शिरोबिंदू भिन्न असताना समरूप त्रिकोण
नकाशाकार मोठा त्रिकोणी भूखंड छोट्या कागदावर दोन तृतीयांश आकारात काढतो. प्रत्येक बाजू सारख्या गुणोत्तराने कमी होते आणि कोन तसेच राहतात. हीच समरूप त्रिकोण रचना.
दिलेल्या त्रिकोणाशी समरूप (similar) त्रिकोण काढण्यासाठी आधी प्रत्येक दिलेली बाजू गुणोत्तराने गुणून नवीन बाजू काढा, मग नवीन त्रिकोण काढा. संगत कोन समान राहतात.
नियम 1 : नवीन बाजू काढणे — ΔABC ~ ΔPQR, AB = 6, BC = 4.5, AC = 7.5 आणि AB : PQ = 3 : 2. मग PQ = 6 × 23 = 4, QR = 4.5 × 23 = 3, PR = 7.5 × 23 = 5. गुणोत्तर 2 : 5 असेल (नवीन मोठा) तर AB = 4.8, BC = 3.6, AC = 6 चे 12, 9, 15 होतात.
- सोपे : गुणोत्तर 1 : 2 आणि बाजू 3 सेमी तर नवीन बाजू 6 सेमी.
- मध्यम : AB : PQ = 7 : 5 म्हणजे ΔABC मोठा.
- परीक्षेसाठी : 11.63 सेमी ही बाजू मोजणे अवघड; 11.6 सेमी खंडाचे 3 समान भाग करून एक भाग घ्या.
नियम 2 : गुणोत्तराची दिशा — नवीन बाजू = दिलेली बाजू × (नवीन भाग ÷ दिलेला भाग). दिलेल्या त्रिकोणाचा पद मोठा असेल तर नवीन त्रिकोण लहान. BC : MN = 5 : 4 आणि BC = 6 तर MN = 6 × 45 = 4.8. कोन बदलत नाहीत : ∠RST = 40° तर ∠XYZ = 40°.
- सोपे : गुणोत्तर 5 : 4, बाजू 10 तर 8.
- मध्यम : गुणोत्तर 3 : 5, बाजू 4.5 तर 7.5.
- परीक्षेसाठी : बाजू 5.5, 6, 4.5 आणि BC : MN = 5 : 4 : MN = 4.8, LM = 4.4, LN = 3.6.
नवीन बाजू = जुनी बाजू × नवीन ÷ जुनी. कोन तेच राहतात.
गुणोत्तर उलटे वापरणे. नवीन त्रिकोण मोठा की लहान ते तपासा.
आठवणीची युक्ती : "नवीन ÷ जुना = गुणाकार".
फरक ओळखा
| गुणोत्तर जुना : नवीन | बाजू 6 होते |
|---|---|
| 3 : 2 | 4 |
| 1 : 2 | 12 |
| 5 : 4 | 4.8 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समरूप त्रिकोणांत काय तसेच राहते?
- 2नवीन बाजू कशी काढतात?
- 3गुणोत्तर 3 : 2, बाजू 9. नवीन बाजू?
- 4गुणोत्तर 2 : 3, बाजू 8. नवीन बाजू?
- 5AB : PQ = 7 : 5 असल्यास नवीन त्रिकोण मोठा आहे का?
- 6बाजू 4.5, 5.7 मधील कोन 40°, गुणोत्तर 3 : 5. नवीन बाजू आणि कोन काढा.
- 7बाजू 5.1 आणि 4.8, गुणोत्तर 4 : 7. नवीन बाजू काढा.
- 873 सेमी सारखी लांबी कशी हाताळाल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1संगत कोन.
- 2दिलेली बाजू गुणोत्तराने (नवीन ÷ दिलेली) गुणतात.
- 36.
- 412.
- 5नाही, लहान.
- 67.5, 9.5 आणि 40°.
- 78.925 आणि 8.4.
- 87 सेमी चे 3 समान भाग करून एक भाग घ्या.
सामाईक शिरोबिंदू असलेला समरूप त्रिकोण
जुन्या आणि नवीन त्रिकोणाचा एक कोपरा समान असेल तर नवीन त्रिकोण जुन्याच्या आत किंवा बाहेर काढता येतो. चौकटीच्या एकाच कोपऱ्यावर चिकटवलेला फोटो आणि त्याचे मोठे रूप समजा.
समाईक शिरोबिंदू (common vertex) B असेल तर BC चे समान भाग करा, C′ हा BC वर (लहान) किंवा किरण BC वर (मोठा) घ्या आणि C′ मधून AC ला समांतर रेषा काढा.
