K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 10 · गणित भाग २

धडा २: पायथागोरसचे प्रमेय

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

पायथागोरस त्रिकूट

रोजच्या जीवनातून

सुतार कोपरा तपासायला 3-4-5 दोरीची युक्ती वापरतो : एका बाजूला 3, दुसरीकडे 4 आणि अंतर बरोबर 5. 3, 4, 5 सारख्या काटकोन त्रिकोणाचा नियम पाळणाऱ्या संख्या खास असतात.

सोपी व्याख्या

पायथागोरस त्रिकूट (Pythagorean triplet) म्हणजे तीन नैसर्गिक संख्या ज्यांत सर्वांत मोठीचा वर्ग उरलेल्या दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

नियम 1 : त्रिकूट तपासणे — तिन्ही संख्यांचे वर्ग करा, मग सर्वांत मोठीचा वर्ग = उरलेल्या दोघींच्या वर्गांची बेरीज तपासा. (9, 40, 41) : 81 + 1600 = 1681 = 41², होय. (6, 7, 9) : 36 + 49 = 85 पण 9² = 81, नाही. संख्यांचा क्रम महत्त्वाचा नाही. पटीतही चालते : (3, 4, 5) × 3 = (9, 12, 15), आणि 81 + 144 = 225.

काटकोन त्रिकोणाच्या 6, 8 व 10 बाजूंवरील चौरस; क्षेत्रफळे 36, 64 व 10036641006810चौरसांची क्षेत्रफळे :36 + 64 = 1006² + 8² = 10²(6, 8, 10) हापायथागोरस त्रिकूट

आकृतीत : आकृतीत दोन लहान बाजूंवरील चौरसांची बेरीज कर्णावरील चौरसाइतकी (6, 8, 10).

  • सोपे : (20, 21, 29) : 400 + 441 = 841 = 29², त्रिकूट.
  • मध्यम : (9, 12, 16) : 81 + 144 = 225 पण 16² = 256, त्रिकूट नाही.
  • परीक्षेसाठी : 12/05/13 ही तारीख (12, 5, 13) देते : 144 + 25 = 169 = 13², त्रिकूट.

नियम 2 : त्रिकूटांचे सूत्र — a > b नैसर्गिक संख्यांसाठी (a2 + b2, a2 − b2, 2ab) हे त्रिकूट असते. a = 4, b = 1 : (17, 15, 8), आणि 225 + 64 = 289. a = 3, b = 2 : (13, 5, 12). a = 6, b = 1 : (37, 35, 12), आणि 1225 + 144 = 1369 = 37².

  • सोपे : a = 2, b = 1 वरून (5, 3, 4).
  • मध्यम : a = 5, b = 2 वरून (29, 21, 20).
  • परीक्षेसाठी : a = 7, b = 1 वरून (50, 48, 14); पडताळा 2304 + 196 = 2500.
लक्षात ठेवा

आधी सर्वांत मोठीचा वर्ग करा. सर्वांत मोठीचा वर्ग = इतर दोघींच्या वर्गांची बेरीज.

सामान्य चूक

मोठी आणि एक लहान संख्या यांच्या वर्गांची बेरीज करणे. तपासणी दोन लहान संख्यांनी करायची.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लहान² + लहान² = मोठी²".

फरक ओळखा

त्रिकूटतपासणीनिकाल
(9, 40, 41)81 + 1600 = 1681होय
(6, 7, 9)36 + 49 ≠ 81नाही
(9, 12, 15)81 + 144 = 225होय

