K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 10 · गणित भाग २

धडा ५: निर्देशक भूमिती

3 संकल्पना · उत्तरांसह 24 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

दोन बिंदूंमधील अंतर

रोजच्या जीवनातून

शाळेचा नकाशा ग्राफ कागदावर काढला आहे. वर्ग आणि मैदान यांच्यामधले सरळ अंतर मोजायचे आहे. आडवे अंतर आणि उभे अंतर माहीत असेल तर पायथागोरसने सरळ अंतर मिळते.

सोपी व्याख्या

A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂) यांच्यामधील अंतर d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. मूलबिंदूपासून P(x, y) चे अंतर = √(x² + y²).

xy4353² + 4² = 5²

आकृतीत : आडवे अंतर 4, उभे अंतर 3 ; सरळ अंतर = √(16 + 9) = 5.

नियम 1 : अंतर सूत्र वापरा — दोन्ही बिंदूंचे x चा फरक आणि y चा फरक काढा, दोघांचे वर्ग करा, बेरीज करा आणि वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : A(1, 2), B(4, 6) ⇒ फरक 3 आणि 4 ; d = √(9 + 16) = 5.
  • मध्यम : P(−2, 3), Q(4, −5) ⇒ फरक 6 आणि −8 ; d = √(36 + 64) = 10.
  • परीक्षेसाठी : A(0, 0), B(1, 1) ⇒ d = √(1 + 1) = √2 ; आणि C(3, 7), D(5, 3) ⇒ फरक 2 आणि −4 ; d = √(4 + 16) = √20 = 2√5.

नियम 2 : मूलबिंदूपासून अंतर — मूलबिंदू O(0, 0) आहे; म्हणून P(x, y) चे अंतर = √(x² + y²).

Live आकृती

दोन बिंदूंमधील अंतर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : P(6, 8) ⇒ √(36 + 64) = 10.
  • मध्यम : P(5, 12) ⇒ √(25 + 144) = 13.
  • परीक्षेसाठी : P(9, −12) ⇒ √(81 + 144) = 15 ; ऋण चिन्ह वर्गात नाहीसे होते.

नियम 3 : तीन बिंदू एका रेषेत आहेत का? — तिन्ही बाजूंची लांबी काढा. दोन लहान लांबींची बेरीज = मोठी लांबी असेल तर बिंदू एका रेषेत (सरळ) असतात.

  • सोपे : A(0, 1), B(2, 3), C(5, 6) ⇒ AB = √8 = 2√2, BC = √18 = 3√2, AC = √50 = 5√2 ; 2√2 + 3√2 = 5√2 म्हणून एका रेषेत.
  • मध्यम : P(1, 1), Q(4, 1), R(1, 5) ⇒ PQ = 3, PR = 4, QR = 5 ; 3 + 4 ≠ 5, म्हणून एका रेषेत नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : P(0, 0), Q(3, 0), R(0, 4) : 3² + 4² = 5² म्हणून त्रिकोण काटकोन आहे.
लक्षात ठेवा

फरक काढताना दोन्ही बिंदूंचा क्रम सारखाच ठेवा : x₂ − x₁ आणि y₂ − y₁.

सामान्य चूक

वर्ग करण्याआधी √ काढू नका : √(9 + 16) ≠ 3 + 4.

शॉर्टकट

(3, 4, 5), (5, 12, 13) आणि (6, 8, 10) हे पायथागोरस त्रिकूट दिसले तर वर्गमूळ न काढता उत्तर लिहा. आठवणीची युक्ती : "फरक, वर्ग, बेरीज, मूळ".

