धडा १: दोन चलांतील रेषीय समीकरणे

नियम 1 : रेषीय की नाही? — चल असलेल्या प्रत्येक पदाचा घात 1 हवा. 2x + 3y = 7 हे 2x + 3y − 7 = 0 होते, म्हणून रेषीय. पण xy = 6 आणि x² + y = 3 रेषीय नाहीत, कारण xy आणि x² चा घात 2 आहे.

• सोपे : 5x − 2y = 9 रेषीय आहे.
• मध्यम : 3x = 4y − 12 हे 3x − 4y + 12 = 0 होते.
• परीक्षेसाठी : 2xy + 3 = 0 रेषीय आहे का? नाही, xy पदाचा घात 2.

नियम 2 : एकसामायिक समीकरणे — एकत्र घेतलेली दोन रेषीय समीकरणे म्हणजे एकसामायिक समीकरणे. विलोपन (एक चल काढून टाकणे) किंवा प्रतिस्थापन पद्धतीने सोडवतात. x + y = 10 आणि x − y = 2 : बेरजेने 2x = 12, म्हणून x = 6 आणि y = 4. 3x + 2y = 16 आणि x − y = 2 : x = y + 2 घ्या, म्हणून 5y + 6 = 16, y = 2, x = 4.

• सोपे : x + y = 7 आणि x − y = 1 वरून x = 4, y = 3.
• मध्यम : 2x + y = 11 आणि x − y = 1 : बेरजेने 3x = 12, x = 4, y = 3.
• परीक्षेसाठी : 4x + 3y = 17 आणि 3x + 4y = 18 (सहगुणक आदलाबदल) : बेरजेने x + y = 5; वजाबाकीने x − y = −1; म्हणून x = 2 आणि y = 3.

फरक ओळखा

नियम 1 : रेषा काढणे आणि आलेखाने सोडवणे — किमान 3 किंवा 4 जोड्या काढा (x = 0, मग y = 0 घेतल्यास सोपे बिंदू मिळतात) आणि त्या एकाच रेषेवर आहेत ते तपासा. 2x + y = 6 साठी : (0, 6), (3, 0), (1, 4), (2, 2). रेषा y = 3 ही X-अक्षाला समांतर आणि x = −2 ही Y-अक्षाला समांतर. x + y = 5 आणि x − y = 1 सोडवण्यासाठी दोन्ही रेषा काढा; त्या (3, 2) मध्ये भेटतात, म्हणून x = 3, y = 2.

आकृतीत : आकृतीत एकसामायिक समीकरणांचे उत्तर म्हणजे त्यांच्या रेषा जिथे भेटतात तो बिंदू.

• सोपे : (1, 4) हा 2x + y = 6 वर आहे, कारण 2 + 4 = 6.
• मध्यम : x + y = 5 ही (0, 5) आणि (5, 0) मधून जाते.
• परीक्षेसाठी : रेषा x + y = 5 आणि x − y = 1 (3, 2) मध्ये भेटतात : 3 + 2 = 5 आणि 3 − 2 = 1.

नियम 2 : तीन शक्यता — a₁x + b₁y = c₁ आणि a₂x + b₂y = c₂ साठी : रेषा छेदतात तर एकच उत्तर; समांतर असतील तर उत्तर नाही; एकरूप असतील तर अनंत उत्तरे. x + y = 3 आणि 2x + 2y = 6 एकच रेषा (एकरूप). 3x + 2y = 6 आणि 6x + 4y = 18 समांतर, कारण 36 = 24 = 12 पण 618 = 13.

आकृतीत : आकृतीत छेदणाऱ्या, समांतर आणि एकरूप रेषांमुळे एक, एकही नाही किंवा अनंत उत्तरे मिळतात.

• सोपे : छेदणाऱ्या रेषा एक उत्तर देतात.
• मध्यम : समांतर रेषा उत्तर देत नाहीत.
• परीक्षेसाठी : x + 2y = 4 आणि 3x + 6y = 12 : 13 = 26 = 412, म्हणून रेषा एकरूप.

फरक ओळखा

नियम 1 : सारणिकाची किंमत — ओळी (2, 5) आणि (1, 3) : किंमत = 2 × 3 − 5 × 1 = 1. ओळी (4, 3) आणि (2, 1) : 4 × 1 − 3 × 2 = −2. ओळी (−3, 2) आणि (5, 4) : −12 − 10 = −22.

• सोपे : ओळी (3, 1) आणि (2, 4) : 12 − 2 = 10.
• मध्यम : ओळी (5, −2) आणि (1, 3) : 15 + 2 = 17.
• परीक्षेसाठी : ओळी (6, 3) आणि (4, 2) : 12 − 12 = 0.

नियम 2 : क्रेमरची पद्धत — a₁x + b₁y = c₁ आणि a₂x + b₂y = c₂ साठी : D = a₁b₂ − a₂b₁ (0 नसावा); D_x मध्ये x ची स्तंभ संख्या स्थिरांकांनी बदलतात; D_y मध्ये y ची स्तंभ संख्या स्थिरांकांनी बदलतात. उदाहरण 3x + 2y = 7 आणि x + 4y = 9 : D = 12 − 2 = 10; D_x = 7 × 4 − 9 × 2 = 10; D_y = 3 × 9 − 1 × 7 = 20. म्हणून x = 1 आणि y = 2. पडताळा : 3 + 4 = 7 आणि 1 + 8 = 9.

आकृतीत : आकृतीत क्रेमरची पद्धत : D मध्ये सहगुणक तसेच; D_x आणि D_y मध्ये एक स्तंभ स्थिरांकांनी बदलतात.

• सोपे : x + y = 5 आणि x − y = 1 : D = −2, D_x = −6, D_y = −4, म्हणून x = 3, y = 2.
• मध्यम : 2x − y = 3 आणि x + 3y = 5 : D = 7, D_x = 14, D_y = 7, म्हणून x = 2, y = 1.
• परीक्षेसाठी : 2x + 4y = 6 आणि x + 2y = 5 मध्ये D = 4 − 4 = 0, म्हणून क्रेमरची पद्धत एकमेव उत्तर देऊ शकत नाही.

फरक ओळखा

नियम 1 : x आणि y छेदात असलेली समीकरणे — 2/x + 3/y = 12 आणि 1/x + 1/y = 5. m = 1x, n = 1y घ्या. मग 2m + 3n = 12 आणि m + n = 5. दुसऱ्यावरून m = 5 − n, म्हणून 10 − 2n + 3n = 12, n = 2, m = 3. म्हणून x = 13, y = 12. पडताळा : 2 ÷ 13 = 6, 3 ÷ 12 = 6, बेरीज 12; आणि 3 + 2 = 5.

आकृतीत : आकृतीत नवीन चलांमुळे अपूर्णांकी समीकरणे रेषीय होतात.

• सोपे : 1x = 2 असेल तर x = 12.
• मध्यम : m = 5 आणि n = 4 असेल तर x = 15 आणि y = 14.
• परीक्षेसाठी : x = 0 चालत नाही, कारण 1/x अपरिभाषित.

नियम 2 : x + y आणि x − y छेदात असलेली समीकरणे — 10/(x + y) + 2/(x − y) = 4 आणि 15/(x + y) − 4/(x − y) = −1 सोडवा. a = 1(x + y), b = 1(x − y) घ्या. मग 10a + 2b = 4 आणि 15a − 4b = −1. पहिले दुप्पट : 20a + 4b = 8; मिळवा : 35a = 7, a = 15 आणि b = 1. म्हणून x + y = 5, x − y = 1, यावरून x = 3, y = 2.

• सोपे : a = 15 म्हणजे x + y = 5.
• मध्यम : b = 1 म्हणजे x − y = 1.
• परीक्षेसाठी : पडताळा : 10 ÷ 5 + 2 ÷ 1 = 4 आणि 15 ÷ 5 − 4 ÷ 1 = −1.

फरक ओळखा

नियम 1 : आकार आणि किमती — आयताची परिमिती 50 सेमी आणि लांबी रुंदीपेक्षा 5 सेमी जास्त. l + b = 25 आणि l − b = 5, म्हणून l = 15 सेमी आणि b = 10 सेमी. दोन वह्या आणि तीन पेन ₹ 70 ला; तीन वह्या आणि दोन पेन ₹ 80 ला. 2x + 3y = 70 आणि 3x + 2y = 80 : बेरजेने x + y = 30; वजाबाकीने x − y = 10, म्हणून वही ₹ 20 आणि पेन ₹ 10.

आकृतीत : आकृतीत शाब्दिक उदाहरणाची दोन समीकरणे होतात, ती सोडवून तपासली जातात.

• सोपे : दोन संख्यांची बेरीज 12 आणि फरक 2 : त्या 7 आणि 5.
• मध्यम : आयताचे l + b = 25 आणि l − b = 5, म्हणून l = 15 आणि b = 10.
• परीक्षेसाठी : किमती पडताळा : 2 × 20 + 3 × 10 = 70 आणि 3 × 20 + 2 × 10 = 80.

नियम 2 : अंक आणि नाव — दोन अंकी संख्येच्या अंकांची बेरीज 9 आणि अंक उलटवून झालेली संख्या 27 ने जास्त. दशक x आणि एकक y घेतल्यास : x + y = 9 आणि 9(y − x) = 27, म्हणून y − x = 3. मग y = 6, x = 3 आणि संख्या 36 (63 − 36 = 27). नावेचा वेग x किमी/तास आणि प्रवाहाचा वेग y किमी/तास : प्रवाहाविरुद्ध वेग x − y, प्रवाहाबरोबर वेग x + y. 15 किमी प्रवाहाविरुद्ध आणि 27 किमी प्रवाहाबरोबर 6 तासांत, तसेच 25 किमी प्रवाहाविरुद्ध आणि 18 किमी प्रवाहाबरोबर 7 तासांत गेली तर a = 1(x − y), b = 1(x + y) घ्या : 15a + 27b = 6 आणि 25a + 18b = 7 वरून a = 15, b = 19. म्हणून x − y = 5, x + y = 9, आणि नावेचा वेग 7 किमी/तास व प्रवाहाचा 2 किमी/तास.

• सोपे : अंक 3 आणि 6 यांची बेरीज 9.
• मध्यम : प्रवाहाविरुद्ध वेग = 7 − 2 = 5 किमी/तास; प्रवाहाबरोबर = 9 किमी/तास.
• परीक्षेसाठी : नाव पडताळा : 15 ÷ 5 + 27 ÷ 9 = 6 आणि 25 ÷ 5 + 18 ÷ 9 = 7.

फरक ओळखा