K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 10 · गणित भाग १

धडा ५: संभाव्यता

3 संकल्पना · उत्तरांसह 24 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

यादृच्छिक प्रयोग आणि नमुना अवकाश

रोजच्या जीवनातून

नाणे उडवताना छापा पडेल की काटा हे आधी सांगता येत नाही, पण फक्त दोनच शक्यता असतात हे आधी माहीत असते. फासा टाकताना 1 ते 6 पैकी कोणताही आकडा येऊ शकतो.

सोपी व्याख्या

ज्या प्रयोगात सर्व शक्य निकाल आधी माहीत असतात, पण नेमका कोणता येईल ते सांगता येत नाही आणि प्रत्येक निकालाची शक्यता सारखी असते, त्याला यादृच्छिक प्रयोग म्हणतात. प्रत्येक निकालाला निष्पत्ती म्हणतात. सर्व निष्पत्तींच्या संचाला नमुना अवकाश S म्हणतात आणि त्यातील निष्पत्तींची संख्या n(S). (H = छापा, T = काटा.)

HTn(S) = 2123456n(S) = 66 × 6 = 36

आकृतीत : एका नाण्याचा S = {H, T} म्हणून n(S) = 2 ; एका फाशाचा S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} म्हणून n(S) = 6 ; दोन फाशांचा n(S) = 6 × 6 = 36.

नियम 1 : निष्पत्ती मोजा — n(S) म्हणजे सर्व शक्य निष्पत्तींची एकूण संख्या. प्रयोग वाचून प्रत्येक शक्यता यादीत लिहा आणि मोजा.

Live आकृती

यादृच्छिक प्रयोग आणि नमुना अवकाश

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : एक नाणे उडवले ⇒ S = {H, T}, n(S) = 2.
  • मध्यम : 1 ते 50 क्रमांकांची कार्डे; एक कार्ड काढले ⇒ n(S) = 50.
  • परीक्षेसाठी : पत्त्यांच्या जुडीत 52 कार्डे : 4 प्रकार × प्रत्येकात 13 = 52. लाल 26, काळी 26 आणि चित्र-पत्ते (राजा, राणी, गुलाम) 3 × 4 = 12.

नियम 2 : एकापेक्षा जास्त वस्तू : गुणाकार करा — प्रत्येक वस्तूच्या शक्यतांची संख्या एकमेकांत गुणा. दोनदा उडवलेले नाणे आणि एकाच वेळी उडवलेली दोन नाणी यांचा नमुना अवकाश सारखाच असतो.

  • सोपे : दोन नाणी ⇒ S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4.
  • मध्यम : तीन नाणी ⇒ n(S) = 2 × 2 × 2 = 8.
  • परीक्षेसाठी : एक नाणे आणि एक फासा ⇒ n(S) = 2 × 6 = 12. दोन फासे ⇒ n(S) = 6 × 6 = 36.

नियम 3 : समिती : जोड्या मोजा — n जणांतून 2 जणांची निवड : प्रत्येक जोडी एकदाच मोजा. n × (n − 1) ÷ 2 असे मोजता येते.

  • सोपे : 4 मुलांतून (1, 2, 3, 4) 2 जणांची समिती ⇒ S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, n(S) = 6.
  • मध्यम : 5 जणांतून 2 जण ⇒ n(S) = 5 × 4 ÷ 2 = 10.
  • परीक्षेसाठी : 3 मुले आणि 2 मुली, 2 जणांची समिती : मुलगा-मुलगी 3 × 2 = 6 ; 2 मुले 3 ; 2 मुली 1. एकूण n(S) = 6 + 3 + 1 = 10.
लक्षात ठेवा

n(S) नेहमी सर्व निष्पत्ती मोजून काढा : दोन नाणी म्हणजे 4 आणि दोन फासे म्हणजे 36.

सामान्य चूक

HT आणि TH या वेगळ्या निष्पत्ती आहेत. तसेच (1, 2) आणि (2, 1) वेगळ्या आहेत. त्यांना एक धरू नका.

शॉर्टकट

वस्तू कितीही असोत, n(S) = प्रत्येक वस्तूच्या शक्यतांचा गुणाकार. आठवणीची युक्ती : "वस्तू वाढल्या की गुणाकार" — नाणे 2, फासा 6.