फरक ओळखा

मुद्दाअंतरएका रेषेत
काय काढायचेदोन बिंदूंमधील लांबीतीन लांबींचा संबंध
सूत्र√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]लहान + लहान = मोठी
मूलबिंदूपासून√(x² + y²)O चा बिंदू म्हणून वापर
काटकोनa² + b² = c²लहान² + लहान² = मोठी²

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(0, 0) आणि B(3, 4) यांच्यातील अंतर किती?
  2. 2P(2, 3) आणि Q(2, 9) यांच्यातील अंतर किती?
  3. 3P(8, 15) चे मूलबिंदूपासून अंतर किती?
मध्यम
  1. 4A(1, 1) आणि B(7, 9) यांच्यातील अंतर काढा.
  2. 5A(−3, 1) आणि B(2, −11) यांच्यातील अंतर काढा.
  3. 6A(2, 2), B(5, 6) आणि C(8, 10) एका रेषेत आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 7बिंदू (x, 0) हा A(1, 3) पासून 5 अंतरावर आहे. x काढा.
  2. 8A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4) चा त्रिकोण कोणत्या प्रकारचा आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√(9 + 16) = 5.
  2. 2x सारखे ; d = 9 − 3 = 6.
  3. 3√(64 + 225) = 17.
  4. 4फरक 6 आणि 8 ; d = 10.
  5. 5फरक 5 आणि −12 ; d = √(25 + 144) = 13.
  6. 6AB = 5, BC = 5, AC = 10 ; 5 + 5 = 10 म्हणून होय.
  7. 7(x − 1)² + 9 = 25 ⇒ (x − 1)² = 16 ⇒ x = 5 किंवा −3.
  8. 8AB = 6, AC = 5, BC = 5 ; दोन बाजू सारख्या म्हणून समद्विभुज.

विभाजन सूत्र

रोजच्या जीवनातून

दोन गावांमधला रस्ता 12 किमी आहे. पेट्रोल पंप पहिल्या गावापासून 1 : 2 प्रमाणात आहे; म्हणजे 4 किमीवर. अशा विभाजन बिंदूचे निर्देशक सूत्राने काढतात.

सोपी व्याख्या

A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂) या रेषाखंडाला P हा बिंदू m : n प्रमाणात आतून विभागतो तर P = ((m·x₂ + n·x₁) ÷ (m + n), (m·y₂ + n·y₁) ÷ (m + n)). m = n असेल तर P मध्यबिंदू असतो.

121 : 2

आकृतीत : रेषाखंड AB चे 1 : 2 प्रमाणात विभाजन ; P हा A जवळ आहे आणि AP हा PB चा निम्मा आहे.

नियम 1 : मध्यबिंदू — दोन्ही x ची सरासरी आणि दोन्ही y ची सरासरी : ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2).

  • सोपे : A(2, 4), B(8, 10) ⇒ ((2 + 8) ÷ 2, (4 + 10) ÷ 2) = (5, 7).
  • मध्यम : A(−4, 6), B(2, −2) ⇒ (−2 ÷ 2, 4 ÷ 2) = (−1, 2).
  • परीक्षेसाठी : मध्यबिंदू (3, 5) आणि A(1, 2) असेल तर B : 2 × 3 − 1 = 5 आणि 2 × 5 − 2 = 8, म्हणजे B(5, 8).

नियम 2 : m : n प्रमाणात विभाजन — प्रत्येक निर्देशक : (m × दुसऱ्याचा + n × पहिल्याचा) ÷ (m + n).

Live आकृती

विभाजन सूत्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : A(1, 2), B(7, 8), 1 : 2 ⇒ x = (1 × 7 + 2 × 1) ÷ 3 = 3 ; y = (1 × 8 + 2 × 2) ÷ 3 = 4 ; P(3, 4).
  • मध्यम : A(−3, 5), B(6, −1), 2 : 1 ⇒ x = (2 × 6 + 1 × (−3)) ÷ 3 = 3 ; y = (2 × (−1) + 1 × 5) ÷ 3 = 1 ; P(3, 1).
  • परीक्षेसाठी : A(2, −3), B(10, 5), 3 : 1 ⇒ x = (3 × 10 + 1 × 2) ÷ 4 = 8 ; y = (3 × 5 + 1 × (−3)) ÷ 4 = 3 ; P(8, 3).

नियम 3 : त्रिकोणाचा मध्यबिंदू (केंद्रक) — तीन मध्यगा ज्या बिंदूत भेटतात तो केंद्रक G. G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3). तो प्रत्येक मध्यगेला 2 : 1 प्रमाणात विभागतो.

