K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 10 · गणित भाग १

धडा ३: अंकगणिती श्रेढी

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

श्रेढी

रोजच्या जीवनातून

बसमधील आसने 1, 2, 3, ... अशी क्रमांकित असतात आणि प्रत्येक प्रवाशाची जागा ठरलेली असते. प्रार्थनेसाठी रांगेत उभे विद्यार्थ्यांनाही पहिली, दुसरी अशी जागा असते. अशा ठरावीक क्रमाने मांडलेल्या संख्यांना श्रेढी (sequence) म्हणतात.

सोपी व्याख्या

श्रेढी (sequence) म्हणजे ठरावीक क्रमातील संख्यांची यादी. तिची पदे t1, t2, t3, ..., tn, ... असतात, जिथे tn हे n व्या स्थानावरचे पद.

नियम 1 : पदे आणि संकेतचिन्हे — श्रेढी {tn} अशी लिहितात. ती अनंत असेल तर प्रत्येक धन पूर्णांक n साठी एक पद tn असते. 3, 6, 9, 12, ... मध्ये t1 = 3, t2 = 6, t4 = 12. 1, 4, 9, 16, 25, ... मध्ये n व्या स्थानाचे पद n2 आहे, म्हणून t6 = 36.

  • सोपे : 5, 10, 15, 20, ... मध्ये t3 = 15.
  • मध्यम : 1, 8, 27, 64, ... (घन) मध्ये 5 वे पद 53 = 125.
  • परीक्षेसाठी : tn = 3n + 1 असेल तर t1 = 4, t2 = 7, t3 = 10 आणि t10 = 31.

नियम 2 : नियम असलेल्या श्रेढी — 4, 17, −2, 0, 9, ... ही यादीही श्रेढी आहे, पण तिच्या पदांमध्ये कोणताही नियम नाही. सर्वसाधारणपणे पुढचे पद ठरवणारा नियम असलेल्या श्रेढीच अभ्यासतो, जसे 4, 8, 12, 16, ... किंवा 2, 4, 8, 16, ... किंवा 12, 13, 14, 15, ...

  • सोपे : 2, 4, 6, 8, ... मध्ये नियम "2 मिळवा".
  • मध्यम : 3, 6, 12, 24, ... मध्ये नियम "2 ने गुणा".
  • परीक्षेसाठी : 12, 13, 14, ... ची पुढील दोन पदे 15 आणि 16.
लक्षात ठेवा

tn म्हणजे n व्या स्थानाचे पद. क्रम महत्त्वाचा.

सामान्य चूक

tn ला t × n समजणे. ते n व्या पदाचे नाव आहे.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "स्थान n = पद tn".

फरक ओळखा

श्रेढीनियमt5
3, 6, 9, ...3 मिळवा15
2, 4, 8, ...2 ने गुणा32
1, 4, 9, ...n225

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1श्रेढी म्हणजे काय?
  2. 2tn काय दर्शवते?
  3. 37, 14, 21, 28, ... मध्ये t2 काढा.
मध्यम
  1. 45, 10, 15, 20 चे पुढचे पद?
  2. 52, 4, 8, 16 चे पुढचे पद?
  3. 6tn = 2n − 1. t5 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7tn = n2 + 1. पहिली तीन पदे लिहा.
  2. 8नियम असलेल्या श्रेढीच का अभ्यासतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1ठरावीक क्रमाने मांडलेल्या संख्या.
  2. 2n व्या स्थानाचे पद.
  3. 314.
  4. 425.
  5. 532.
  6. 69.
  7. 72, 5, 10.
  8. 8तेव्हाच पुढची पदे सांगता येतात.

समांतर श्रेढी

रोजच्या जीवनातून

सायकल सहलीत पहिल्या दिवशी 5 किमी, दुसऱ्या दिवशी 8 किमी, तिसऱ्या दिवशी 11 किमी, रोज 3 किमी जास्त. "सारखीच संख्या मिळवत जाणे" हा A.P. चा गाभा.