फरक ओळखा

मुद्दानाणीफासे
एक वस्तूn(S) = 2n(S) = 6
दोन वस्तूn(S) = 4n(S) = 36
तीन वस्तूn(S) = 8n(S) = 216
निष्पत्तीचे उदाहरणHT(2, 5)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एका फाशाचा नमुना अवकाश लिहा आणि n(S) सांगा.
  2. 2दोन नाणी उडवली तर n(S) किती?
  3. 31 ते 25 क्रमांकांची कार्डे आहेत. एक कार्ड काढले तर n(S) किती?
मध्यम
  1. 4एक नाणे आणि एक फासा एकत्र टाकले. n(S) किती?
  2. 5तीन नाण्यांचा नमुना अवकाश लिहा.
  3. 62 मुले आणि 2 मुलींतून 2 जणांची समिती करायची आहे. n(S) किती?
आव्हानात्मक
  1. 7दोन फासे टाकले. n(S) किती आणि पहिल्या फाशावर 4 आला असेल तर किती निष्पत्ती शक्य?
  2. 852 पत्त्यांच्या जुडीत चित्र-पत्ते किती आणि त्यांतील काळे किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6.
  2. 22 × 2 = 4.
  3. 3n(S) = 25.
  4. 42 × 6 = 12.
  5. 5S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8.
  6. 64 × 3 ÷ 2 = 6.
  7. 7n(S) = 36. पहिल्यावर 4 : (4, 1) ते (4, 6) म्हणजे 6 निष्पत्ती.
  8. 8चित्र-पत्ते 3 × 4 = 12. काळे 3 × 2 = 6.

घटना

रोजच्या जीवनातून

फासा टाकताना "सम संख्या यावी" अशी अपेक्षा असते. 2, 4, 6 हे निकाल अपेक्षेप्रमाणे आहेत आणि 1, 3, 5 नाहीत.

सोपी व्याख्या

नमुना अवकाशातील ज्या निष्पत्ती दिलेली अट पूर्ण करतात त्यांना अनुकूल निष्पत्ती म्हणतात. अनुकूल निष्पत्तींचा संच म्हणजे घटना. घटना हा S चा उपसंच असतो. घटनांना A, B, C अशी नावे देतात आणि निष्पत्तींची संख्या n(A).

112233445566777777636

आकृतीत : दोन फाशांच्या 36 निष्पत्ती (पंक्ती = पहिला फासा, स्तंभ = दुसरा) : बेरीज 7 असलेल्या 6 निष्पत्ती रंगीत आहेत. n(E) = 6, n(S) = 36.

नियम 1 : घटना संच रूपात लिहा — अट वाचा, S मधील प्रत्येक निष्पत्ती तपासा आणि अट पाळणाऱ्या लिहा. मग n(A) मोजा.

  • सोपे : फासा, A = सम संख्या ⇒ A = {2, 4, 6}, n(A) = 3.
  • मध्यम : फासा, B = मूळ संख्या ⇒ B = {2, 3, 5}, n(B) = 3. (1 ही मूळ संख्या नाही.)
  • परीक्षेसाठी : 1 ते 30 क्रमांकांची कार्डे : A = 5 ने भाग जाणारी ⇒ {5, 10, 15, 20, 25, 30}, n(A) = 6. B = पूर्ण घन ⇒ {1, 8, 27}, n(B) = 3.

नियम 2 : नाणी : "किमान" आणि "फार तर" — किमान म्हणजे त्यापेक्षा कमी नाही ; फार तर म्हणजे त्यापेक्षा जास्त नाही. निष्पत्ती यादीतून अशा निष्पत्ती निवडा.

Live आकृती

घटना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : दोन नाणी, A = किमान एक H ⇒ {HH, HT, TH}, n(A) = 3.
  • मध्यम : तीन नाणी, A = किमान दोन H ⇒ {HHH, HHT, HTH, THH}, n(A) = 4.
  • परीक्षेसाठी : तीन नाणी : B = एकही H नाही ⇒ {TTT}, n(B) = 1. C = फार तर एक T ⇒ {HHH, HHT, HTH, THH}, n(C) = 4.

