बिंदूंतून जाणारी वर्तुळे, छेदिका आणि स्पर्शिका
सायकलस्वार गोल तळ्याशेजारच्या सरळ रस्त्याने जातो. रस्ता तळ्याला फक्त एका ठिकाणी स्पर्श करतो आणि आत जात नाही. तळ्यातून सरळ जाणारी नाव एका ठिकाणी आत शिरते आणि दुसऱ्या ठिकाणी बाहेर पडते.
वर्तुळाला दोन बिंदूंत भेटणारी रेषा छेदिका (secant). फक्त एका बिंदूत भेटणारी रेषा स्पर्शिका (tangent) आणि तो बिंदू स्पर्शबिंदू (point of contact).
नियम 1 : बिंदूंतून जाणारी वर्तुळे — एका बिंदूतून अनंत वर्तुळे जातात. दोन बिंदू A आणि B मधून अनंत वर्तुळे जातात आणि त्यांची केंद्रे AB च्या लंबदुभाजकावर असतात. तीन असंरेषीय बिंदूंतून नेमके एक वर्तुळ जाते. तीन संरेषीय बिंदू कोणत्याही वर्तुळावर नसतात.
आकृतीत : आकृतीत छेदिका वर्तुळाला दोन बिंदूंत भेटते; स्पर्शिका एका बिंदूत आणि ती तेथील त्रिज्येला लंब असते.
- सोपे : त्रिकोणाच्या तीन शिरोबिंदूंतून एक वर्तुळ जाते (परिवर्तुळ).
- मध्यम : A, B, C एका रेषेत : तिन्हींतून जाणारे वर्तुळ नाही.
- परीक्षेसाठी : A आणि B मधून जाणाऱ्या वर्तुळांची केंद्रे एका रेषेवर का? प्रत्येक केंद्र A आणि B पासून सारख्या अंतरावर.
नियम 2 : स्पर्शिका प्रमेये — स्पर्शिका स्पर्शबिंदूतील त्रिज्येला लंब असते. उलट, त्रिज्येच्या वर्तुळावरील टोकातून तिला लंब रेषा स्पर्शिका असते. बाहेरील बिंदूपासून काढलेले स्पर्शिका खंड समान असतात. बाहेरील बिंदूतून दोन स्पर्शिका; वर्तुळावरील बिंदूतून एक; आतील बिंदूतून एकही नाही.
आकृतीत : आकृतीत बाहेरील बिंदूपासूनचे स्पर्शिका खंड समान.
- सोपे : त्रिज्या 5, केंद्र ते बाह्य बिंदू 13 : स्पर्शिका लांबी = √(169 − 25) = 12.
- मध्यम : C पासूनच्या स्पर्शिकांनी ∠ACB = 70° तर ∠ADB = 360° − (70° + 90° + 90°) = 110°.
- परीक्षेसाठी : केंद्रापासून 17 सेमी वरील बिंदूपासून स्पर्शिका लांबी 15 तर त्रिज्या √(289 − 225) = 8 सेमी. त्रिज्या 7 च्या दोन समांतर स्पर्शिकांमधील अंतर 14.
स्पर्शिका ⊥ त्रिज्या. बाहेरील बिंदूपासून समान स्पर्शिका खंड.
स्पर्शबिंदूतील काटकोन विसरणे. त्यातून काटकोन त्रिकोण बनवा.
आठवणीची युक्ती : "स्पर्श म्हणजे काटकोन".
फरक ओळखा
| रेषा | सामाईक बिंदू |
|---|---|
| छेदिका | 2 |
| स्पर्शिका | 1 |
| बाहेरील रेषा | 0 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1स्पर्शिका म्हणजे काय?
- 2तीन असंरेषीय बिंदूंतून किती वर्तुळे जातात?
- 3स्पर्शबिंदूत स्पर्शिका आणि त्रिज्येतील कोन?
- 4त्रिज्या 3, स्पर्शिका खंड 4 : केंद्रापासून अंतर?
- 5त्रिज्या 6.5 च्या वर्तुळाच्या समांतर स्पर्शिकांतील अंतर?
- 6OR = 26 आणि त्रिज्या 13 : स्पर्शिका खंड आणि ∠ORM?
- 7P पासूनच्या स्पर्शिका A आणि B ला स्पर्श करतात, ∠APB = 50°. ∠AOB काढा.
- 8समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करणारे वर्तुळ असेल तर तो समभुज चौकोन सिद्ध करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1वर्तुळाला नेमक्या एका बिंदूत भेटणारी रेषा.
- 2नेमके एक.
- 390°.
- 45.
- 513.
- 613√3; 13 हे 26 चे निम्मे, म्हणून ∠ORM = 30°.
- 7360° − (50° + 90° + 90°) = 130°.
- 8प्रत्येक शिरोबिंदूचे स्पर्शिका खंड समान, म्हणून AB + CD = AD + BC, आणि समोरच्या बाजू समान असल्याने AB = AD.
स्पर्श करणारी वर्तुळे
टेबलावर दोन नाणी एकमेकांना चिकटवली तर ती एका बिंदूत स्पर्श करतात. मोठ्या कड्याच्या आत त्याच्या काठाला लागलेले लहान नाणेही एका बिंदूत भेटते. ही स्पर्शी वर्तुळे.
एकमेकांना स्पर्श करणाऱ्या दोन वर्तुळांची स्पर्शबिंदूत सामाईक स्पर्शिका असते. ती बाह्य (externally) किंवा अंतर्गत (internally) स्पर्श करतात.
नियम 1 : स्पर्शबिंदू व केंद्रांतील अंतर — स्पर्शबिंदू केंद्रांना जोडणाऱ्या रेषेवर असतो. बाह्य स्पर्श : केंद्रांतील अंतर = r1 + r2. अंतर्गत स्पर्श : अंतर = r1 − r2. त्रिज्या 7 आणि 2 : 9 (बाह्य) किंवा 5 (अंतर्गत).
आकृतीत : आकृतीत स्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रांतील अंतर : त्रिज्यांची बेरीज (बाह्य) किंवा फरक (अंतर्गत).
- सोपे : त्रिज्या 6 आणि 15 अंतर्गत स्पर्श : केंद्रे 9 अंतरावर.
- मध्यम : त्रिज्या 4 ची तीन वर्तुळे एकमेकांना स्पर्श करतात; केंद्रांचा समभुज त्रिकोण, बाजू 8, परिमिती 24.
- परीक्षेसाठी : बाह्य स्पर्श, एक त्रिज्या 5 आणि केंद्रे 17 अंतरावर : दुसरी त्रिज्या 12.
नियम 2 : सामाईक स्पर्शिकेची लांबी — त्रिज्या 4 आणि 9 बाह्य स्पर्श : d = 13. थेट सामाईक स्पर्शिकेची लांबी √(d2 − (9 − 4)2) = √(169 − 25) = 12. बाह्य स्पर्श करणाऱ्या दोन वर्तुळांना 3 सामाईक स्पर्शिका.
- सोपे : त्रिज्या 3 आणि 3 बाह्य स्पर्श : d = 6.
- मध्यम : त्रिज्या 2 आणि 8 बाह्य स्पर्श : d = 10, स्पर्शिका = √(100 − 36) = 8.
- परीक्षेसाठी : दोन वर्तुळे एकमेकांच्या केंद्रातून जातात आणि केंद्रे 12 अंतरावर तर प्रत्येकाची त्रिज्या 12.
बाह्य : त्रिज्या मिळवा. अंतर्गत : वजा करा. स्पर्शबिंदू केंद्ररेषेवर.
अंतर्गत स्पर्शात त्रिज्या मिळवणे. अंतर्गत स्पर्शात वजा करा.
आठवणीची युक्ती : "बाह्य = बेरीज, अंतर्गत = फरक".
फरक ओळखा
| स्पर्श | केंद्रांतील अंतर |
|---|---|
| बाह्य | r1 + r2 |
| अंतर्गत | r1 − r2 |
| त्रिज्या 7, 2 | 9 किंवा 5 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1स्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्ररेषेवर काय असते?
- 2बाह्य स्पर्शात केंद्रांतील अंतर?
- 3अंतर्गत स्पर्शात केंद्रांतील अंतर?
- 4त्रिज्या 5.5 आणि 3.3 बाह्य स्पर्श : d?
- 5त्रिज्या 5.5 आणि 3.3 अंतर्गत स्पर्श : d?
- 6बाह्य स्पर्शी वर्तुळांना किती सामाईक स्पर्शिका?
- 7त्रिज्या 4 आणि 9 बाह्य स्पर्श. सामाईक स्पर्शिकेची लांबी काढा.
- 8त्रिज्या 10 आणि 4 अंतर्गत स्पर्श. d काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1स्पर्शबिंदू.
- 2त्रिज्यांची बेरीज.
- 3त्रिज्यांचा फरक.
- 48.8.
- 52.2.
- 6तीन.
- 712.
- 8d = 6. स्पर्शबिंदू केंद्ररेषेवर, लहान वर्तुळाच्या केंद्राच्या पलीकडे.
वर्तुळाचा कंस
पिझ्झा सरळ रेषेत कापला की एक मोठा आणि एक लहान तुकडा मिळतो. वक्र कडा म्हणजे कंस आणि मधला कोन म्हणजे केंद्रीय कोन.
कंस (arc) म्हणजे वर्तुळाचा भाग. केंद्रीय कोन (central angle) चा शिरोबिंदू केंद्रावर. लहान कंस लघुकंस (minor arc), मोठा विशालकंस (major arc).
नियम 1 : कंसाचे माप — लघुकंस = त्याच्या केंद्रीय कोनाचे माप. विशालकंस = 360° − लघुकंस. अर्धवर्तुळ = 180°. पूर्ण वर्तुळ = 360°. केंद्रीय कोन 80° : लघुकंस 80°, विशालकंस 280°.
आकृतीत : आकृतीत लघुकंसाचे माप त्याच्या केंद्रीय कोनाइतके; विशालकंस = 360° − ते.
- सोपे : केंद्रीय कोन 120° : लघुकंस 120°, विशालकंस 240°.
- मध्यम : m(कंस AB) = 105°, m(कंस BC) = 140° : m(कंस ABC) = 245°, m(कंस AC) = 360° − 245° = 115°.
- परीक्षेसाठी : त्रिज्येइतकी जीवा केंद्रासह समभुज त्रिकोण बनवते, म्हणून लघुकंस 60° आणि विशालकंस 300°.
नियम 2 : एकरूप कंस — फक्त माप समान असणे पुरेसे नाही; एकरूप कंसांना माप आणि त्रिज्या दोन्ही समान हवे. एकरूप कंसांच्या जीवा एकरूप, आणि एकरूप जीवांचे कंस एकरूप. कंस फक्त एकच बिंदू सामाईक असतानाच बेरीज होतात : m(कंस ABC) + m(कंस CDE) = m(कंस ACE).
- सोपे : वर्तुळातील समभुज त्रिकोण तीन 120° चे कंस बनवतो.
- मध्यम : जीवा AB ≅ जीवा CD, म्हणून कंस AB ≅ कंस CD.
- परीक्षेसाठी : वर्तुळात बसवलेल्या आयताच्या समोरच्या बाजू एकरूप जीवा, म्हणून कंस PQ ≅ कंस SR.
लघुकंस = केंद्रीय कोन. विशालकंस = 360° − लघुकंस.
फक्त माप समान आहे म्हणून कंस एकरूप म्हणणे. त्रिज्याही समान हव्यात.
आठवणीची युक्ती : "लघुकंस = कोन; विशाल = 360 − कोन".
फरक ओळखा
| कंस | माप |
|---|---|
| लघु | = केंद्रीय कोन |
| विशाल | 360° − लघु |
| अर्धवर्तुळ | 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्रीय कोन म्हणजे काय?
- 2अर्धवर्तुळाचे माप?
- 3केंद्रीय कोन 65° : विशालकंस?
- 4m(कंस AB) = 95°, m(कंस BC) = 130°. m(कंस ABC) काढा.
- 5समान जीवा कोणते कंस बनवतात?
- 6m(कंस BC) = 140° तर m(कंस BAC)?
- 7वर्तुळातील समभुज ΔQRS : m(कंस QRS)?
- 8m(कंस ABC) आणि m(कंस BCE) जोडून m(कंस ABE) का मिळत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1ज्याचा शिरोबिंदू केंद्रावर असतो असा कोन.
- 2180°.
- 3295°.
- 4225°.
- 5एकरूप कंस.
- 6220°.
- 7240°.
- 8त्यांचे अनेक बिंदू सामाईक आहेत.
अंतर्लिखित कोन आणि चक्रीय चौकोन
गोल रंगमंचाच्या काठावर वेगवेगळ्या जागी उभे राहिलो तरी, एकाच बाजूला राहिल्यास तेच दोन दिवे त्याच कोनात दिसतात. हीच अंतर्लिखित कोनाची कल्पना.
अंतर्लिखित कोन (inscribed angle) चा शिरोबिंदू वर्तुळावर असतो. तो त्याने छेदलेल्या कंसाच्या निम्मा असतो. चक्रीय चौकोन (cyclic quadrilateral) चे चारही शिरोबिंदू वर्तुळावर असतात.
नियम 1 : अंतर्लिखित कोन प्रमेय — अंतर्लिखित कोन = 12 × छेदलेला कंस = त्या कंसावरील केंद्रीय कोनाचा 12. कंस 84° : अंतर्लिखित कोन 42°. अंतर्लिखित कोन 36° : कंस 72°. एकाच कंसावरील कोन समान. अर्धवर्तुळातील कोन = 90°.
आकृतीत : आकृतीत अंतर्लिखित कोन तो छेदत असलेल्या कंसाच्या निम्मा.
- सोपे : केंद्रीय कोन 100° वरून अंतर्लिखित कोन 50°.
- मध्यम : ΔABC मध्ये AB व्यास आणि ∠A = 35° : ∠C = 90°, ∠B = 55°.
- परीक्षेसाठी : ∠ACB = 65° कंस ACB मध्ये अंतर्लिखित : छेदलेला कंस 130°, म्हणून m(कंस ACB) = 360° − 130° = 230°.
नियम 2 : चक्रीय चौकोन — चक्रीय चौकोनाचे समोरचे कोन पूरक : ∠A + ∠C = 180° आणि ∠B + ∠D = 180°. ∠A = 75° तर ∠C = 105°. बाह्य कोन = समोरचा अंतर्गत कोन. विरुद्ध : समोरच्या कोनांची बेरीज 180° असेल तर चौकोन चक्रीय. प्रत्येक आयत चक्रीय.
आकृतीत : आकृतीत चक्रीय चौकोनात समोरच्या कोनांची बेरीज 180°.
- सोपे : ∠B = 110° वरून ∠D = 70°.
- मध्यम : ∠A = (3x + 10)°, ∠C = (2x + 20)° : 5x + 30 = 180, x = 30, म्हणून ∠A = 100° आणि ∠C = 80°.
- परीक्षेसाठी : अंतर्गत ∠C = 105° म्हणजे C वरील बाह्य कोन 75° = ∠A.
नियम 3 : जीवा व छेदिकांमधील कोन — आत छेदणाऱ्या जीवा : कोन = 12 (दोन छेदलेल्या कंसांची बेरीज). कंस 40° आणि 80° : 60°. बाहेर भेटणाऱ्या छेदिका : कोन = 12 (कंसांचा फरक). कंस 100° आणि 30° : 35°.
अंतर्लिखित कोन आणि चक्रीय चौकोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा- सोपे : आतील कंस 50° आणि 70° वरून 12 × 120° = 60°.
- मध्यम : बाहेरील कंस 120° आणि 40° वरून 12 × 80° = 40°.
- परीक्षेसाठी : जीवा WX आणि YZ T मध्ये भेटतात, कंस 44° आणि 68° : ∠ZTX = 12 × 112° = 56°.
अंतर्लिखित कोन = कंसाचा निम्मा. चक्रीय चौकोन : समोरचे कोन 180°.
कोन विशालकंसासमोर असताना लघुकंस वापरणे. कोणता कंस छेदला आहे ते तपासा.
आठवणीची युक्ती : "कोन = कंस ÷ 2; चक्रीय → 180°".
फरक ओळखा
| नियम | निकाल |
|---|---|
| अंतर्लिखित कोन | 12 कंस |
| अर्धवर्तुळातील कोन | 90° |
| चक्रीय चौकोन | समोरचे कोन = 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अंतर्लिखित कोन प्रमेय सांगा.
- 2अर्धवर्तुळातील कोन?
- 3कंस 110° : अंतर्लिखित कोन?
- 4चक्रीय चौकोनाचा ∠A = 80°. ∠C काढा.
- 5आयत चक्रीय आहे का? का?
- 6चक्रीय MRPN चे ∠R = (5x − 13)° आणि ∠N = (4x + 4)°. दोन्ही काढा.
- 7जीवा त्रिज्येइतकी. विशालकंसावरील अंतर्लिखित कोन काढा.
- 8चक्रीय चौकोनात 2∠A = 3∠C. ∠C काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1कोन छेदलेल्या कंसाच्या निम्मा.
- 290°.
- 355°.
- 4100°.
- 5होय, समोरचे कोन 90° + 90° = 180°.
- 69x − 9 = 180, x = 21, ∠R = 92°, ∠N = 88°.
- 7केंद्रीय कोन 60°, अंतर्लिखित कोन 30°.
- 8∠A = 1.5∠C, 2.5∠C = 180°, ∠C = 72°.
स्पर्शिका-छेदिका कोन प्रमेय आणि जीवांच्या छेदनाचे प्रमेय
गोल तळ्याबाहेरील बिंदूवरून चेंडू फेकला आणि तो पाण्यावर दोनदा आदळतो, आत शिरताना आणि बाहेर पडताना. बाहेरील बिंदूपासून दोन्ही ठिकाणांपर्यंतच्या अंतरांच्या गुणाकाराला ठराविक नियम असतो.
जीवा AB आणि CD E मध्ये भेटल्यास AE × EB = CE × ED. E मधून स्पर्शिका ET आणि छेदिका EAB असेल तर ET2 = EA × EB.
नियम 1 : स्पर्शिका-जीवा कोन व अंतर्गत जीवा — स्पर्शिका आणि जीवा यांतील कोन = 12 × छेदलेला कंस. कंस 110° : कोन 55°. कोन 40° : कंस 80°. जीवा AB आणि CD आत E मध्ये भेटतात : AE × EB = CE × ED. AE = 6, EB = 4, CE = 3 : ED = 243 = 8.
आकृतीत : आकृतीत छेदणाऱ्या जीवा : AE × EB = CE × ED (नवीन संख्या, प्रमाणात काढलेल्या).
- सोपे : जीवांचे भाग 2 आणि 12, तसेच 4 आणि x : x = 6.
- मध्यम : जीवा PQ = 10 चे E वर असे विभाजन की PE × EQ = 16 : x(10 − x) = 16, x = 2 किंवा 8.
- परीक्षेसाठी : AE × EB = CE × ED का? ΔCAE ~ ΔBDE (AA), म्हणून AEDE = CEBE.
नियम 2 : स्पर्शिका-छेदिका व छेदिका-छेदिका — स्पर्शिका PT = 10 आणि छेदिका PQR, PQ = 4 : PR = 1004 = 25 आणि QR = 21. E मधून दोन छेदिका : EA × EB = EC × ED, EA = 9, EB = 4, EC = 12, ED = 3, दोन्ही 36. स्पर्शिका 15 आणि छेदिकेचा बाह्य भाग 9 : पूर्ण छेदिका = 2259 = 25, जीवा = 16.
आकृतीत : आकृतीत स्पर्शिका-छेदिका : PT2 = PQ × PR.
- सोपे : स्पर्शिका 6, बाह्य भाग 3 : पूर्ण छेदिका = 363 = 12, जीवा 9.
- मध्यम : स्पर्शिका 12, पूर्ण छेदिका 18 : बाह्य भाग = 14418 = 8, जीवा 10.
- परीक्षेसाठी : दोन वर्तुळे X आणि Y मध्ये भेटतात; रेषा XY वरील M पासूनच्या स्पर्शिका P आणि Q ला स्पर्श करतात. PM2 = MX × MY = QM2, म्हणून PM = QM.
आतील जीवा : भाग × भाग. स्पर्शिका² = बाह्य भाग × पूर्ण छेदिका.
बाहेरील बिंदूपासूनची पूर्ण छेदिका न घेता फक्त जीवेची लांबी घेणे.
आठवणीची युक्ती : "भाग×भाग = भाग×भाग; स्पर्श² = बाह्य×पूर्ण".
फरक ओळखा
| प्रसंग | नियम |
|---|---|
| आतील जीवा | AE × EB = CE × ED |
| बाहेरील दोन छेदिका | EA × EB = EC × ED |
| स्पर्शिका + छेदिका | ET2 = EA × EB |
सरावासाठी प्रश्न
- 1छेदणाऱ्या जीवांचा नियम सांगा.
- 2स्पर्शिका-छेदिका नियम सांगा.
- 3AE = 5, EB = 4, CE = 2. ED काढा.
- 4स्पर्शिका 8, बाह्य भाग 4 : पूर्ण छेदिका?
- 5कंस 130° साठी स्पर्शिका-जीवा कोन?
- 6व्यास PQ वर R वर्तुळावर आणि RS ⊥ PQ. PS = 4, SQ = 9. SR काढा.
- 7स्पर्शिका PQ = 12, छेदिका PRS, PR = 8. PS आणि RS काढा.
- 8A मधील छेदिका 100° आणि 40° चे कंस छेदतात. A वरील कोन काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1AE × EB = CE × ED.
- 2ET² = EA × EB.
- 310.
- 416.
- 565°.
- 6SR² = 36, SR = 6.
- 7PS = 18, RS = 10.
- 812 (100° − 40°) = 30°.
झटपट उजळणी
- वर्तुळाच्या बिंदूतील स्पर्शिका त्या बिंदूतील त्रिज्येला लंब असते (आणि वर्तुळावरील बिंदूतून त्रिज्येला लंब असलेली रेषा स्पर्शिका असते); बाह्य बिंदूतील स्पर्शिका खंड एकरूप असतात; तीन एकरेषीय नसलेल्या बिंदूंतून एकच वर्तुळ जाते; स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळांसाठी केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यांची बेरीज (बाह्य) किंवा फरक (अंतर्गत) असते.
- लघु कंसाचे माप त्याच्या केंद्रीय कोनाइतके आणि विशाल कंसाचे माप 360° वजा ते; अंतर्लिखित कोन त्याच्या खंडित कंसाच्या निम्मा, एकाच कंसातील कोन एकरूप आणि अर्धवर्तुळातील कोन 90°; चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन संपूरक असतात.
- स्पर्शिका आणि जीवा यांमधील कोन खंडित कंसाच्या निम्मा; E ला भेटणाऱ्या जीवा किंवा छेदिकांसाठी AE × EB = CE × ED; बाह्य बिंदूतून स्पर्शिका खंड ET आणि छेदिका EAB साठी ET² = EA × EB.