सोपी व्याख्या

प्रत्येक n साठी tn+1 − tn सारखेच असेल तर ती समांतर श्रेढी (Arithmetic Progression, A.P.) आणि तो स्थिर फरक सामाईक फरक (common difference) d.

नियम 1 : सामाईक फरक — d धन, ऋण किंवा शून्य असू शकतो. 7, 10, 13, 16, ... मध्ये d = 3. 50, 45, 40, 35, ... मध्ये d = −5. 6, 6, 6, 6, ... मध्ये d = 0. d काढण्यासाठी कोणत्याही पदाला पुढच्या पदातून वजा करा.

अंकगणिती श्रेढी 3, 7, 11, 15, 19 जिच्यात प्रत्येक पायरीला 4 मिळवला जातो3a+ 47a + d+ 411a + 2d+ 415a + 3d+ 419a + 4dA.P. : प्रत्येक वेळी तीच संख्या मिळवली जाते (d = 4)

आकृतीत : आकृतीत A.P. प्रत्येक पायरीला सारखीच संख्या d मिळवते (येथे d = 4).

  • सोपे : 4, 9, 14, 19 : d = 5, पुढची पदे 24, 29.
  • मध्यम : 20, 17, 14, 11 : d = −3, पुढची पदे 8, 5.
  • परीक्षेसाठी : 12, 1, 32, 2, ... ही A.P. असून d = 12; पुढची पदे 52 आणि 3.

नियम 2 : सामान्य रूप — पहिले पद a आणि सामाईक फरक d असलेली A.P. : a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d), ... येथे t1 = a, t2 = a + d, t3 = a + 2d. a = 5, d = −2 साठी A.P. : 5, 3, 1, −1, ... a = −4, d = 6 साठी : −4, 2, 8, 14, ...

  • सोपे : a = 2, d = 3 वरून 2, 5, 8, 11.
  • मध्यम : a = 10, d = −4 वरून 10, 6, 2, −2.
  • परीक्षेसाठी : 3, 7, 12, 18 ही A.P. आहे का? फरक 4, 5, 6 समान नाहीत, म्हणून नाही.

नियम 3 : A.P. की गुणोत्तर श्रेढी? — सारखीच संख्या मिळवल्यास A.P. मिळते. सारख्याच संख्येने गुणल्यास गुणोत्तर श्रेढी (geometric progression, G.P.) मिळते. खाऊचे पैसे ₹ 10, 20, 30, 40 ही A.P.; ₹ 10, 20, 40, 80 प्रत्येक वेळी दुप्पट होतात, म्हणून G.P. वर्ग 1, 4, 9, 16 यापैकी काहीही नाही. A.P. सांत (वर्षभर साठवलेले ₹ 100, 200, ..., 1200) किंवा अनंत (5 चे पटीतील : 5, 10, 15, ...) असू शकते.

A.P. मध्ये तीच संख्या मिळवतात, G.P. मध्ये तिनेच गुणतातमिळवणे की गुणणे?श्रेढी (मिळवणे)2, 5, 8, 11, ...दर वेळी 3 मिळवाd = 3गुणोत्तर श्रेढी (गुणणे)2, 6, 18, 54, ...दर वेळी 3 ने गुणाही A.P. नाही

आकृतीत : आकृतीत सारखीच संख्या मिळवल्यास A.P. आणि सारख्याच संख्येने गुणल्यास गुणोत्तर श्रेढी मिळते.

  • सोपे : 2, 4, 6, 8 ही A.P.
  • मध्यम : 3, 9, 27, 81 ही G.P. (×3).
  • परीक्षेसाठी : 1, 1, 2, 2, 3, 3 ही A.P. नाही, कारण फरक 0, 1, 0, 1, 0 आहेत.
लक्षात ठेवा

A.P. : प्रत्येक पायरीला सारखा फरक. G.P. : प्रत्येक पायरीला सारखा गुणक.

सामान्य चूक

पुढचे पद मागच्यातून वजा करणे. tn+1 − tn (पुढचे − मागचे) वापरा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "मिळवा = A.P.; गुणा = G.P.".