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1पायथागोरस त्रिकूट म्हणजे काय?
  2. 2(8, 15, 17) त्रिकूट आहे का?
  3. 3(5, 6, 8) त्रिकूट आहे का?
मध्यम
  1. 4क्रम महत्त्वाचा आहे का?
  2. 5(3, 4, 5) ला 4 ने गुणून त्रिकूट बनवा.
  3. 6a = 5, b = 1 सूत्रात घाला.
आव्हानात्मक
  1. 720/21/29 हे त्रिकूट आहे का? तपासा.
  2. 8(a2 + b2)2 = (a2 − b2)2 + (2ab)2 सिद्ध करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1तीन नैसर्गिक संख्या ज्यांत मोठीचा वर्ग = उरलेल्या दोघींच्या वर्गांची बेरीज.
  2. 264 + 225 = 289 = 17², होय.
  3. 325 + 36 = 61, 8² = 64, नाही.
  4. 4नाही, सर्वांत मोठी नेहमी तपासतात.
  5. 5(12, 16, 20).
  6. 6(26, 24, 10); 576 + 100 = 676.
  7. 7400 + 441 = 841 = 29², होय.
  8. 8उजवी बाजू = a4 − 2a2b2 + b4 + 4a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 = डावी बाजू.

काटकोन त्रिकोणांची समरूपता आणि भूमितीय मध्याचे प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

भिंतीवर फळी टेकवली आहे, काटकोन तयार होतो. कोपऱ्यातून तिरक्या फळीवर लंब टाकला तर आकार दोन लहान त्रिकोणांत विभागतो, जे मोठ्या त्रिकोणासारखेच दिसतात, फक्त लहान.

सोपी व्याख्या

काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील लंब त्रिकोणाचे दोन भाग करतो, जे संपूर्ण त्रिकोणाशी आणि एकमेकांशी समरूप (similar) असतात. तसेच लंब² = कर्णाच्या दोन भागांचा गुणाकार (भूमितीय मध्य, geometric mean).

नियम 1 : समरूप त्रिकोण — ∠B = 90° असलेल्या ΔABC मध्ये BD ⊥ AC असेल तर ΔADB ~ ΔABC (∠A समाईक आणि प्रत्येकी 90°) आणि ΔBDC ~ ΔABC (∠C समाईक). म्हणून ΔADB ~ ΔBDC सुद्धा. तिन्ही त्रिकोणांचा आकार सारखा.

कर्ण AC वर लंब BD असलेला काटकोन त्रिकोण : BD² = AD × DCACDBAD = 4DC = 9BD = 6BD² = AD × DC = 4 × 9 = 36

आकृतीत : आकृतीत कर्णावरील लंब हा दोन भागांचा भूमितीय मध्य : BD² = AD × DC.

  • सोपे : ΔADB, ΔBDC आणि ΔABC या तिन्हींत एक काटकोन असतो.
  • मध्यम : समरूपतेवरून BDAD = DCBD, म्हणून BD² = AD × DC.
  • परीक्षेसाठी : ΔADB ~ ΔBDC का? दोन्ही ΔABC शी समरूप, म्हणून संक्रामकतेने ते एकमेकांशी समरूप.

नियम 2 : भूमितीय मध्य प्रमेय — लंब² = (भाग १) × (भाग २). भाग 4 आणि 25 असतील तर लंब = √100 = 10. PS = 16 आणि SR = 9 असल्यास QS = √144 = 12. QS = 6 आणि PS = 4 असल्यास SR = 364 = 9.

  • सोपे : भाग 2 आणि 18 : लंब = √36 = 6.
  • मध्यम : भाग 5 आणि 20 : लंब = √100 = 10, आणि कर्ण = 25.
  • परीक्षेसाठी : AD = 5, DC = 15, म्हणून AC = 20. AB² = AD × AC = 100, म्हणून AB = 10. BC² = DC × AC = 300, आणि 100 + 300 = 400 = AC².
लक्षात ठेवा

लंब² = कर्णाच्या दोन भागांचा गुणाकार. लंब काटकोनाच्या शिरोबिंदूतून असतो.

सामान्य चूक

कोणत्याही लंबासाठी हे सूत्र वापरणे. ते फक्त काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावरील लंबासाठी चालते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "लंब² = भाग × भाग".

