे. 15 मिनिटांत टोक किती अंतर चालते?
- 8r = 21 असलेल्या वायपरचे 120° चे त्रिज्याखंड पुसते. पुसलेले क्षेत्रफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अर्धा : 180 ÷ 360 = 1/2.
- 21/4 × 88 = 22.
- 31/6 × 154 ≈ 25.67.
- 4l = 1/4 × 132 = 33 ; A = 1/4 × 1386 = 346.5.
- 5½ × 15 × 10 = 75.
- 6θ = 22 × 360 ÷ 88 = 90°.
- 715 मिनिटे = 90° ; l = 1/4 × 88 = 22 सेमी.
- 81/3 × 1386 = 462.
वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ
गोल पोळीचा एक तुकडा सुरीने सरळ कापला की जीवा आणि चाप यांच्यामध्ये राहणारा भाग म्हणजे वर्तुळखंड.
वर्तुळखंड म्हणजे जीवा आणि तिचा चाप यांच्या मधला भाग. लघुखंडाचे क्षेत्रफळ = त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ − केंद्र आणि जीवेचे टोक यांचा त्रिकोण. विशाल खंड = वर्तुळाचे क्षेत्रफळ − लघुखंड.
आकृतीत : r = 14, θ = 90° ; त्रिज्याखंड 154, त्रिकोण ½ × 14 × 14 = 98 ; खंड = 154 − 98 = 56.
नियम 1 : θ = 90° चा खंड — त्रिकोण काटकोन आणि समद्विभुज असतो; त्याचे क्षेत्रफळ ½ × r × r. खंड = ¼πr² − ½r².
वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : r = 7 ⇒ 38.5 − 24.5 = 14.
- मध्यम : r = 14 ⇒ 154 − 98 = 56.
- परीक्षेसाठी : r = 21 ⇒ 346.5 − 220.5 = 126.
नियम 2 : θ = 60° चा खंड — त्रिकोण समभुज असतो; क्षेत्रफळ (√3 ÷ 4) × r². √3 = 1.73 घ्या.
- सोपे : r = 7 ⇒ सेक्टर 25.67, त्रिकोण 1.73 ÷ 4 × 49 = 21.19 ⇒ खंड ≈ 4.48.
- मध्यम : r = 14 ⇒ सेक्टर 102.67, त्रिकोण 1.73 ÷ 4 × 196 = 84.77 ⇒ खंड ≈ 17.9.
- परीक्षेसाठी : r = 21 ⇒ सेक्टर 231, त्रिकोण 1.73 ÷ 4 × 441 = 190.73 ⇒ खंड ≈ 40.27.
नियम 3 : विशाल खंड आणि छायांकित भाग — विशाल खंड = πr² − लघुखंड. छायांकित भागासाठी दोन आकृत्यांचे क्षेत्रफळ वजा करा.
- सोपे : r = 7, लघुखंड 14 ⇒ विशाल = 154 − 14 = 140.
- मध्यम : r = 14, लघुखंड 56 ⇒ विशाल = 616 − 56 = 560.
- परीक्षेसाठी : 14 बाजूच्या चौरसात आतून वर्तुळ (r = 7) ⇒ चार कोपऱ्यांचे क्षेत्रफळ = 196 − 154 = 42.
खंड = सेक्टर − त्रिकोण; सेक्टर कोणताही असला तरी त्रिकोण केंद्र आणि जीवेची दोन टोके मिळून बनतो.
खंडात सेक्टर + त्रिकोण करू नका; त्रिकोण वजा करायचा असतो.
आठवणीची युक्ती : "खंड = खाऊचा तुकडा − त्रिकोण" — आधी सेक्टर, नंतर त्रिकोण, शेवटी वजाबाकी. θ = 90° ⇒ त्रिकोण ½r², θ = 60° ⇒ त्रिकोण (√3/4)r².
फरक ओळखा
| मुद्दा | लघुखंड | विशाल खंड |
|---|---|---|
| आकार | लहान | मोठा |
| सूत्र | सेक्टर − त्रिकोण | वर्तुळ − लघुखंड |
| r = 7, θ = 90° | 14 | 140 |
| r = 14, θ = 90° | 56 | 560 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1खंडाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र लिहा.
- 2r = 10, θ = 90° ; त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती?
- 3सेक्टर 154, त्रिकोण 98 ; खंड किती?
- 4r = 7, θ = 90° चा लघुखंड काढा.
- 5r = 14, θ = 60° चा लघुखंड काढा (√3 = 1.73).
- 6r = 7 वर्तुळाचा विशाल खंड काढा, लघुखंड 14.
- 728 बाजूच्या चौरसात आतून वर्तुळ आहे (r = 14). चार कोपऱ्यांचे क्षेत्रफळ किती?
- 8r = 21, θ = 90° चा लघुखंड आणि विशाल खंड काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1सेक्टरचे क्षेत्रफळ − त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ.
- 2½ × 10 × 10 = 50.
- 3154 − 98 = 56.
- 438.5 − 24.5 = 14.
- 5102.67 − 84.77 ≈ 17.9.
- 6154 − 14 = 140.
- 7784 − 616 = 168.
- 8लघु = 346.5 − 220.5 = 126 ; विशाल = 1386 − 126 = 1260.
संयुक्त घनाकृती, छिन्नशंकू आणि पुनर्रचना
आइस्क्रीम कोन म्हणजे वर शंकू-अर्धगोल जोडलेला आकार; चहाचा पेला म्हणजे छिन्नशंकू. अशा जोडलेल्या आकारांचे घनफळ भाग भाग करून काढतात.
संयुक्त घनाकृतीचे घनफळ = भागांच्या घनफळांची बेरीज. अर्धगोल : ⅔πr³ ; शंकू : ⅓πr²h ; सिलेंडर : πr²h. छिन्नशंकू (r₁ मोठी, r₂ लहान त्रिज्या, उंची h, तिरकी उंची l = √[h² + (r₁ − r₂)²]) : वक्रपृष्ठ = πl(r₁ + r₂) ; घनफळ = πh ÷ 3 × (r₁² + r₁r₂ + r₂²).
आकृतीत : शंकू (h = 12) वर अर्धगोल (r = 7) ; घनफळ = ⅔π × 343 + ⅓π × 49 × 12 ≈ 718.67 + 616 = 1334.67.
नियम 1 : जोडलेले आकार — प्रत्येक भागाचे घनफळ / पृष्ठफळ वेगळे काढा आणि बेरीज करा. जोडाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दोन्हींतून वगळा.
संयुक्त घनाकृती, छिन्नशंकू आणि पुनर्रचना
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : शंकू (r = 7, h = 12) + अर्धगोल ⇒ 718.67 + 616 = 1334.67.
- मध्यम : कॅप्सूल : सिलेंडर (r = 7, h = 10) + दोन अर्धगोल ⇒ घनफळ = 1540 + 1437.33 = 2977.33 ; पृष्ठफळ = 440 + 616 = 1056.
- परीक्षेसाठी : 14 बाजूचा घन ; वरून अर्धगोलाकार खळगा (r = 7) ⇒ पृष्ठफळ = 6 × 196 − 154 + 308 = 1330.
नियम 2 : छिन्नशंकू — प्रथम l काढा, मग वक्रपृष्ठ πl(r₁ + r₂) आणि घनफळ πh ÷ 3 × (r₁² + r₁r₂ + r₂²).
- सोपे : r₁ = 10, r₂ = 4, h = 8 ⇒ l = √(64 + 36) = 10 ; वक्रपृष्ठ = 22/7 × 10 × 14 = 440.
- मध्यम : r₁ = 14, r₂ = 7, h = 24 ⇒ l = √(576 + 49) = 25 ; वक्रपृष्ठ = 22/7 × 25 × 21 = 1650 ; घनफळ = 22/7 × 8 × 343 = 8624.
- परीक्षेसाठी : r₁ = 15, r₂ = 6, h = 12 ⇒ l = √(144 + 81) = 15 ; वक्रपृष्ठ = 22/7 × 15 × 21 = 990.
नियम 3 : वितळवून नवा आकार (घनफळ तेवढेच) — आकार बदलला तरी घनफळ बदलत नाही. मोठ्याचे घनफळ ÷ एका लहानाचे घनफळ = लहान आकारांची संख्या.
- सोपे : r = 3 चा गोल वितळवून r = 1 चे गोल ⇒ 27 ÷ 1 = 27 गोल.
- मध्यम : सिलेंडर r = 7, h = 18 वितळवून r = 7, h = 6 चे शंकू ⇒ 18 ÷ (6 ÷ 3) = 9 शंकू.
- परीक्षेसाठी : r = 6 चा गोल वितळवून r = 3, h = 8 चे शंकू ⇒ 288π ÷ 24π = 12 शंकू.
जोडलेल्या आकारात जोडाची गोलाकार/वर्तुळाकार पातळी आत लपते; ती पृष्ठफळात मोजू नका.
छिन्नशंकूत तिरकी उंची l आणि उंची h वेगळ्या आहेत; वक्रपृष्ठात l, घनफळात h वापरा.
आठवणीची युक्ती : "आधी आकार फोडा, मग बेरीज". वितळवण्यात "घनफळ = घनफळ".
फरक ओळखा
| मुद्दा | छिन्नशंकू | शंकू |
|---|---|---|
| त्रिज्या | r₁ आणि r₂ | r |
| वक्रपृष्ठ | πl(r₁ + r₂) | πrl |
| घनफळ | πh ÷ 3 × (r₁² + r₁r₂ + r₂²) | ⅓πr²h |
| r₂ = 0 असेल तर | शंकू | — |
सरावासाठी प्रश्न
- 1r = 7 अर्धगोलाचे घनफळ किती? (π = 22/7)
- 2r = 7, h = 6 शंकूचे घनफळ किती?
- 3छिन्नशंकूच्या l चे सूत्र लिहा.
- 4r₁ = 10, r₂ = 4, h = 8 ; l किती?
- 5r = 3 चे गोल वितळवून r = 1 चे गोल ; किती गोल?
- 6कॅप्सूल : सिलेंडर r = 7, h = 14 आणि दोन अर्धगोल ; पृष्ठफळ काढा.
- 7छिन्नशंकू r₁ = 14, r₂ = 7, h = 24 ; वक्रपृष्ठ आणि घनफळ काढा.
- 8r = 6 चा गोल वितळवून r = 3, h = 8 चे शंकू बनवले ; किती शंकू?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1⅔ × 22/7 × 343 ≈ 718.67.
- 2⅓ × 154 × 6 = 308.
- 3l = √[h² + (r₁ − r₂)²].
- 4√(64 + 36) = 10.
- 527.
- 62π r h + 4π r² = 616 + 616 = 1232.
- 7l = 25 ; वक्रपृष्ठ = 22/7 × 25 × 21 = 1650 ; घनफळ = 22/7 × 8 × 343 = 8624.
- 8गोलाचे घनफळ 288π, शंकू 24π ⇒ 12.