फरक ओळखा

प्रकारनियमउदाहरण
A.P.d मिळवा7, 10, 13
G.P.r ने गुणा3, 9, 27
दोन्ही नाहीस्थिर नियम नाही1, 4, 9

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A.P. म्हणजे काय?
  2. 211, 15, 19, 23 साठी d काढा.
  3. 330, 26, 22, ... साठी d काढा.
मध्यम
  1. 4a = 6, d = 5 साठी A.P. (4 पदे) लिहा.
  2. 52, 6, 18, 54 ही A.P. आहे का?
  3. 69, 5, 1, ... ची पुढची दोन पदे?
आव्हानात्मक
  1. 71, 3, 6, 10 ही A.P. नाही हे दाखवा.
  2. 832, 12, −12, −32 ही A.P. आहे का? d काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1लागोपाठ पदांचा फरक स्थिर असलेली श्रेढी.
  2. 24.
  3. 3−4.
  4. 46, 11, 16, 21.
  5. 5नाही, ती G.P. (×3).
  6. 6−3, −7.
  7. 7फरक 2, 3, 4 समान नाहीत.
  8. 8होय, d = −1.

A.P. चे n वे पद

रोजच्या जीवनातून

प्रत्येक पायरी 3 सेमी उंच असलेल्या जिन्याची 20 वी पायरी गाठण्यासाठी डोक्यात सर्व 20 पायऱ्या चढत नाही. जमिनीच्या पातळीपासून पायरीची उंची 19 वेळा मिळवतो. n व्या पदाचे सूत्र हेच करते.

सोपी व्याख्या

पहिले पद a आणि सामाईक फरक d असलेल्या A.P. चे n वे पद tn = a + (n − 1)d.

नियम 1 : सूत्र — t2 = a + d = a + (2 − 1)d, t3 = a + 2d = a + (3 − 1)d, म्हणून tn = a + (n − 1)d. a पासून d अगदी (n − 1) वेळा मिळवतो. 4, 7, 10, 13, ... मध्ये a = 4 आणि d = 3, म्हणून t20 = 4 + 19 × 3 = 61.

4, 7, 10, 13, 16, 19 या पट्ट्या : प्रत्येक पट्टी आधीच्या पट्टीत एक d वाढवते4t17t210t313t416t519t6प्रत्येक पायरीला आणखी एक d मिळतो : tₙ = a + (n − 1)dadt₆ = a + 5d = 4 + 5 × 3 = 19

आकृतीत : आकृतीत n वे पद : a पासून सुरू करून d बरोबर (n − 1) वेळा मिळवतो.

  • सोपे : 2, 5, 8, ... : t10 = 2 + 9 × 3 = 29.
  • मध्यम : 15, 13, 11, ... : t12 = 15 + 11 × (−2) = −7.
  • परीक्षेसाठी : 3, 8, 13, ... : tn = 3 + (n − 1) × 5 = 5n − 2, म्हणून t30 = 148.

नियम 2 : संख्या A.P. मध्ये आहे का? किती पदे? — tn ला त्या संख्येबरोबर मांडून n काढा; n नैसर्गिक संख्या हवी. 3, 8, 13, ... मध्ये 98 हे पद आहे का? 3 + (n − 1) × 5 = 98 वरून n = 20, म्हणजे होय, 20 वे पद. 100 आहे का? (n − 1) × 5 = 97 वरून n − 1 = 19.4, म्हणून नाही. 7, 12, 17, ..., 102 मधील पदे : 102 = 7 + (n − 1) × 5, n = 20.

  • सोपे : 3, 6, 9, ..., 45 मधील पदे : 45 = 3 + (n − 1) × 3, n = 15.
  • मध्यम : 5, 11, 17, ... मध्ये 83 हे कितवे पद? 83 = 5 + (n − 1) × 6, n = 14.
  • परीक्षेसाठी : 7 चे दोन अंकी पटीतील 14, 21, ..., 98 : 98 = 14 + (n − 1) × 7, n = 13.

नियम 3 : दोन पदांवरून a व d काढणे — t5 = 19 आणि t9 = 35 असेल तर a + 4d = 19 आणि a + 8d = 35. वजा करा : 4d = 16, d = 4, आणि a = 19 − 16 = 3. म्हणून tn = 3 + (n − 1) × 4 = 4n − 1 आणि t20 = 79.

  • सोपे : a = 10, t2 = 14 वरून d = 4.
  • मध्यम : t3 = 11 आणि t7 = 27 वरून 4d = 16, d = 4, a = 3.
  • परीक्षेसाठी : t6 = 30 आणि t10 = 10 वरून 4d = −20, d = −5, a = 55.
लक्षात ठेवा

tn = a + (n − 1)d. d फक्त (n − 1) वेळा, n वेळा नाही.

सामान्य चूक

a + nd वापरणे. ते tn+1 देते.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "पहिले + (n − 1) × फरक".

फरक ओळखा

बाबसूत्र
n वे पदa + (n − 1)d
पदसंख्याn = l − ad + 1
दोन पदे दिलेलीवजा करून d मिळवा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1tn चे सूत्र लिहा.
  2. 26, 9, 12, ... : t8 काढा.
  3. 340, 35, 30, ... : t9 काढा.
मध्यम
  1. 45, 10, 15, ..., 100 मध्ये किती पदे?
  2. 550 हे 4, 9, 14, ... चे पद आहे का?
  3. 6t4 = 14 आणि t8 = 26. a व d काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7दोन अंकी किती संख्या 6 ने विभाज्य आहेत?
  2. 82, 9, 16, ... मध्ये 261 हे कितवे पद?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1a + (n − 1)d.
  2. 227.
  3. 30.
  4. 420.
  5. 54 + (n − 1) × 5 = 50 वरून n − 1 = 9.2, म्हणून नाही.
  6. 6d = 3, a = 5.
  7. 712, 18, ..., 96 : n = 15.
  8. 8261 = 2 + (n − 1) × 7, n = 38.

A.P. च्या n पदांची बेरीज

रोजच्या जीवनातून

तरुण गाउसला 1 ते 100 बेरीज करायला सांगितले. त्याने 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ... अशा जोड्या केल्या : 50 जोड्या, प्रत्येक 101, म्हणून 50 × 101 = 5050. पहिले आणि शेवटचे पद जोडणे हेच A.P. च्या बेरजेचे रहस्य.

सोपी व्याख्या

A.P. च्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sn = n2 [2a + (n − 1)d] = n2 (पहिले पद + शेवटचे पद).

नियम 1 : गाउसची कल्पना आणि सूत्र — Sn पुढून आणि मागून लिहून मिळवा : 2Sn = n[2a + (n − 1)d]. म्हणून Sn = n2 [2a + (n − 1)d]. शेवटचे पद tn = a + (n − 1)d असल्याने Sn = n2 (a + tn) असेही. योहान कार्ल फ्रेडरिक गाउस (1777 − 1855) हे थोर जर्मन गणितज्ञ.

1 ते 10 संख्यांच्या जोड्या : 1 व 10, 2 व 9 इत्यादी; प्रत्येक जोडीची बेरीज 11 आणि एकूण 55पहिली व शेवटची जोडा : प्रत्येक जोडीची बेरीज 111101129113811471156115 जोड्या × 11 = 55 = 1 + 2 + 3 + ... + 10

आकृतीत : आकृतीत गाउसची जोडीची कल्पना 1 ते 10 साठी : 5 जोड्या, प्रत्येकीची बेरीज 11.

  • सोपे : 1 + 2 + ... + 20 = 20 × 212 = 210.
  • मध्यम : 5, 9, 13, ... : S10 = 5 × (10 + 36) = 230.
  • परीक्षेसाठी : 3 + 7 + 11 + ... + 43 : n = 11 आणि S11 = 112 × (3 + 43) = 253.

नियम 2 : विशेष बेरजा आणि सोप्या युक्त्या — पहिल्या n नैसर्गिक संख्या : n(n + 1)2. पहिल्या n सम संख्या : n(n + 1); 25 सम संख्यांसाठी 25 × 26 = 650. पहिल्या n विषम संख्या : n2; 15 विषम संख्यांसाठी 225. 5 चे दोन अंकी पट : 10, 15, ..., 95; n = 18 आणि S = 9 × 105 = 945. बेरीज 21 आणि गुणाकार 315 असलेली A.P. मधील तीन पदे : a − d, a, a + d घ्या; 3a = 21, a = 7; 7(49 − d2) = 315 वरून d2 = 4, म्हणून पदे 5, 7, 9.

Live आकृती

A.P. च्या n पदांची बेरीज

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : पहिल्या 10 विषम संख्यांची बेरीज 100.
  • मध्यम : a = 4, d = 3, n = 12 : S = 6 × (8 + 33) = 246.
  • परीक्षेसाठी : 5 + 7 + 9 = 21 आणि 5 × 7 × 9 = 315, यावरून तीन पदांचे उत्तर पडताळले.
लक्षात ठेवा

Sn = n ÷ 2 × (पहिले + शेवटचे). n दिलेला नसेल तर आधी n काढा.

सामान्य चूक

n ला (पहिले + शेवटचे) ने गुणताना अर्धे करणे विसरणे. n2 विसरू नका.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "जोड्यांची संख्या × जोडीची बेरीज".

फरक ओळखा

बेरीजउत्तर
1 + 2 + ... + nn(n + 1)2
पहिल्या n सम संख्याn(n + 1)
पहिल्या n विषम संख्याn2

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1जोड्या करून 1 + 2 + ... + 100 कोणी काढले?
  2. 2a आणि d वापरून Sn लिहा.
  3. 31 ते 50 ची बेरीज?
मध्यम
  1. 4पहिल्या 12 विषम संख्यांची बेरीज?
  2. 5पहिल्या 10 सम संख्यांची बेरीज?
  3. 6a = 2, d = 4, n = 8. S8 काढा.
आव्हानात्मक
  1. 76 + 10 + 14 + ... + 50 काढा.
  2. 8A.P. मधील तीन पदांची बेरीज 24 आणि गुणाकार 480 आहे. ती काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1गाउस.
  2. 2n2 [2a + (n − 1)d].
  3. 31275.
  4. 4144.
  5. 5110.
  6. 64 × (4 + 28) = 128.
  7. 7n = 12, S = 6 × 56 = 336.
  8. 8a = 8, 8(64 − d2) = 480, d2 = 4; पदे 6, 8, 10.

A.P. चे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

शिंपी पहिल्या दिवशी 5 शर्ट शिवतो आणि नंतर रोज 2 जास्त. दोन आठवड्यांत किती शर्ट तयार हे रोज मोजण्याऐवजी तो A.P. ची सूत्रे वापरतो.

सोपी व्याख्या

स्थिर वाढ किंवा घट असलेल्या अनेक प्रत्यक्ष परिस्थिती A.P. असतात. a आणि d काढा, मग tn व Sn वापरा.

नियम 1 : उत्पादन आणि बचत — कारखाना दुसऱ्या वर्षी 400 आणि पाचव्या वर्षी 550 खुर्च्या बनवतो, वार्षिक वाढ सारखीच. मग a + d = 400 आणि a + 4d = 550 वरून d = 50 आणि a = 350. 10 व्या वर्षी : 350 + 9 × 50 = 800. 5 वर्षांत : S5 = 52 × (700 + 200) = 2250 खुर्च्या.

पाच महिन्यांची बचत 150, 200, 250, 300, 350 (A.P.) आणि एकूण 1250150t1200t2250t3300t4350t55 महिन्यांची बचत : ₹ 150, 200, 250, ...adS₅ = 5/2 × (150 + 350) = ₹ 1250

आकृतीत : आकृतीत उपयोजन : A.P. मधील मासिक बचत आणि त्यांची एकूण बेरीज.

  • सोपे : बचत ₹ 100, ₹ 120, ₹ 140, ... : a = 100, d = 20.
  • मध्यम : 12 व्या महिन्याची बचत 100 + 11 × 20 = ₹ 320.
  • परीक्षेसाठी : 12 महिन्यांत एकूण 122 × (100 + 320) = ₹ 2520.

नियम 2 : कर्जफेड — एक व्यक्ती ₹ 6000 फेडते : पहिल्या महिन्यात ₹ 1100 आणि पुढे दरमहा ₹ 100 कमी. Sn = n2 [2200 − 100(n − 1)] = 6000 वरून n2 − 23n + 120 = 0, म्हणजे (n − 8)(n − 15) = 0. n = 15 साठी हप्ते ऋण झाले असते (t15 = −300), म्हणून n = 8. पडताळा : t8 = 400 आणि S8 = 4 × 1500 = 6000.

  • सोपे : पहिला हप्ता 1100, दुसरा 1000 : d = −100.
  • मध्यम : t8 = 1100 + 7 × (−100) = 400.
  • परीक्षेसाठी : n = 15 नाकारा, कारण हप्ता ऋण असू शकत नाही.

नियम 3 : रांगा आणि आकार — सभागृहात 20 रांगा; पहिल्या रांगेत 15 आसने आणि पुढच्या प्रत्येक रांगेत 2 जास्त. t20 = 15 + 19 × 2 = 53 आणि S20 = 10 × (15 + 53) = 680 आसने. 20 रांगांत 1, 2, 3, ... झाडे लावल्यास एकूण 20 × 212 = 210.

  • सोपे : दुसऱ्या रांगेत 17 आसने.
  • मध्यम : 10 व्या रांगेत 15 + 9 × 2 = 33 आसने.
  • परीक्षेसाठी : 10 रांगांत 102 × (15 + 33) = 240 आसने.
लक्षात ठेवा

आधी a आणि d काढा. अर्थहीन उत्तरे (ऋण n किंवा ऋण रकमा) नाकारा.

सामान्य चूक

हप्ते ऋण होत असताना n = 15 उत्तर देणे. प्रत्येक मूळ तपासा.

शॉर्टकट

आठवणीची युक्ती : "a, d शोधा → tn किंवा Sn वापरा → अर्थ तपासा".

फरक ओळखा

परिस्थितीad
खुर्च्यांचे उत्पादन35050
मासिक बचत10020
कर्जफेड1100−100

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1गोष्टीत A.P. कशी ओळखतो?
  2. 2बचतकर्ता ₹ 50, ₹ 70, ₹ 90, ... ठेवतो. a व d काय?
  3. 310 व्या महिन्यात किती?
मध्यम
  1. 410 महिन्यांत एकूण?
  2. 5नाट्यगृहात 10 रांगा, 12, 14, 16, ... आसने. 10 व्या रांगेत किती?
  3. 6तिथे एकूण आसने?
आव्हानात्मक
  1. 7वार्षिक उत्पादनात t3 = 600, t7 = 800. a व d काढा.
  2. 8ऋण हप्ते देणारे मूळ का नाकारतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1प्रत्येक वेळी सारखीच वाढ किंवा घट.
  2. 2a = 50, d = 20.
  3. 350 + 9 × 20 = ₹ 230.
  4. 45 × (50 + 230) = ₹ 1400.
  5. 530.
  6. 65 × (12 + 30) = 210.
  7. 7d = 50, a = 500.
  8. 8हप्ता ऋण असू शकत नाही, म्हणून ती किंमत कथेत बसत नाही.

झटपट उजळणी

  • A.P. : tn+1 − tn = d स्थिर आणि tn = a + (n − 1)d.
  • Sn = n2 [2a + (n − 1)d] = n2 (पहिले पद + शेवटचे पद).
  • पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांची बेरीज n(n + 1)2, पहिल्या n सम संख्यांची n(n + 1) आणि पहिल्या n विषम संख्यांची n².