फरक ओळखा

दिलेलेकाढाउत्तर
Parts 4 and 25लंब10
PS = 16, SR = 9QS12
QS = 6, PS = 4SR9

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1तीन समरूप त्रिकोणांची नावे सांगा.
  2. 2भूमितीय मध्य प्रमेय सांगा.
  3. 3भाग 1 आणि 49 : लंब?
मध्यम
  1. 4भाग 3 आणि 12 : लंब?
  2. 5लंब 8, एक भाग 4. दुसरा भाग?
  3. 6लंब 12, कर्णाचे भाग मिळून 25. भाग काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7भाग 9 आणि 16 : दोन्ही भुजा काढा.
  2. 8काटकोनापासूनचा लंब भूमितीय मध्य का असतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1ΔADB, ΔBDC आणि ΔABC.
  2. 2लंब² = कर्णाच्या दोन भागांचा गुणाकार.
  3. 3√49 = 7.
  4. 4√36 = 6.
  5. 5644 = 16.
  6. 6x(25 − x) = 144, म्हणून 9 आणि 16.
  7. 79 × 25 = 225 वरून 15; 16 × 25 = 400 वरून 20.
  8. 8समरूप त्रिकोणांवरून BDAD = DCBD.

पायथागोरस प्रमेय आणि त्याचे व्यस्त

रोजच्या जीवनातून

13 m शिडी भिंतीला टेकवली, पाय 5 m दूर. ती किती उंचीवर पोहोचते? इथे काटकोन त्रिकोण दडला आहे आणि पायथागोरस मोजपट्टीशिवाय उत्तर देतो.

सोपी व्याख्या

पायथागोरस प्रमेय : काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (बाजू)2 + (बाजू)2. त्याचे विरुद्ध प्रमेय (converse) : त्रिकोणात c2 = a2 + b2 असेल तर तो काटकोन त्रिकोण.

नियम 1 : प्रमेयाचा उपयोग — भुजा 20 आणि 21 : कर्ण = √(400 + 441) = √841 = 29. 24 × 7 चा आयत : कर्ण = √(576 + 49) = √625 = 25. शिडी 13 m, पाय 5 m : उंची = √(169 − 25) = √144 = 12 m.

8 m उंच भिंतीला टेकवलेली 10 m शिडी; तिचा पाया भिंतीपासून 6 m दूर8 m6 m ?शिडी 10 mपाया² = 10² − 8²= 100 − 64 = 36पाया = 6 mभिंत

आकृतीत : आकृतीत भिंतीला टेकवलेल्या शिडीवर पायथागोरस प्रमेयाचा उपयोग.

Live आकृती

पायथागोरस प्रमेय आणि त्याचे व्यस्त

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : भुजा 6 आणि 8 वरून कर्ण 10.
  • मध्यम : 10 m शिडीचे टोक 8 m उंचीवर असेल तर पाय भिंतीपासून 6 m.
  • परीक्षेसाठी : दोन मित्र चालतात, एक 9 किमी पूर्वेला आणि एक 12 किमी उत्तरेला. त्यांच्यातील अंतर = √(81 + 144) = √225 = 15 किमी.

नियम 2 : विरुद्ध प्रमेय : काटकोन आहे का? — सर्वांत मोठ्या बाजूची चाचणी करा. बाजू 8, 15, 17 : 64 + 225 = 289 = 17², काटकोन त्रिकोण. बाजू 9, 10, 13 : 81 + 100 = 181 पण 169, काटकोन नाही. बाजू √5, √11, 4 : 5 + 11 = 16, म्हणून काटकोन बाजू 4 च्या समोर.

  • सोपे : 5, 12, 13 काटकोन त्रिकोण (25 + 144 = 169).
  • मध्यम : 7, 8, 11 : 49 + 64 = 113 पण 121, काटकोन नाही.
  • परीक्षेसाठी : काटकोन नेहमी सर्वांत मोठ्या बाजूच्या समोर असतो.
लक्षात ठेवा

कर्ण काटकोनासमोर असतो आणि सर्वांत मोठी बाजू असतो.

सामान्य चूक

कर्ण दिलेला असतानाही वर्ग करून बेरीज करणे. तेव्हा वजाबाकी करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "कर्ण² = बाजू² + बाजू²".