नियम 1 : लहान त्रिकोण — गुणोत्तर AB : A′B = 4 : 3 साठी ΔABC मोठा आणि BC′ = 34 BC. पायऱ्या : (1) ΔABC काढा; (2) BC चे 4 समान भाग करा; (3) B पासून तिसऱ्या भागावर C′ घ्या; (4) C′ मधून AC ला समांतर रेषा काढा, ती AB ला A′ मध्ये भेटेल; (5) ΔA′BC′ हा हवा त्रिकोण.
आकृतीत : आकृतीत समाईक शिरोबिंदू असलेला समरूप त्रिकोण : लहान त्रिकोण मोठ्याच्या आत.
- सोपे : गुणोत्तर 4 : 3, BC = 8 : BC′ = 6.
- मध्यम : BC चे 4 भाग करून B पासून 3 भाग घ्या.
- परीक्षेसाठी : BPT नुसार C′ मधून AC ला समांतर रेषा BA′A′A = BC′C′C देते, म्हणून ΔA′BC′ ~ ΔABC.
नियम 2 : खंडाचे विभाजन व मोठा त्रिकोण — BC चे समान भाग करण्यासाठी B पासून A च्या विरुद्ध बाजूला किरण काढा, त्यावर समान अंतरांवर खुणा करा, शेवटची खूण C शी जोडा आणि इतर खुणांमधून त्याला समांतर रेषा काढा. मोठ्या त्रिकोणासाठी गुणोत्तर AB : A′B = 3 : 5 : BC चे 3 समान भाग करा आणि किरण BC वर 5 भागांवर C′ खूण करा, म्हणून BC′ = 53 BC. BC = 9 तर BC′ = 15.
आकृतीत : आकृतीत खंडाचे समान भाग : समान खुणा असलेला किरण आणि समांतर रेषा.
- सोपे : गुणोत्तर 3 : 5 आणि BC = 6 : BC′ = 10.
- मध्यम : 5 भागांसाठी किरणावर 5 समान अंतरांच्या खुणा करा.
- परीक्षेसाठी : ΔPQR ~ ΔLTR, PQ = 4.2, QR = 5.4, PR = 4.8 आणि PQ : LT = 3 : 4 (समाईक शिरोबिंदू R) : LT = 5.6, TR = 7.2, LR = 6.4.
लहान : C′ हा BC वर. मोठा : C′ हा किरण BC वर C च्या पलीकडे. नवीन रेषा AC ला समांतर.
भागांची संख्या चुकवणे. गुणोत्तराच्या जुन्या पदाने भाग करा आणि नवीन पदाइतके भाग घ्या.
आठवणीची युक्ती : "जुन्याने भाग, नवीनाइतके घे".
फरक ओळखा
| गुणोत्तर जुना : नवीन | BC चे भाग | घ्या |
|---|---|---|
| 4 : 3 | 4 | 3 |
| 3 : 5 | 3 | 5 |
| 5 : 3 | 5 | 3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समाईक शिरोबिंदूमुळे रचना कशी होते?
- 2रचना कोणते प्रमेय सिद्ध करते?
- 3गुणोत्तर 4 : 3, BC = 12. BC′ काढा.
- 4गुणोत्तर 3 : 5, BC = 6. BC′ काढा.
- 5गुणोत्तर 5 : 7 : BC चे किती भाग करायचे?
- 6ΔAMT ~ ΔAHE, AM = 6.3, AT = 5.6, AM : AH = 7 : 5. AH आणि AE काढा.
- 7YZ : YQ = 6 : 5, YQ = 7.2. YZ काढा.
- 8किरण A नसलेल्या बाजूला का काढतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नवीन त्रिकोण B शिरोबिंदू वापरतो आणि त्याची बाजू AC ला समांतर.
- 2मूलभूत समानुपात प्रमेय.
- 39.
- 410.
- 55 भाग; मोठ्या त्रिकोणासाठी 7 भाग घ्या.
- 64.5 आणि 4.0.
- 78.64.
- 8म्हणजे खुणा आणि समांतर रेषा त्रिकोणाला छेदत नाहीत.
केंद्राचा वापर करून बिंदूतील स्पर्शिका
जमिनीवरील चाक रस्त्याला एका बिंदूत टेकते आणि त्या बिंदूत रस्ता चाकाच्या आऱ्याला काटकोनात असतो. वर्तुळावर असा सरळ काठ काढायला त्रिज्या काढा आणि तिला लंब काढा.