नियम 3 : दोन फासे : बेरीज आणि अटी — 36 निष्पत्तींच्या सारणीत बेरीज तपासा. बेरीज 7 सर्वांत जास्त वेळा येते (6 निष्पत्ती).

  • सोपे : बेरीज 3 ⇒ {(1, 2), (2, 1)}, n = 2.
  • मध्यम : बेरीज 7 ⇒ 6 निष्पत्ती. बेरीज 12 ⇒ {(6, 6)}, n = 1.
  • परीक्षेसाठी : दोन्हींवर सारखा आकडा ⇒ {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}, n = 6. बेरीज 13 ⇒ अशक्य घटना, n = 0. बेरीज 2 ते 12 ⇒ निश्चित घटना, n = 36.
लक्षात ठेवा

निश्चित घटनेत n(A) = n(S) आणि अशक्य घटनेत n(A) = 0.

सामान्य चूक

"किमान 2 H" मध्ये 2 आणि 3 दोन्ही H येतात. फक्त 2 H घेणे चूक.

शॉर्टकट

बेरीज 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 साठी निष्पत्ती अनुक्रमे 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 आहेत. आठवणीची युक्ती : "अट पूर्ण करणाऱ्या निष्पत्ती मोजा" — सारणी काढली की चूक होत नाही.

फरक ओळखा

मुद्दानिश्चित घटनाअशक्य घटना
n(A)n(S)0
एक फासा : उदाहरणसंख्या 1 ते 6 पैकी एक येणेसंख्या 7 येणे
घडते कानेहमीकधीच नाही
संभाव्यता10

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एक फासा; A = विषम संख्या. A संच रूपात लिहा.
  2. 2दोन नाणी; A = एकही H नाही. A लिहा.
  3. 31 ते 20 क्रमांकांची कार्डे; 4 ने भाग जाणारी कार्डे किती?
मध्यम
  1. 4दोन फासे; बेरीज 5 असलेली घटना लिहा.
  2. 5तीन नाणी; बरोबर दोन H असलेली घटना लिहा.
  3. 6दोन फासे; पहिल्यावर 6 आणि दुसऱ्यावर 3 पेक्षा जास्त. घटना लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7दोन फासे; बेरीज 10 पेक्षा जास्त असलेली घटना किती निष्पत्तींची?
  2. 84 मुले आणि 2 मुली; 2 जणांची समिती. किमान एक मुलगी असलेल्या घटनेत किती निष्पत्ती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1A = {1, 3, 5}, n(A) = 3.
  2. 2A = {TT}, n(A) = 1.
  3. 3{4, 8, 12, 16, 20}, म्हणजे 5.
  4. 4{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}, n = 4.
  5. 5{HHT, HTH, THH}, n = 3.
  6. 6{(6, 4), (6, 5), (6, 6)}, n = 3.
  7. 7{(5, 6), (6, 5), (6, 6)}, म्हणजे 3.
  8. 8n(S) = 6 × 5 ÷ 2 = 15 ; एकही मुलगी नाही 4 × 3 ÷ 2 = 6 ; किमान एक मुलगी 15 − 6 = 9.

संभाव्यता

रोजच्या जीवनातून

आकाशात ढग असले की "कदाचित पाऊस पडेल" असे म्हणतो. गणितात "कदाचित" ला संख्या देतात. ती संख्या म्हणजे संभाव्यता.

सोपी व्याख्या

घटना A ची संभाव्यता P(A) = अनुकूल निष्पत्ती ÷ एकूण निष्पत्ती = n(A) ÷ n(S). ती अपूर्णांक, दशांश किंवा टक्क्यांत लिहितात.

सूत्र : P(A) = n(A) / n(S)

01/211/65/61/4P(A) + P(A′) = 1

आकृतीत : संभाव्यता नेहमी 0 ते 1 मध्ये असते : 0 अशक्य, 1/2 बरोबरीची शक्यता, 1 निश्चित. P(A) + P(A′) = 1.

नियम 1 : n(A) आणि n(S) मोजून भागा — आधी n(S) काढा, मग n(A) आणि P(A) = n(A) ÷ n(S) लिहा. उत्तर शक्य तितके सोपे करा.

  • सोपे : फासा; A = 5 येणे ⇒ P(A) = 1/6.
  • मध्यम : पिशवीत 3 पांढरे आणि 5 काळे चेंडू; एक चेंडू काढला ⇒ n(S) = 8 ; P(पांढरा) = 3/8 ; P(काळा) = 5/8.
  • परीक्षेसाठी : 1 ते 25 क्रमांकांची कार्डे : 3 चे गुणक {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}, n(A) = 8 ⇒ P(A) = 8/25 = 32 %.

नियम 2 : पत्ते आणि दोन फासे — पत्त्यांमध्ये n(S) = 52 आणि दोन फाशांमध्ये n(S) = 36. अनुकूल निष्पत्ती सारणीतून मोजा.

Live आकृती

संभाव्यता

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा
  • सोपे : 52 पत्त्यांतून एक : P(इस्पिक पान) = 13/52 = 1/4.
  • मध्यम : P(राजा) = 4/52 = 1/13. P(चित्र-पत्ता) = 12/52 = 3/13.
  • परीक्षेसाठी : दोन फासे : P(बेरीज 7) = 6/36 = 1/6. P(बेरीज 9 किंवा जास्त) = (4 + 3 + 2 + 1)/36 = 10/36 = 5/18.

नियम 3 : संभाव्यतेची मर्यादा आणि "घटना नाही" — 0 ≤ P(A) ≤ 1. A घडत नाही याची संभाव्यता 1 − P(A) असते.

  • सोपे : अशक्य घटना : P = 0 ÷ n(S) = 0. निश्चित घटना : P = n(S) ÷ n(S) = 1.
  • मध्यम : फासा : P(7 पेक्षा लहान संख्या) = 6/6 = 1 (निश्चित). P(संख्या 7) = 0 (अशक्य).
  • परीक्षेसाठी : पाऊस पडण्याची संभाव्यता 3/10 असेल तर न पडण्याची 1 − 3/10 = 7/10. फासा : P(6 नाही) = 1 − 1/6 = 5/6.
लक्षात ठेवा

0 ≤ P(A) ≤ 1. संभाव्यता कधीही ऋण किंवा 1 पेक्षा मोठी नसते.

सामान्य चूक

दोन फासे असताना n(S) = 6 घेणे चूक. n(S) = 36.

शॉर्टकट

"किमान एक" असे असेल तर : 1 − P(एकही नाही) करा. आठवणीची युक्ती : संभाव्यता = अनुकूल ÷ एकूण ; "अनुकूल वर, एकूण खाली".

फरक ओळखा

मुद्दाघटना AA घडत नाही
अनुकूल निष्पत्तीn(A)n(S) − n(A)
संभाव्यताn(A) / n(S)1 − P(A)
फासा, A = 6 येणे1/65/6
श्रेणी0 ते 10 ते 1

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1नाणे उडवले. P(H) किती?
  2. 2फासा टाकला. P(सम संख्या) किती?
  3. 352 पत्त्यांतून एक काढला. P(लाल पान) किती?
मध्यम
  1. 4पिशवीत 4 लाल आणि 6 निळे चेंडू आहेत. P(निळा) किती?
  2. 5दोन नाणी उडवली. P(किमान एक H) किती?
  3. 6दोन फासे टाकले. P(बेरीज 8) किती?
आव्हानात्मक
  1. 71 ते 40 क्रमांकांची कार्डे. P(मूळ संख्या) किती?
  2. 8फासा; P(4 पेक्षा मोठा आकडा) आणि P(4 किंवा लहान आकडा) किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1P = 1/2.
  2. 23/6 = 1/2.
  3. 326/52 = 1/2.
  4. 46/10 = 3/5.
  5. 53/4.
  6. 6बेरीज 8 साठी 5 निष्पत्ती ⇒ 5/36.
  7. 7मूळ संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 = 12 ⇒ 12/40 = 3/10.
  8. 8{5, 6} ⇒ 2/6 = 1/3 ; दुसरी 1 − 1/3 = 2/3.