फरक ओळखा

प्रसंगगणितउत्तर
Legs 20, 21√(400 + 441)29
Ladder 13, foot 5√(169 − 25)12 m
Sides 9, 10, 1381 + 100 ≠ 169काटकोन नाही

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1पायथागोरस प्रमेय सांगा.
  2. 2त्याचे विरुद्ध प्रमेय सांगा.
  3. 3भुजा 9 आणि 12 : कर्ण?
मध्यम
  1. 4कर्ण 17, एक भुजा 8 : दुसरी भुजा?
  2. 510, 24, 26 काटकोन त्रिकोण आहे का?
  3. 6आयताची लांबी 16 सेमी, क्षेत्रफळ 192 चौ.सेमी : कर्ण?
आव्हानात्मक
  1. 710 m शिडीचे टोक 7 m उंचीवर आले. पाय भिंतीपासून किती दूर?
  2. 8ΔABC मध्ये AD ⊥ BC. AB² + CD² = BD² + AC² दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1काटकोन त्रिकोणात कर्ण² = इतर दोन बाजूंच्या वर्गांची बेरीज.
  2. 2c² = a² + b² असेल तर त्रिकोण काटकोन.
  3. 315.
  4. 4√(289 − 64) = 15.
  5. 5100 + 576 = 676 = 26², होय.
  6. 6रुंदी 12, कर्ण 20 सेमी.
  7. 7√(100 − 49) = √51 m, सुमारे 7.14 m.
  8. 8AD² = AB² − BD² = AC² − CD², मांडणी बदला.

30°-60°-90° आणि 45°-45°-90° त्रिकोण

रोजच्या जीवनातून

भूमिती पेटीतील सेट स्क्वेअर 30°-60°-90° किंवा 45°-45°-90° त्रिकोण असतो. त्यांच्या बाजूंची गुणोत्तरे ठरलेली असतात, म्हणून एका बाजूवरून बाकीच्या दोन कळतात.

सोपी व्याख्या

30°-60°-90° त्रिकोणात बाजूंचे गुणोत्तर 1 : √3 : 2; 45°-45°-90° त्रिकोणात 1 : 1 : √2.

नियम 1 : 30°-60°-90° प्रमेय — 30° समोरील बाजू = 12 × कर्ण. 60° समोरील बाजू = √32 × कर्ण. कर्ण 20 : लहान बाजू 10, मोठी बाजू 10√3. लहान बाजू 5 : कर्ण 10, मोठी बाजू 5√3. विरुद्ध : एक भुजा कर्णाच्या निम्मी असेल तर तिच्या समोरचा कोन 30°.

30-60-90 त्रिकोण (5, 5√3, 10) आणि 45-45-90 त्रिकोण (5√2, 5√2, 10)55√31030°60°30° – 60° – 90°5√25√21045°45°45° – 45° – 90°दोन्ही त्रिकोणांत कर्ण 10

आकृतीत : आकृतीत कर्ण 10 असलेले विशेष काटकोन त्रिकोण : निम्मा आणि निम्मा × √3, किंवा प्रत्येक भुजा कर्णाच्या 1/√2.

  • सोपे : कर्ण 12 वरून लहान बाजू 6 आणि मोठी बाजू 6√3.
  • मध्यम : मोठी बाजू 9√3 म्हणजे कर्ण 18 आणि लहान बाजू 9.
  • परीक्षेसाठी : बाजू 8 च्या समभुज त्रिकोणाची उंची √32 × 8 = 4√3.

नियम 2 : 45°-45°-90° प्रमेय — प्रत्येक भुजा = 1√2 × कर्ण. कर्ण 4√2 : प्रत्येक भुजा 4. कर्ण 6√2 असलेला चौरस : बाजू 6, परिमिती 24. भुजा x : कर्ण x√2.

  • सोपे : भुजा 5 वरून कर्ण 5√2.
  • मध्यम : कर्ण 14 वरून बाजू 14√2 = 7√2.
  • परीक्षेसाठी : ΔABC मध्ये AD ⊥ BC, ∠B = 60°, ∠C = 45°, AB = 12. ΔABD वरून BD = 6, AD = 6√3. ΔADC वरून DC = 6√3 आणि AC = 6√6. म्हणून BC = 6 + 6√3.
लक्षात ठेवा

30° सर्वांत लहान बाजूसमोर. 1 : √3 : 2 आणि 1 : 1 : √2.

सामान्य चूक

√3 चुकीच्या बाजूवर लावणे. सर्वांत लहान बाजू 30° समोर, √3 असलेली मधली बाजू 60° समोर.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "30-60-90 → 1:√3:2; 45-45-90 → 1:1:√2".

फरक ओळखा

त्रिकोणगुणोत्तर
30°-60°-90°1 : √3 : 2
45°-45°-90°1 : 1 : √2
समभुज, बाजू sउंची = √32 s

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 130°-60°-90° त्रिकोणातील बाजूंचे गुणोत्तर?
  2. 245°-45°-90° त्रिकोणातील बाजूंचे गुणोत्तर?
  3. 330°-60°-90° त्रिकोणात कर्ण 16 : लहान बाजू?
मध्यम
  1. 445°-45°-90° त्रिकोणात भुजा 7 : कर्ण?
  2. 5बाजू 10 च्या समभुज त्रिकोणाची उंची?
  3. 6कर्ण 12√2 असलेल्या चौरसाची बाजू आणि परिमिती?
आव्हानात्मक
  1. 7ΔRST : ∠S = 90°, ∠T = 30°, RT = 20. RS आणि ST काढा.
  2. 8समभुज त्रिकोणाची उंची 3√3. बाजू आणि परिमिती काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11 : √3 : 2.
  2. 21 : 1 : √2.
  3. 38.
  4. 47√2.
  5. 55√3.
  6. 6बाजू 12, परिमिती 48.
  7. 7RS = 10, ST = 10√3.
  8. 8√32s = 3√3, s = 6, परिमिती 18.

पायथागोरस प्रमेयाचा उपयोग आणि अपोलोनियस प्रमेय

रोजच्या जीवनातून

मध्यगा (शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंतची रेषा) अचूक आकृती न काढता काढायला अपोलोनियसच्या नावाचा एक सोपा संबंध वापरतात.

सोपी व्याख्या

अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius theorem) : ΔABC मध्ये M हा BC चा मध्यबिंदू असेल तर AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2.

नियम 1 : लघुकोन व विशालकोन संबंध — ∠C लघुकोन आणि AD ⊥ BC असेल तर AB2 = BC2 + AC2 − 2·BC·DC. 13-14-15 त्रिकोणात (BC = 14, AC = 13, AB = 15) : 225 = 196 + 169 − 28·DC, म्हणून DC = 5. ∠ACB विशालकोन असेल (D हा C च्या पलीकडे) तर AB2 = BC2 + AC2 + 2·BC·CD. BC = 3, AC = 5, CD = 4 : AB2 = 9 + 25 + 24 = 58.

  • सोपे : लघुकोन : BC = 14, AC = 13, DC = 5 वरून AB2 = 225.
  • मध्यम : काटकोन त्रिकोणांनी पडताळा : AD2 = 169 − 25 = 144, AD = 12; BD = 9; 144 + 81 = 225.
  • परीक्षेसाठी : विशालकोन : AD = 3, BD = 7 वरून AB2 = 9 + 49 = 58.

नियम 2 : अपोलोनियस प्रमेयाचा उपयोग — ΔABC मध्ये BC = 12, AM = 5 म्हणजे BM = 6, म्हणून AB2 + AC2 = 50 + 72 = 122. AB2 + AC2 = 178 आणि BC = 16 असल्यास : 178 = 2AM2 + 128, AM = 5. बाजू 7, 9, 8 : बाजू 8 वरील मध्यगेसाठी 130 = 2AM2 + 32, AM = 7. समांतरभुज चौकोनात कर्णांच्या वर्गांची बेरीज = चारही बाजूंच्या वर्गांची बेरीज.