  • सोपे : A(1, 2), B(4, 6), C(7, 1) ⇒ G = (12 ÷ 3, 9 ÷ 3) = (4, 3).
  • मध्यम : A(−2, 0), B(4, 3), C(1, 9) ⇒ G = (3 ÷ 3, 12 ÷ 3) = (1, 4).
  • परीक्षेसाठी : A(0, 0), B(6, 0), C(3, 9) ⇒ G = (9 ÷ 3, 9 ÷ 3) = (3, 3).
लक्षात ठेवा

मध्यबिंदूत प्रमाण 1 : 1 असते; केंद्रकात तीन बिंदूंची सरासरी घेतात.

सामान्य चूक

m आणि n उलट ठेवू नका : m दुसऱ्या बिंदूच्या निर्देशकाशी गुणले जाते.

शॉर्टकट

विभाजन बिंदू नेहमी दोन्ही बिंदूंच्या मध्ये येतो; तपासा. आठवणीची युक्ती : "क्रॉस गुणाकार" — m उलट्या टोकाशी, n पहिल्या टोकाशी.

फरक ओळखा

मुद्दामध्यबिंदूकेंद्रक
बिंदू23
भागाकार÷ 2÷ 3
सूत्र((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)
प्रमाण1 : 12 : 1

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(2, 6) आणि B(4, 10) चा मध्यबिंदू काढा.
  2. 2A(−2, 0) आणि B(2, 4) चा मध्यबिंदू काढा.
  3. 3A(0, 0), B(6, 9), C(3, 0) चा केंद्रक काढा.
मध्यम
  1. 4A(1, 1), B(7, 4) ; P हा AB ला 1 : 2 प्रमाणात विभागतो. P काढा.
  2. 5A(−1, 7), B(4, −3) ; 2 : 3 प्रमाणात विभाजन बिंदू काढा.
  3. 6AB चा मध्यबिंदू (4, 5) आणि A(1, 2) आहे. B काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7त्रिकोणाचे दोन शिरोबिंदू (2, 1) आणि (6, 5) आहेत; केंद्रक (4, 3) आहे. तिसरा शिरोबिंदू काढा.
  2. 8A(2, 3) आणि B(8, 9) ; P हा AB चा तिसरा भाग (A पासून 1 : 2) आणि Q हा 2 : 1 वर आहे. P आणि Q काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(3, 8).
  2. 2(0, 2).
  3. 3(9 ÷ 3, 9 ÷ 3) = (3, 3).
  4. 4x = (7 + 2) ÷ 3 = 3 ; y = (4 + 2) ÷ 3 = 2 ; P(3, 2).
  5. 5x = (2 × 4 + 3 × (−1)) ÷ 5 = 1 ; y = (2 × (−3) + 3 × 7) ÷ 5 = 3 ; (1, 3).
  6. 6B = (2 × 4 − 1, 2 × 5 − 2) = (7, 8).
  7. 7x = 3 × 4 − 2 − 6 = 4 ; y = 3 × 3 − 1 − 5 = 3 ; (4, 3).
  8. 8P = ((8 + 4) ÷ 3, (9 + 6) ÷ 3) = (4, 5) ; Q = ((16 + 2) ÷ 3, (18 + 3) ÷ 3) = (6, 7).

रेषेचा चढ (उतार)

रोजच्या जीवनातून

जिन्याच्या पायऱ्या किती तीव्र आहेत ते उंची ÷ रुंदी याने सांगता येते. जास्त उंची म्हणजे जास्त चढ. रेषेचा चढ असाच मोजतात.

सोपी व्याख्या

A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂) मधून जाणाऱ्या रेषेचा चढ m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = उभा फरक ÷ आडवा फरक. रेषा X-अक्षाशी θ कोन करत असेल तर m = tan θ.

xy422 ÷ 4= 1/2

आकृतीत : आडवा फरक 4, उभा फरक 2 ; चढ = 2 ÷ 4 = 1/2.

नियम 1 : चढाचे सूत्र — उभा फरक ÷ आडवा फरक. दोन्ही फरकांचा क्रम सारखा ठेवा.