वर्तुळावरील P बिंदूतील स्पर्शिका म्हणजे P मधून त्रिज्या CP ला लंब रेषा.
नियम 1 : केंद्र वापरून पायऱ्या — (1) केंद्र C घेऊन वर्तुळ काढा आणि त्यावर बिंदू P घ्या. (2) किरण CP काढा आणि P च्या पलीकडे वाढवा. (3) P मधून किरण CP ला लंब रेषा l काढा. रेषा l ही स्पर्शिका. वर्तुळाच्या एका बिंदूत एकच स्पर्शिका असते.
आकृतीत : आकृतीत केंद्र वापरून वर्तुळावरील बिंदूतील स्पर्शिका.
- सोपे : त्रिज्या 3 सेमी, वर्तुळावरील P : CP = 3 सेमी काढा, मग P मधून लंब.
- मध्यम : त्रिज्येच्या टोकातील लंब वर्तुळाला फक्त त्या टोकालाच भेटतो.
- परीक्षेसाठी : P मध्ये एकच स्पर्शिका का? CP ला लंब अशी P मधून एकच रेषा जाते.
नियम 2 : समांतर स्पर्शिका — व्यासाच्या दोन टोकांतील स्पर्शिका व्यासाला लंब, म्हणून त्या समांतर आणि त्यांतील अंतर व्यासाइतके. त्रिज्या 3.3 च्या वर्तुळात जीवा PQ = 6.6 म्हणजे व्यास : P आणि Q मधील स्पर्शिका समांतर. त्रिज्या 3.4 मध्ये लहान जीवा MN = 5.7 : M आणि N मधील स्पर्शिका एकमेकांना भेटतात. 120° च्या कंसाच्या टोकांतील स्पर्शिका T मध्ये भेटतात, ∠T = 360° − (90° + 90° + 120°) = 60°.
- सोपे : त्रिज्या 4 सेमी तर समांतर स्पर्शिकांतील अंतर 8 सेमी.
- मध्यम : त्रिज्या 3 सेमी (व्यास 6 सेमी) च्या वर्तुळात जीवा 5 सेमी : तिच्या टोकांतील स्पर्शिका भेटतात.
- परीक्षेसाठी : कंस AB = 100° असेल तर A आणि B मधील स्पर्शिका T मध्ये भेटतात, ∠T = 80°.
P मध्ये स्पर्शिका ⊥ त्रिज्या. व्यास म्हणजे समांतर स्पर्शिका.
चुकीच्या बिंदूत लंब काढणे. तो P मधूनच गेला पाहिजे.
आठवणीची युक्ती : "त्रिज्या काढ, तिला लंब काढ".
फरक ओळखा
| जीवा | टोकांतील स्पर्शिका |
|---|---|
| व्यास | समांतर |
| व्यासापेक्षा लहान | बाहेर भेटतात |
| समांतर असल्यास अंतर | व्यास |
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र वापरून स्पर्शिका कशी काढतात?
- 2वर्तुळावरील बिंदूत किती स्पर्शिका?
- 3व्यासाच्या टोकांतील स्पर्शिकांमधील संबंध?
- 4त्रिज्या 2.7 सेमी : बिंदूत स्पर्शिका काढा. कोणता कोन वापरतात?
- 5त्रिज्या 4.5 सेमी च्या वर्तुळाच्या समांतर स्पर्शिकांतील अंतर?
- 6त्रिज्या 3.4 सेमी मध्ये जीवा MN = 5.7 सेमी. M आणि N मधील स्पर्शिका भेटतात का?
- 7कंस AB = 80°, स्पर्शिका T मध्ये भेटतात. ∠T काढा.
- 8त्रिज्येच्या टोकातील लंब वर्तुळाला एकदाच का स्पर्श करतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1P पर्यंत त्रिज्या काढून P मध्ये तिला लंब काढतात.
- 2एक.
- 3समांतर.
- 4त्रिज्येसोबत 90°.
- 59 सेमी.
- 6होय, 5.7 < 6.8 (व्यास).
- 7360° − 260° = 100°.
- 8रेषेवरील इतर प्रत्येक बिंदू केंद्रापासून त्रिज्येपेक्षा जास्त दूर.
केंद्राचा वापर न करता बिंदूतील स्पर्शिका
ताटलीचे केंद्र हरवले पण तरीही बिंदूत स्पर्शिका काढायची आहे असे समजा. स्पर्शिका आणि जीवा यांतील कोन समोरच्या कंसातील कोनाइतका असतो हे वापरतो.
स्पर्शिका-जीवा कोन : स्पर्शिका आणि जीवा यांतील कोन समोरील कंसातील अंतर्लिखित कोनाइतका. तो कोन C मध्ये तसाच काढून स्पर्शिका मिळवतात.
नियम 1 : केंद्राशिवाय पायऱ्या — (1) वर्तुळ काढा आणि त्यावर C घ्या. (2) जीवा CB आणि अंतर्लिखित ∠CAB काढा. (3) केंद्र A घेऊन कंस काढा, तो ∠BAC च्या बाजूंना M आणि N मध्ये छेदतो. (4) तीच त्रिज्या आणि केंद्र C घेऊन कंस काढा, तो CB ला R मध्ये छेदतो. (5) त्रिज्या MN आणि केंद्र R घेऊन मागील कंसाला D मध्ये छेदा. रेषा CD ही स्पर्शिका.
आकृतीत : आकृतीत केंद्र न वापरता बिंदूतील स्पर्शिका.
- सोपे : ∠CAB = 48° तर ∠BCD = 48°.
- मध्यम : ∠BCD = 35° तर छेदलेला कंस CB = 70°.
- परीक्षेसाठी : हे का चालते : ΔMAN ≅ ΔRCD (SSS), म्हणून ∠BCD = ∠CAB, आणि स्पर्शिका-जीवा कोनाच्या विरुद्ध प्रमेयाने CD स्पर्शिका.
नियम 2 : कोन तथ्ये — स्पर्शिका-जीवा कोन = 12 × छेदलेला कंस = समोरील कंसातील अंतर्लिखित कोन. कंस 76° तर कोन 38°. कोन 54° तर कंस 108°.
- सोपे : कंस 90° तर कोन 45°.
- मध्यम : कोन 62° तर कंस 124°.
- परीक्षेसाठी : समोरील कंसातील अंतर्लिखित कोन 55° असेल तर स्पर्शिका-जीवा कोन 55° आणि कंस 110°.
अंतर्लिखित कोन C मध्ये तसाच काढा. नवीन भुजा म्हणजे स्पर्शिका.
जीवेच्या चुकीच्या बाजूला कोन काढणे. तो A च्या विरुद्ध बाजूला हवा.
आठवणीची युक्ती : "जीवा-स्पर्शिका कोन = समोरचा कोन".
फरक ओळखा
| राशी | किंमत |
|---|---|
| समोरील कंसातील कोन | 54° |
| स्पर्शिका-जीवा कोन | 54° |
| छेदलेला कंस | 108° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्राशिवाय स्पर्शिका काढता येते का?
- 2स्पर्शिका-जीवा कोन कशाच्या बरोबर?
- 3कंस 70° : स्पर्शिका-जीवा कोन?
- 4∠CAB = 62°. ∠BCD काढा.
- 5कोन 41° : छेदलेला कंस?
- 6∠MAN = ∠RCD कोणत्या एकरूपता चाचणीने सिद्ध होते?
- 7रचनेत C मध्ये कोणता कोन तसाच काढतात?
- 8C मधील स्पर्शिका जीवा CB शी ∠BCD = 38° करते. कंस CB आणि केंद्रीय कोन किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय, अंतर्लिखित कोन तसाच काढून.
- 2समोरील कंसातील अंतर्लिखित कोन.
- 335°.
- 462°.
- 582°.
- 6SSS.
- 7अंतर्लिखित कोन ∠CAB.
- 8कंस 76°, केंद्रीय कोन 76°.
वर्तुळाबाहेरील बिंदूतून स्पर्शिका
फाटकावर उभा असलेला रक्षक गोल कारंज्याकडे बोट दाखवतो. बाहेरच्या बिंदूपासून कारंज्याला फक्त स्पर्श करणाऱ्या नेमक्या दोन सरळ रेषा काढता येतात. आपण त्या अर्धवर्तुळातील काटकोन वापरून काढतो.
केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बाहेरील बिंदू P पासून नेमक्या दोन स्पर्शिका काढता येतात, त्यांची लांबी समान PA = PB = √(OP2 − r2).
नियम 1 : पायऱ्या — (1) केंद्र O घेऊन वर्तुळ काढा आणि बाहेरील बिंदू P घ्या. (2) OP आणि त्याचा लंबदुभाजक काढून मध्यबिंदू M मिळवा. (3) केंद्र M आणि त्रिज्या OM घेऊन वर्तुळ काढा. (4) दोन्ही वर्तुळे जिथे भेटतात त्या बिंदूंना A आणि B नाव द्या. (5) रेषा PA आणि PB काढा. त्या स्पर्शिका आहेत कारण ∠OAP = 90° (अर्धवर्तुळातील कोन).
आकृतीत : आकृतीत व्यास OP वरील वर्तुळ वापरून बाहेरील बिंदूपासून स्पर्शिका.
- सोपे : व्यास OP असलेले वर्तुळ एकच, त्याचे केंद्र M.
- मध्यम : दुसऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या = OP2.
- परीक्षेसाठी : स्पर्शिका फक्त OP > r असेल तरच काढता येतात.
नियम 2 : स्पर्शिकेची लांबी — पायथागोरसने PA = √(OP2 − r2). r = 5, OP = 13 : PA = 12. r = 6, OP = 10 : PA = 8. r = 7, OP = 25 : PA = 24. OP = 2r असेल (उदा. r = 4, OP = 8) तर sin∠OPA = rOP = 12, म्हणून ∠OPA = 30° आणि स्पर्शिकांमधील कोन 60°.
- सोपे : r = 3, OP = 5 तर PA = 4.
- मध्यम : r = 9, OP = 15 तर PA = 12.
- परीक्षेसाठी : r = 6, OP = 12 : PA = √(144 − 36) = 6√3 आणि स्पर्शिकांमधील कोन 60°.
बाहेरील बिंदूपासून दोन स्पर्शिका. व्यास OP वर वर्तुळ काढा.
वर्तुळाच्या आतील बिंदूपासून स्पर्शिका काढायचा प्रयत्न करणे. त्या नसतात.
आठवणीची युक्ती : "OP चा मध्य → वर्तुळ → A, B".
फरक ओळखा
| P ची जागा | स्पर्शिका |
|---|---|
| बाहेर | 2 |
| वर्तुळावर | 1 |
| आत | 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1बाहेरील बिंदूपासून किती स्पर्शिका?
- 2रचनेत कोणते वर्तुळ वापरतात?
- 3r = 3, OP = 5 : PA?
- 4r = 4.1, OP = 7.3 : PA (एक दशांश)?
- 5∠OAP = 90° का?
- 6व्यास 6.4 सेमी चे वर्तुळ, OP = 6.4 सेमी. स्पर्शिकांमधील कोन काढा.
- 7r = 3.4 सेमी आणि OP = 5.5 सेमी. स्पर्शिका काढता येतात का? का?
- 8r = 3.5 आणि OP = 5.7 साठी स्पर्शिका लांबी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1दोन.
- 2व्यास OP असलेले वर्तुळ.
- 34.
- 4√36.48 ≈ 6.04, म्हणजे सुमारे 6.0.
- 5तो अर्धवर्तुळातील कोन (व्यास OP).
- 6sin = 3.26.4 = 12, प्रत्येकी 30°, म्हणून 60°.
- 7होय, 5.5 > 3.4, म्हणून P बाहेर.
- 8√(32.49 − 12.25) = √20.24 ≈ 4.5.
झटपट उजळणी
- समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात आणि संगत कोन समान असतात. दिलेल्या गुणोत्तराने समरूप त्रिकोण रचण्यासाठी दिलेल्या बाजूंना नवीन भाग : दिलेला भाग या गुणोत्तराने गुणा. सामाईक शिरोबिंदू B असताना BC चे समान भाग करा, C′ हा BC वर (लहान त्रिकोण) किंवा किरण BC वर (मोठा त्रिकोण) दर्शवा आणि C′ मधून AC ला समांतर रेषा काढून A′ मिळवा.
- केंद्र C असलेल्या वर्तुळाच्या बिंदू P मधील स्पर्शिका म्हणजे P मधून किरण CP ला लंब रेषा; केंद्राशिवाय, जीवा CB आणि अंतर्लिखित ∠CAB काढा आणि C मध्ये ∠BCD ≅ ∠CAB असा तो उतरवा (स्पर्शिका-छेदिका कोन प्रमेय आणि त्याचे व्यस्त). वर्तुळाच्या बिंदूत एकच स्पर्शिका काढता येते.
- बाह्य बिंदू P मधून स्पर्शिकांसाठी OP व्यास असलेले वर्तुळ (केंद्र M, OP चा मध्यबिंदू) काढा; ते दिलेल्या वर्तुळाला A आणि B मध्ये छेदते कारण अर्धवर्तुळातील कोन 90° असतो. PA = PB = √(OP² − r²), आणि OP त्रिज्येपेक्षा मोठा असेल तरच दोन स्पर्शिका असतात.
झटपट उजळणी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा