धडा २: वर्गसमीकरणे

नियम 1 : द्विघातीय समीकरण ओळखणे — त्यात एकच चल, सर्व घात पूर्ण संख्या आणि सर्वोच्च घात 2 असतो. x² − 9 = 0 म्हणजे x² + 0x − 9 = 0, यात a = 1, b = 0, c = −9. (x + 3)(x − 4) = 0 सोडवल्यास x² − x − 12 = 0, जे द्विघातीय. पण x³ − 2x + 1 = 0 नाही, कारण सर्वोच्च घात 3.

• सोपे : 2x² − 5x + 1 = 0 मध्ये a = 2, b = −5, c = 1.
• मध्यम : (x + 1)(x + 2) = 0 हे x² + 3x + 2 = 0 होते.
• परीक्षेसाठी : x(x + 5) = 150 वरून x² + 5x − 150 = 0, यात a = 1, b = 5, c = −150.

नियम 2 : मुळे — समीकरण सिद्ध करणाऱ्या x च्या किमती म्हणजे त्याची मुळे (roots). p(a) = 0 असेल तर a हे मूळ आणि (x − a) हा p(x) चा अवयव. x² − 3x − 10 साठी x = 5 वर 25 − 15 − 10 = 0, म्हणून 5 हे मूळ; x = 1 वर 1 − 3 − 10 = −12, म्हणून 1 हे मूळ नाही. x² + kx − 10 = 0 चे x = 2 हे मूळ असेल तर 4 + 2k − 10 = 0, म्हणून k = 3.

आकृतीत : आकृतीत द्विघातीय समीकरणाची मुळे म्हणजे त्याचा आलेख x अक्षाला जिथे भेटतो ते बिंदू.

• सोपे : x = 3 हे x² − 9 = 0 चे मूळ.
• मध्यम : x = 4 हे x² − 3x − 4 = 0 चे मूळ आहे का? 16 − 12 − 4 = 0, होय.
• परीक्षेसाठी : x = 3 हे 2x² − kx + 3 = 0 चे मूळ : 18 − 3k + 3 = 0, म्हणून k = 7.

फरक ओळखा

नियम 1 : अवयव पद्धत — दोन संख्यांचा गुणाकार 0 असेल तर किमान एक संख्या 0. x² − 7x + 10 = (x − 5)(x − 2) = 0 वरून x = 5 किंवा 2. 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) = 0 वरून x = −12 किंवा −3. 4y² = 12y वरून 4y(y − 3) = 0, म्हणून y = 0 किंवा 3. x² = 5 वरून x = √5 किंवा −√5.

• सोपे : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), मुळे 2 आणि 3.
• मध्यम : x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3), मुळे −4 आणि 3.
• परीक्षेसाठी : 3x² − 2x = 0 वरून x(3x − 2) = 0, म्हणून x = 0 किंवा 23.

नियम 2 : वर्ग पूर्ण करणे — x² + 6x + 1 = 0 : 9 मिळवा आणि वजा करा : (x + 3)² − 8 = 0, म्हणून x + 3 = ±2√2 आणि x = −3 ± 2√2. x² − 8x − 20 = 0 : (x − 4)² = 36, म्हणून x = 4 ± 6, म्हणजे 10 किंवा −2. x² चा सहगुणक 1 नसेल तर आधी भागा : 2x² + 4x − 6 = 0 चे x² + 2x − 3 = 0, (x + 1)² = 4, x = 1 किंवा −3.

आकृतीत : आकृतीत वर्ग पूर्ण करणे क्षेत्रफळांच्या रूपात : हरवलेला कोपऱ्याचा चौरस (9) मिळून (x + 3)² होतो.

• सोपे : x² + 2x + 1 = (x + 1)², म्हणून x² + 2x पूर्ण करण्यासाठी 1 मिळवा.
• मध्यम : x² + 10x चा (x + 5)² होण्यासाठी 25 लागतात.
• परीक्षेसाठी : x² − 4x − 1 = 0 : (x − 2)² = 5, म्हणून x = 2 ± √5.

नियम 3 : सूत्र — ax² + bx + c = 0 साठी x = −b ± √(b² − 4ac)2a. x² − 5x + 6 = 0 : b² − 4ac = 25 − 24 = 1, x = 5 ± 12 = 3 किंवा 2. 2x² + 3x − 2 = 0 : 9 + 16 = 25, x = −3 ± 54 = 12 किंवा −2. x² + 4x + 1 = 0 : 16 − 4 = 12, x = −4 ± 2√32 = −2 ± √3. x² − x − 6 = 0 चे तिन्ही पद्धतींनी 3 आणि −2.

• सोपे : x² − 7x + 12 = 0 मध्ये a = 1, b = −7, c = 12.
• मध्यम : त्याचा b² − 4ac = 49 − 48 = 1, म्हणून x = 7 ± 12 = 4 किंवा 3.
• परीक्षेसाठी : x² + x + 1 = 0 मध्ये b² − 4ac = 1 − 4 = −3, म्हणून वास्तव मुळे नाहीत.

फरक ओळखा

नियम 1 : मुळांचे स्वरूप — Δ > 0 तर मुळे वास्तव आणि असमान. Δ = 0 तर मुळे वास्तव आणि समान. Δ < 0 तर मुळे वास्तव नाहीत. x² + x − 6 = 0 : Δ = 1 + 24 = 25 > 0, वास्तव असमान. x² + 6x + 9 = 0 : Δ = 36 − 36 = 0, वास्तव समान. 2x² − 3x + 5 = 0 : Δ = 9 − 40 = −31 < 0, वास्तव नाहीत.

आकृतीत : आकृतीत विवेचक सांगतो की आलेख x अक्षाला किती वेळा भेटतो.

• सोपे : x² − 4x + 4 = 0 मध्ये Δ = 16 − 16 = 0.
• मध्यम : x² + 3x + 5 = 0 मध्ये Δ = 9 − 20 = −11, म्हणून वास्तव मुळे नाहीत.
• परीक्षेसाठी : 3x² − 5x + 1 = 0 मध्ये Δ = 25 − 12 = 13 > 0, वास्तव आणि असमान.

नियम 2 : मुळांच्या स्वरूपावरून अज्ञात काढणे — मुळे समान असण्यासाठी Δ = 0 मांडा. x² + kx + 9 = 0 : k² − 36 = 0, म्हणून k = ±6. 2x² + kx + 8 = 0 : k² − 64 = 0, म्हणून k = ±8. kx² − 12x + 9 = 0 : 144 − 36k = 0, म्हणून k = 4. x² + kx + k = 0 : k² − 4k = 0, म्हणून k = 0 किंवा 4.

• सोपे : x² + kx + 4 = 0 ची मुळे समान असतील तर k² = 16, k = ±4.
• मध्यम : kx² − 4x + 1 = 0 : 16 − 4k = 0, k = 4.
• परीक्षेसाठी : वास्तव मुळांसाठी Δ ≥ 0 : x² + 4x + k = 0 साठी 16 − 4k ≥ 0, म्हणून k ≤ 4.

फरक ओळखा

नियम 1 : बेरीज आणि गुणाकार — 2x² + 8x + 3 = 0 साठी : α + β = −82 = −4 आणि αβ = 32. x² − 9x + 14 = 0 साठी : बेरीज 9 आणि गुणाकार 14 (मुळे 2 आणि 7). उपयुक्त : α² + β² = (α + β)² − 2αβ. x² + 4x − 3 = 0 साठी : 16 + 6 = 22. x² − 11x + k = 0 च्या मुळांचा फरक 3 असेल तर : α + β = 11, α − β = 3, म्हणून α = 7, β = 4 आणि k = 28.

• सोपे : x² − 6x + 5 = 0 : बेरीज 6, गुणाकार 5.
• मध्यम : 3x² + 6x − 9 = 0 : बेरीज −2, गुणाकार −3.
• परीक्षेसाठी : x² + 4x − 3 = 0 : α² + β² = (−4)² − 2(−3) = 22.

नियम 2 : मुळांवरून समीकरण बनवणे — α आणि β मुळे असलेले समीकरण x² − (α + β)x + αβ = 0. मुळे 4 आणि −1 : बेरीज 3, गुणाकार −4, म्हणून x² − 3x − 4 = 0. मुळे 2 आणि 6 : x² − 8x + 12 = 0. मुळे 3 + √2 आणि 3 − √2 : बेरीज 6, गुणाकार 9 − 2 = 7, म्हणून x² − 6x + 7 = 0. x² − 3kx + (k + 3) = 0 च्या मुळांची बेरीज गुणाकाराच्या दुप्पट असेल तर : 3k = 2(k + 3), म्हणून k = 6.

आकृतीत : आकृतीत मुळांवरून द्विघातीय समीकरण : x² − (बेरीज)x + (गुणाकार) = 0.

• सोपे : मुळे 1 आणि 5 वरून x² − 6x + 5 = 0.
• मध्यम : मुळे 0 आणि 4 वरून x² − 4x = 0.
• परीक्षेसाठी : बेरीज 6 आणि गुणाकार 5 वरून x² − 6x + 5 = 0, ज्याची मुळे 1 आणि 5.

फरक ओळखा

नियम 1 : भूमिती आणि संख्या — काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 13 सेमी आणि एक भुजा दुसरीपेक्षा 7 सेमी मोठी. x² + (x + 7)² = 169 वरून x² + 7x − 60 = 0, (x + 12)(x − 5) = 0. x = −12 नाकारा; x = 5, म्हणून भुजा 5 सेमी आणि 12 सेमी. दोन क्रमागत नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार 156 : x(x + 1) = 156, x² + x − 156 = 0, (x + 13)(x − 12) = 0, म्हणून 12 आणि 13. बागेची लांबी रुंदीपेक्षा 3 m जास्त आणि क्षेत्रफळ 180 m² : x² + 3x − 180 = 0, (x + 15)(x − 12) = 0, म्हणून रुंदी 12 m आणि लांबी 15 m.

आकृतीत : आकृतीत उपयोजनाच्या पायऱ्या; ऋण लांबी, वय किंवा वेग नेहमी नाकारतात.

• सोपे : दोन क्रमागत संख्यांचा गुणाकार 20 : x(x + 1) = 20 वरून 4 आणि 5.
• मध्यम : बाग पडताळा : 12 × 15 = 180.
• परीक्षेसाठी : त्रिकोण पडताळा : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

नियम 2 : वेग आणि वेळ — बस 120 किमी जाते. तिचा वेग 10 किमी/तास जास्त असता तर 1 तास कमी लागला असता. वेग x : 120x − 120(x + 10) = 1. x(x + 10) ने गुणा : 120(x + 10) − 120x = x(x + 10), म्हणून x² + 10x − 1200 = 0, (x + 40)(x − 30) = 0. x = −40 नाकारा; वेग 30 किमी/तास. पडताळा : 120 ÷ 30 = 4 तास आणि 120 ÷ 40 = 3 तास.

• सोपे : वेळ = अंतर ÷ वेग.
• मध्यम : ताशी 30 किमी ने 120 किमी ला 4 तास.
• परीक्षेसाठी : −40 का नाकारतो? वेग ऋण असू शकत नाही.

फरक ओळखा