  • सोपे : A(1, 2), B(3, 6) ⇒ (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2.
  • मध्यम : A(2, 5), B(6, 1) ⇒ (1 − 5) ÷ (6 − 2) = −4 ÷ 4 = −1 ; रेषा खाली उतरते.
  • परीक्षेसाठी : A(−1, 3), B(5, 12) ⇒ (12 − 3) ÷ (5 + 1) = 9 ÷ 6 = 3/2.

नियम 2 : अक्षांना समांतर रेषा आणि कोनावरून चढ — आडव्या रेषेचा चढ 0 ; उभ्या रेषेचा चढ व्याख्यित नाही. कोन θ दिला असेल तर m = tan θ.

Live आकृती

रेषेचा चढ (उतार)

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : (2, 5) आणि (7, 5) ⇒ उभा फरक 0 ; चढ 0 ÷ 5 = 0.
  • मध्यम : (3, 1) आणि (3, 9) ⇒ आडवा फरक 0 ; 8 ÷ 0 शक्य नाही, चढ व्याख्यित नाही.
  • परीक्षेसाठी : θ = 45° ⇒ m = 1 ; θ = 60° ⇒ m = √3 ; θ = 30° ⇒ m = 1/√3.

नियम 3 : समांतर रेषा आणि एका रेषेतील बिंदू — समांतर रेषांचे चढ सारखे असतात. तीन बिंदू A, B, C मध्ये AB आणि BC चे चढ सारखे असतील तर ते एका रेषेत असतात.

  • सोपे : AB : A(0, 0), B(2, 3) चढ 3/2 ; CD : C(4, 1), D(8, 7) चढ 6/4 = 3/2 ⇒ रेषा समांतर.
  • मध्यम : P(1, 2), Q(3, 6), R(5, 10) ⇒ PQ चढ 4 ÷ 2 = 2 ; QR चढ 4 ÷ 2 = 2 ⇒ एका रेषेत.
  • परीक्षेसाठी : A(0, 1), B(2, 3), C(4, 4) ⇒ AB चढ 1, BC चढ 1/2 ⇒ एका रेषेत नाहीत.
लक्षात ठेवा

उभा फरक वर आणि आडवा फरक खाली : "वर उभा, खाली आडवा".

सामान्य चूक

दोन्ही फरकांत बिंदूंचा क्रम उलटा करू नका; चढाचे चिन्ह चुकते.

शॉर्टकट

चढ + असेल तर रेषा वर जाते, − असेल तर खाली. आठवणीची युक्ती : "आडवी 0, उभी व्याख्यित नाही".

फरक ओळखा

मुद्दाआडवी रेषाउभी रेषा
उभा फरक0कोणताही
आडवा फरककोणताही0
चढ0व्याख्यित नाही
कोन0°90°

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(0, 0) आणि B(2, 6) मधून जाणाऱ्या रेषेचा चढ किती?
  2. 2(1, 4) आणि (5, 4) मधून जाणाऱ्या रेषेचा चढ किती?
  3. 345° कोनाच्या रेषेचा चढ किती?
मध्यम
  1. 4A(2, 7), B(6, 3) चा चढ काढा.
  2. 5A(−2, 1) आणि B(4, 10) चा चढ काढा.
  3. 6A(1, 2), B(2, 5), C(4, 11) एका रेषेत आहेत का?
आव्हानात्मक
  1. 7रेषा A(1, 1), B(3, k) चा चढ 4 आहे. k काढा.
  2. 8P(0, 3), Q(4, 7) आणि R(1, 0), S(5, 4) या रेषा समांतर आहेत का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16 ÷ 2 = 3.
  2. 2उभा फरक 0 ⇒ चढ 0.
  3. 3tan 45° = 1.
  4. 4(3 − 7) ÷ (6 − 2) = −4 ÷ 4 = −1.
  5. 5(10 − 1) ÷ (4 + 2) = 9 ÷ 6 = 3/2.
  6. 6AB चढ 3, BC चढ 6 ÷ 2 = 3 ; होय.
  7. 7(k − 1) ÷ 2 = 4 ⇒ k = 9.
  8. 8दोन्ही चढ 4 ÷ 4 = 1 ; होय, समांतर.