धडा १: समरूपता | राज्य मंडळ · इयत्ता 10 · गणित भाग २

दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर

रोजच्या जीवनातून

दोन भूखंड : एक 12 m रुंद आणि 5 m खोल, दुसरा 8 m रुंद आणि 9 m खोल. कोणता मोठा आणि किती? पाया आणि उंचीवरून क्षेत्रफळांची तुलना हीच समरूपतेची पहिली पायरी.

सोपी व्याख्या

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 12 × पाया × उंची. म्हणून दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = (पाया × उंची) चे गुणोत्तर.

नियम 1 : समान उंची किंवा समान पाया — पाया 12, 8 आणि उंची 5, 9 : क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर 60 : 72 = 5 : 6. उंची समान असेल तर क्षेत्रफळे पायांच्या गुणोत्तरात (पाया 7 आणि 21 : 1 : 3). पाया समान असेल तर क्षेत्रफळे उंचींच्या गुणोत्तरात. समान पायावर, समान समांतर रेषांमधील त्रिकोणांची क्षेत्रफळे समान.

आकृतीत : आकृतीत समान उंचीचे त्रिकोण : क्षेत्रफळे पायांच्या गुणोत्तरात.

सोपे : उंची समान, पाया 7 आणि 21 : क्षेत्रफळे 1 : 3.
मध्यम : ΔABC च्या BC वर D, BC = 20, BD = 8, DC = 12 : A(ΔABD) : A(ΔADC) = 8 : 12 = 2 : 3 आणि A(ΔABD) : A(ΔABC) = 8 : 20 = 2 : 5.
परीक्षेसाठी : ΔPQR मध्ये PS ⊥ RQ, QT ⊥ PR, RQ = 10, PS = 8 आणि PR = 16 : क्षेत्रफळ = 12 × 10 × 8 = 40 = 12 × 16 × QT, म्हणून QT = 5.

लक्षात ठेवा

उंची समान → पाया ठरवतात. पाया समान → उंची ठरवतात. मध्यगा क्षेत्रफळाचे दोन समान भाग करते.

सामान्य चूक

गुणोत्तरात 12 आपोआप कापला जातो हे विसरणे. तो कापला जातो, त्याची काळजी करू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "क्षेत्रफळ ∝ पाया × उंची".

फरक ओळखा

अट	क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर
समान उंची	पायांचे गुणोत्तर
समान पाया	उंचींचे गुणोत्तर
दोन्ही वेगळे	पाया × उंचीचे गुणोत्तर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ लिहा.
2उंची समान, पाया 5 आणि 15 : क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर?
3पाया समान, उंची 6 आणि 9 : क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर?

मध्यम

4पाया 9, 10 आणि उंची 5, 6 : क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर?
5BC = 15, BD = 6. A(ΔABD) : A(ΔADC) काढा.
6मध्यगा त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे काय करते?

आव्हानात्मक

7AE = 4 आणि DF = 6 हे समाईक पाया BC वरील लंब. A(ΔABC) : A(ΔDBC) काढा.
8समांतरभुज चौकोनाच्या समान पाया BC वरील ΔABC आणि ΔBDC यांची क्षेत्रफळे समान का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

112 × पाया × उंची.
21 : 3.
32 : 3.
445 : 60 = 3 : 4.
5DC = 9, गुणोत्तर 6 : 9 = 2 : 3.
6दोन समान भाग करते.
74 : 6 = 2 : 3.
8पाया समान आणि उंची समान (समांतर बाजूंमधील).

मूलभूत प्रमाणता प्रमेय आणि त्याचे व्यस्त

रोजच्या जीवनातून

दुकानदार त्रिकोणी फलक त्याच्या तळाच्या कडेला समांतर सरळ रेषेत कापतो. कापलेली रेषा दोन्ही तिरक्या कडांना सारख्या प्रमाणात विभागते. हेच मूलभूत समानुपात प्रमेय.

सोपी व्याख्या

मूलभूत समानुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem, BPT) : त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर रेषा उरलेल्या दोन बाजूंना सारख्या गुणोत्तरात विभागते : PQ ∥ BC तर APPB = AQQC.

नियम 1 : BPT चा उपयोग — ΔABC मध्ये DE ∥ BC, AD = 3, DB = 6, AE = 4 : 36 = 4EC, म्हणून EC = 8. AD : DB = 3 : 5 आणि AC = 24 तर AE = 9 आणि EC = 15. AB ∥ PQ ∥ DC असलेल्या समलंब चौकोनात AP = 10, PD = 15, QC = 18 : BQ = 10 × 1815 = 12.

आकृतीत : आकृतीत मूलभूत समानुपात प्रमेय : बाजूला समांतर रेषा उरलेल्या दोन बाजूंना सारख्या गुणोत्तरात विभागते.

सोपे : AP = 2, PB = 4, AQ = 3 : QC = 6.
मध्यम : AD = 4, DB = 6, AE = x, EC = x + 3 वरून 6x = 4x + 12, x = 6.
परीक्षेसाठी : सिद्धतेची कल्पना : ΔAPQ आणि ΔPQB ची उंची समान; ΔPQB आणि ΔPQC चे क्षेत्रफळ समान (समान पाया PQ, समांतर रेषा PQ आणि BC मधील).

नियम 2 : BPT चे विरुद्ध प्रमेय — रेषा दोन बाजूंना सारख्या गुणोत्तरात विभागत असेल तर ती तिसऱ्या बाजूला समांतर. ΔPQR मध्ये PM = 6, MQ = 9, PN = 8, NR = 12 : 69 = 812 = 23, म्हणून MN ∥ QR. PM = 6, MQ = 9, PN = 8, NR = 14 : समान नाही, म्हणून समांतर नाही.

सोपे : 12 = 24, म्हणून रेषा समांतर.
मध्यम : AB = AC असलेल्या ΔABC मध्ये ∠B आणि ∠C चे दुभाजक AC आणि AB ला D आणि E मध्ये भेटतात. सममितीने AE = AD, म्हणून ED ∥ BC.
परीक्षेसाठी : X हा ΔDEF च्या आत, PQ ∥ DE, QR ∥ EF (P, Q, R हे XD, XE, XF वर) तर XP : PD = XQ : QE = XR : RF, म्हणून PR ∥ DF.

लक्षात ठेवा

समांतर रेषा → उरलेल्या दोन बाजूंवर समान गुणोत्तरे. समान गुणोत्तरे → समांतर.

सामान्य चूक

एका बाजूवर भाग:पूर्ण आणि दुसरीवर भाग:भाग घेणे. दोन्ही बाजूंवर एकाच प्रकारचे गुणोत्तर घ्या.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "समांतर ⇔ समान गुणोत्तर".

फरक ओळखा

विधान	अर्थ
BPT	PQ ∥ BC ⇒ AP/PB = AQ/QC
विरुद्ध	AP/PB = AQ/QC ⇒ PQ ∥ BC
तपासणी	समांतर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1BPT सांगा.
2त्याचे विरुद्ध प्रमेय सांगा.
3DE ∥ BC, AD = 2, DB = 6, AE = 3. EC काढा.

मध्यम

4AD : DB = 3 : 5 आणि AC = 24. AE काढा.
5AP = 4, PB = 6, AQ = 6, QC = 9 असल्यास PQ ∥ BC आहे का?
6समलंब AB ∥ PQ ∥ DC : AP = 15, PD = 12, QC = 14. BQ काढा.

आव्हानात्मक

7विरुद्ध प्रमेयात विरोधाभासाची पद्धत का वापरतात?
8ΔABC मध्ये DE ∥ BC, AD = x, DB = 2x आणि AE = 5. EC काढा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1बाजूला समांतर रेषा उरलेल्या दोन बाजूंना सारख्या गुणोत्तरात विभागते.
2रेषा दोन बाजूंना सारख्या गुणोत्तरात विभागत असेल तर ती तिसऱ्या बाजूला समांतर.
39.
49.
546 = 69, होय.
617.5.
7समांतर नाही असे मानले तर दुसरी समांतर रेषा तेच गुणोत्तर देईल, हे अशक्य.
8x2x = 5EC, EC = 10.

कोनदुभाजक प्रमेय आणि तीन समांतर रेषा

रोजच्या जीवनातून

कागदी त्रिकोण असा घडी घाला की एका कोपऱ्याचा कोन अगदी निम्मा होईल; घडीची रेषा समोरची कड त्या कोपऱ्याच्या दोन कडांच्या गुणोत्तरातच विभागते.

सोपी व्याख्या

कोन दुभाजक प्रमेय (Angle bisector theorem) : त्रिकोणाच्या कोनाचा दुभाजक समोरच्या बाजूला उरलेल्या दोन बाजूंच्या गुणोत्तरात विभागतो : BDDC = ABAC.

नियम 1 : कोन दुभाजक — AB = 9, AC = 6, BC = 10 आणि AD हा ∠A चा दुभाजक : BD : DC = 9 : 6 = 3 : 2, म्हणून BD = 6 आणि DC = 4. ΔLMN मध्ये LM = 8, MN = 12, LN = 15, MT हा ∠M चा दुभाजक : LT : TN = 8 : 12, म्हणून LT = 6 आणि TN = 9. विरुद्ध : ABAC = BDDC तर AD हा ∠A चा दुभाजक.

आकृतीत : आकृतीत कोन दुभाजक प्रमेय : BD : DC = AB : AC.

सोपे : AB = 6, AC = 3, BC = 12 : BD = 8, DC = 4.
मध्यम : AB = 12, AC = 8, BC = 15 : BD = 9, DC = 6.
परीक्षेसाठी : BD = 3, DC = 5, AB = 6 आणि AD ∠A चा दुभाजक : AC = 10.

नियम 2 : तीन समांतर रेषा — तीन समांतर रेषा दोन छेदिकांना सारख्या गुणोत्तरात विभागतात : ABBC = PQQR. AB = 4, BC = 6, PQ = 5 तर QR = 7.5. AC = 5.4, CE = 9, BD = 7.5 तर DF = 7.5 × 95.4 = 12.5.

सोपे : AB = 2, BC = 3, PQ = 4 : QR = 6.
मध्यम : AB = 5, BC = 10, PR = 36 : PQ : QR = 1 : 2, PQ = 12.
परीक्षेसाठी : सिद्धता : PC रेषा m ला D मध्ये छेदते. ΔACP मध्ये BD ∥ AP वरून ABBC = PDDC, आणि ΔCPR मध्ये DQ ∥ CR वरून PDDC = PQQR.

लक्षात ठेवा

दुभाजक → त्या कोपऱ्याच्या दोन बाजूंचे गुणोत्तर. समांतर रेषा छेदिकांना समान गुणोत्तरात विभागतात.

सामान्य चूक

गुणोत्तरात समोरची बाजू घेणे. गुणोत्तर कोनाच्या दोन बाजूंचे असते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "दुभाजक = बाजू : बाजू".

फरक ओळखा

प्रमेय	सूत्र
कोन दुभाजक	BD/DC = AB/AC
तीन समांतर रेषा	AB/BC = PQ/QR
विरुद्ध	दुभाजक

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1कोन दुभाजक प्रमेय सांगा.
2AB = 6, AC = 9, BC = 10. BD काढा.
3AB = 15, AC = 10, BD = 6. DC काढा.

मध्यम

4PR = 15, RQ = 20, PS = 12, RS हा ∠R चा दुभाजक. SQ काढा.
5तीन समांतर रेषांसाठी AB = 4, BC = 6, PQ = 6. QR काढा.
6ΔMNP मध्ये NQ हा ∠N चा दुभाजक, MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5. QP काढा.

आव्हानात्मक

7AB = x, BC = x + 5, AD = x − 2, DC = x + 2 आणि BD हा ∠B चा दुभाजक. x काढा.
86 आणि 8 मधील कोनाचा दुभाजक 12 वाली बाजू समान भागात का विभागत नाही?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1दुभाजक समोरच्या बाजूला उरलेल्या दोन बाजूंच्या गुणोत्तरात विभागतो.
2BD : DC = 2 : 3, BD = 4.
34.
416.
59.
63.5.
7x(x + 2) = (x − 2)(x + 5), x = 10.
8तो 6 : 8 = 3 : 4 गुणोत्तरात विभागतो, 1 : 1 नाही.

त्रिकोणांच्या समरूपतेच्या कसोट्या

रोजच्या जीवनातून

6 m खांबाची सावली 4 m पडते. त्याच वेळी मनोऱ्याची सावली 20 m पडते. मनोरा किती उंच? एकाच आकाराचे पण वेगळ्या मापाचे त्रिकोण हे सोपे करतात.

सोपी व्याख्या

दोन त्रिकोणांचे संगत कोन समान आणि संगत बाजू समप्रमाणात असतील तर ते समरूप (similar). चाचण्या : AA, SAS आणि SSS.

नियम 1 : तीन चाचण्या — AA : दोन कोन समान (∠X = 70°, ∠Y = 50° आणि ∠P = 70°, ∠Q = 50°). SAS : दोन बाजू समप्रमाणात आणि त्यांच्यातील कोन समान (4 : 6 = 6 : 9 = 2 : 3). SSS : तिन्ही बाजू समप्रमाणात (3, 4, 6 आणि 9, 12, 18, गुणोत्तर 1 : 3). समरूपता स्वमित, सममित आणि संक्रामक आहे.

आकृतीत : आकृतीत समरूप त्रिकोणांचा उपयोग : सावलीवरून उंची शोधणे.

Live आकृती

त्रिकोणांच्या समरूपतेच्या कसोट्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोपे : कोन 40°, 60°, 80° आणि 80°, 40°, 60° AA ने समरूप.
मध्यम : खांब 6 m, सावली 4 m; मनोऱ्याची सावली 20 m : 64 = h20, h = 30 m.
परीक्षेसाठी : समलंब AB ∥ DC, AB = 12, DC = 4, OB = 9 : ΔAOB ~ ΔCOD वरून OD = 9 × 412 = 3.

नियम 2 : योग्य चाचणी निवडणे — कोन दिलेले : AA वापरा. दोन बाजू आणि मधला कोन : SAS (कोन समप्रमाण बाजूंच्या मधला हवा). फक्त बाजू : SSS. BP ⊥ AC आणि CQ ⊥ AB असेल तर ΔAPB ~ ΔAQC (AA, ∠A समाईक आणि प्रत्येकी 90°).

सोपे : 3, 4, 6 आणि 9, 12, 18 : SSS, गुणोत्तर 1 : 3.
मध्यम : समान कोन समप्रमाण बाजूंच्या मधले नसतील तर SAS लागू होत नाही.
परीक्षेसाठी : ABCD चे कर्ण Q मध्ये भेटतात, 2QA = QC आणि 2QB = QD : ΔAQB ~ ΔCQD (SAS), म्हणून DC = 2AB.

लक्षात ठेवा

समरूप त्रिकोणांचे कोन समान आणि बाजू समप्रमाणात. संगत शिरोबिंदू एकाच क्रमाने लिहा.

सामान्य चूक

शिरोबिंदू चुकीच्या क्रमाने लिहिणे. ΔABC ~ ΔPQR म्हणजे A ↔ P, B ↔ Q.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "AA, SAS, SSS".

फरक ओळखा

चाचणी	काय लागते
AA	2 समान कोन
SAS	2 समप्रमाण बाजू + मधला कोन
SSS	3 समप्रमाण बाजू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1समरूपतेच्या तीन चाचण्यांची नावे सांगा.
2दोन त्रिकोण केव्हा समरूप असतात?
3∠X = 100°, ∠Y = 30° आणि ∠M = 100°, ∠N = 30°. कोणती चाचणी?

मध्यम

4बाजू 2, 3, 4 आणि 6, 9, 12 : समरूप? गुणोत्तर?
5खांब 8 m आणि 4 m, लहानाची सावली 6 m. मोठ्याची सावली?
6AP ⊥ BC, BQ ⊥ AC, AP = 7, BQ = 8, BC = 12. AC काढा.

आव्हानात्मक

7समलंब AB ∥ DC, AB = 20, DC = 6, OB = 15. OD काढा.
8बाजू 4, 6 आणि 6, 9 पण समान कोन त्यांच्या मधला नाही. समरूप म्हणता येईल का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1AA, SAS, SSS.
2संगत कोन समान आणि संगत बाजू समप्रमाणात.
3AA.
4होय, SSS, गुणोत्तर 1 : 3.
512 m.
6ΔCPA ~ ΔCQB, AC = 12 × 78 = 10.5.
74.5.
8नाही, SAS ला मधला कोन हवा.

समरूप त्रिकोणांची क्षेत्रफळे

रोजच्या जीवनातून

छायाचित्र आणि त्याचे मोठे रूप यांचा आकार एकच. प्रत्येक लांबी दुप्पट केली तर लागणारा कागद दोन पट नाही तर चार पट होतो. क्षेत्रफळ वर्गाप्रमाणे वाढते.

सोपी व्याख्या

समरूप त्रिकोणांसाठी क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = संगत बाजूंच्या वर्गांचे गुणोत्तर : A(ΔABC)A(ΔPQR) = AB²PQ² = BC²QR².

नियम 1 : प्रमेयाचा उपयोग — बाजू 2 : 3 तर क्षेत्रफळे 4 : 9. क्षेत्रफळे 49 आणि 100 तर बाजू 7 : 10. बाजू 3 : 5 आणि लहानाचे क्षेत्रफळ 36 : मोठ्याचे क्षेत्रफळ = 36 × 259 = 100. क्षेत्रफळे 18 आणि 50 आणि लहानाची बाजू 6 : मोठ्याची बाजू 6 × 53 = 10. बाजू 6 आणि 12 च्या समभुज त्रिकोणांची क्षेत्रफळे 1 : 4.

आकृतीत : आकृतीत समरूप त्रिकोणांची क्षेत्रफळे बाजूंच्या वर्गांच्या गुणोत्तरात.

सोपे : बाजू 1 : 4 तर क्षेत्रफळे 1 : 16.
मध्यम : क्षेत्रफळे 16 आणि 25 तर बाजू 4 : 5.
परीक्षेसाठी : PQ ∥ DE, FP : PD = 1 : 2. म्हणून FP : FD = 1 : 3 आणि क्षेत्रफळे 1 : 9. A(ΔPQF) = 8 तर A(ΔFDE) = 72 आणि A(चौकोन DPQE) = 72 − 8 = 64.

लक्षात ठेवा

क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = (बाजूंचे गुणोत्तर)². परत जाण्यासाठी वर्गमूळ घ्या.

सामान्य चूक

क्षेत्रफळांसाठी बाजूंचेच गुणोत्तर घेणे. नेहमी त्याचा वर्ग करा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "क्षेत्रफळ = बाजू²".

फरक ओळखा

बाजूंचे गुणोत्तर	क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर
2 : 3	4 : 9
3 : 5	9 : 25
1 : 4	1 : 16

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे प्रमेय सांगा.
2बाजू 3 : 5 : क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर?
3क्षेत्रफळे 4 : 9 : बाजूंचे गुणोत्तर?

मध्यम

4क्षेत्रफळे 80 आणि 125 : AB/PQ?
5बाजू 2 : 5, लहान क्षेत्रफळ 64 : मोठे क्षेत्रफळ?
6क्षेत्रफळे 225 आणि 81, लहानाची बाजू 12. मोठ्याची संगत बाजू काढा.

आव्हानात्मक

79 × A(ΔPQR) = 16 × A(ΔLMN), QR = 20. MN काढा.
8समलंबाच्या कर्णांनी तयार होणाऱ्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे AB² : CD² गुणोत्तरात का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = संगत बाजूंच्या वर्गांचे गुणोत्तर.
29 : 25.
32 : 3.
445.
564 × 254 = 400.
612 × 159 = 20.
7क्षेत्रफळे 16 : 9, बाजू 4 : 3, MN = 15.
8ΔAPB ~ ΔCPD (AA), म्हणून क्षेत्रफळे समांतर बाजूंच्या वर्गांप्रमाणे.

झटपट उजळणी

समान उंचीच्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात असतात, आणि समान पाया असलेल्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे उंचींच्या प्रमाणात असतात.
BPT : त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर रेषा उरलेल्या दोन बाजूंना समान गुणोत्तरात विभागते (आणि व्यस्तही खरे); त्रिकोणाच्या कोनाचा दुभाजक समोरच्या बाजूला उरलेल्या दोन बाजूंच्या गुणोत्तरात विभागतो.
समरूपतेच्या कसोट्या : कोको (कोकोको), बाकोबा, बाबाबा; समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = संगत बाजूंच्या वर्गांचे गुणोत्तर.