मध्यगा AM = 5 आणि BM = 4 असलेला त्रिकोण; AB² + AC² = 82ABCMAM = 5BM = 4MC = 4अपोलोनियस : AB² + AC² = 2AM² + 2BM²65 + 17 = 2 × 25 + 2 × 16 = 82

आकृतीत : आकृतीत अपोलोनियस प्रमेय संख्यांनी पडताळले.

  • सोपे : AM = 5, BM = 6 वरून AB2 + AC2 = 122.
  • मध्यम : लगतच्या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज 85 आणि एक कर्ण 11 असलेला समांतरभुज चौकोन : 2 × 85 = 170 = 121 + d2, म्हणून d = 7.
  • परीक्षेसाठी : समभुज चौकोनात कर्णांच्या वर्गांची बेरीज = 4 × (बाजू)2.
लक्षात ठेवा

AB² + AC² = 2AM² + 2BM². M मध्यबिंदू, म्हणून BM = BC चा निम्मा.

सामान्य चूक

BM ऐवजी BC वापरणे. सूत्रात BC चा निम्मा BM आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "दोन बाजू² = 2 मध्यगा² + 2 अर्धा पाया²".

फरक ओळखा

दिलेलेकाढाउत्तर
BC = 12, AM = 5AB² + AC²122
AB² + AC² = 178, BC = 16AM5
Sides 7, 9, 8बाजू 8 वरील मध्यगा7

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1अपोलोनियस प्रमेय सांगा.
  2. 2मध्यगा म्हणजे काय?
  3. 3AM = 4, BC = 10 : AB² + AC²?
मध्यम
  1. 4AB² + AC² = 100, BC = 12 : AM?
  2. 5समांतरभुज चौकोनाच्या बाजू 6 आणि 8, एक कर्ण 10 : दुसरा कर्ण?
  3. 6ΔABC : AB = 10, AC = 6, BC = 8. मध्यगा AM काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7AB = AC = 13, BC = 10. AM आणि क्षेत्रफळ काढा.
  2. 8समभुज चौकोनात d12 + d22 = 4s2 दाखवा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1AB² + AC² = 2AM² + 2BM².
  2. 2शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंतची रेषा.
  3. 32 × 16 + 2 × 25 = 82.
  4. 4100 = 2AM² + 72, AM² = 14, AM = √14.
  5. 5200 = 100 + d², d = 10.
  6. 6136 = 2AM² + 32, AM² = 52, AM = 2√13.
  7. 7338 = 2AM² + 50, AM = 12; क्षेत्रफळ = 12 × 10 × 12 = 60.
  8. 8कर्ण काटकोनात दुभागतात, म्हणून (d1/2)² + (d2/2)² = s².

झटपट उजळणी

  • पायथागोरस त्रिकूट : सर्वांत मोठ्या संख्येचा वर्ग इतर दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका, जसे (3, 4, 5), आणि (a² + b², a² − b², 2ab) हे पायथागोरस त्रिकूट आहे. काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावरील लंब दोन त्रिकोण बनवतो जे एकमेकांशी आणि पूर्ण त्रिकोणाशी समरूप असतात, आणि लंबाचा वर्ग कर्णाच्या दोन खंडांच्या गुणाकाराइतका असतो.
  • पायथागोरस प्रमेय : कर्णाचा वर्ग इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका, आणि त्याच्या व्यस्ताने एका बाजूचा वर्ग इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल तर त्रिकोण काटकोन असतो. 30°-60°-90° त्रिकोणात बाजूंचे गुणोत्तर 1 : √3 : 2 आणि 45°-45°-90° त्रिकोणात 1 : 1 : √2.
  • अपोलोनियस प्रमेय : AB² + AC² = 2AM² + 2BM², जिथे M हा BC चा मध्यबिंदू; समांतरभुज चौकोनात कर्णांच्या वर्गांची बेरीज बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते.