धडा ६: सांख्यिकी

आकृतीत : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 ; वारंवारता 3, 5, 8, 4 ; वर्गमध्य 5, 15, 25, 35. स्तंभाची उंची = वारंवारता.

नियम 1 : प्रत्यक्ष पद्धत — प्रत्येक वर्गाचा x काढा, f × x करा, सर्व fx ची बेरीज करा आणि Σf ने भागा : मध्य = Σfx ÷ Σf.

• सोपे : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 ; f = 2, 5, 3 ; x = 5, 15, 25 ⇒ Σf = 10, Σfx = 10 + 75 + 75 = 160 ; मध्य = 160 ÷ 10 = 16.
• मध्यम : वर्ग 0–10 ते 30–40 ; f = 3, 5, 8, 4 ⇒ Σfx = 15 + 75 + 200 + 140 = 430 ; Σf = 20 ; मध्य = 430 ÷ 20 = 21.5.
• परीक्षेसाठी : वर्ग 20–30 ते 60–70 ; f = 4, 6, 10, 6, 4 ; x = 25, 35, 45, 55, 65 ⇒ Σfx = 100 + 210 + 450 + 330 + 260 = 1350 ; Σf = 30 ; मध्य = 45.

नियम 2 : कल्पित मध्य पद्धत — मोठे x असतील तर एक x ला कल्पित मध्य A मानून d = x − A काढा. मध्य = A + Σfd ÷ Σf.

• सोपे : x = 10, 20, 30 ; f = 2, 6, 2 ; A = 20 ⇒ d = −10, 0, 10 ; Σfd = −20 + 0 + 20 = 0 ; मध्य = 20 + 0 ÷ 10 = 20.
• मध्यम : x = 10, 30, 50, 70, 90 ; f = 3, 5, 8, 6, 3 ; A = 50 ⇒ d = −40, −20, 0, 20, 40 ; Σfd = −120 − 100 + 0 + 120 + 120 = 20 ; Σf = 25 ; मध्य = 50 + 20 ÷ 25 = 50.8.
• परीक्षेसाठी : x = 105, 115, 125, 135 ; f = 4, 6, 6, 4 ; A = 120 ⇒ d = −15, −5, 5, 15 ; Σfd = −60 − 30 + 30 + 60 = 0 ; मध्य = 120 + 0 ÷ 20 = 120.

नियम 3 : पायरी विचलन पद्धत — सर्व वर्गांची रुंदी h सारखी असेल तर u = (x − A) ÷ h घ्या. मध्य = A + h × Σfu ÷ Σf.

• सोपे : x = 5, 15, 25 ; f = 3, 4, 3 ; A = 15 ; h = 10 ⇒ u = −1, 0, 1 ; Σfu = −3 + 0 + 3 = 0 ; मध्य = 15 + 10 × 0 ÷ 10 = 15.
• मध्यम : x = 15, 25, 35, 45, 55 ; f = 4, 6, 10, 8, 2 ; A = 35 ; h = 10 ⇒ u = −2, −1, 0, 1, 2 ; Σfu = −8 − 6 + 0 + 8 + 4 = −2 ; Σf = 30 ; मध्य = 35 + 10 × (−2) ÷ 30 ≈ 34.33.
• परीक्षेसाठी : x = 50, 150, 250, 350 ; f = 5, 10, 15, 10 ; A = 250 ; h = 100 ⇒ u = −2, −1, 0, 1 ; Σfu = −10 − 10 + 0 + 10 = −10 ; Σf = 40 ; मध्य = 250 + 100 × (−10) ÷ 40 = 225.

फरक ओळखा

सूत्र : मध्यक = L + (N ÷ 2 − cf) ÷ f × h ; बहुलक = L + (f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂) × h

आकृतीत : वर्ग 0–10 ते 30–40 ; f = 3, 5, 8, 4 ; संचित वारंवारता cf = 3, 8, 16, 20. N ÷ 2 = 10 हे cf = 16 मध्ये येते, म्हणून मध्यक वर्ग 20–30.

नियम 1 : मध्यक : संचित वारंवारता — प्रथम cf लिहा, N ÷ 2 काढा, ज्या वर्गात cf प्रथम N ÷ 2 पेक्षा जास्त किंवा बरोबर होते तो मध्यक वर्ग. L = त्या वर्गाची खालची सीमा, cf = त्याआधीची संचित वारंवारता.

• सोपे : f = 3, 5, 8, 4 (वर्ग 0–10 ते 30–40) ⇒ N = 20, N ÷ 2 = 10 ; मध्यक वर्ग 20–30 ; L = 20, cf = 8, f = 8, h = 10 ⇒ मध्यक = 20 + (10 − 8) ÷ 8 × 10 = 22.5.
• मध्यम : f = 5, 10, 15, 12, 8 (वर्ग 100–120 ते 180–200) ⇒ N = 50, N ÷ 2 = 25 ; cf = 5, 15, 30, 42, 50 ; वर्ग 140–160 ; मध्यक = 140 + (25 − 15) ÷ 15 × 20 ≈ 153.33.
• परीक्षेसाठी : f = 6, 10, 14, 12, 8 (वर्ग 0–5 ते 20–25) ⇒ N = 50, N ÷ 2 = 25 ; cf = 6, 16, 30, 42, 50 ; वर्ग 10–15 ; मध्यक = 10 + (25 − 16) ÷ 14 × 5 ≈ 13.21.

नियम 2 : बहुलक : सर्वात उंच स्तंभ — सर्वात मोठी f असलेला वर्ग बहुलक वर्ग. f₁ = त्याची f, f₀ = आधीच्या वर्गाची f, f₂ = नंतरच्या वर्गाची f.

• सोपे : वर्ग 0–10 ते 30–40 ; f = 3, 5, 9, 4 ⇒ बहुलक वर्ग 20–30 ; f₁ = 9, f₀ = 5, f₂ = 4 ; बहुलक = 20 + (9 − 5) ÷ (18 − 5 − 4) × 10 ≈ 24.44.
• मध्यम : वर्ग 10–20 ते 50–60 ; f = 2, 6, 12, 8, 2 ⇒ वर्ग 30–40 ; f₁ = 12, f₀ = 6, f₂ = 8 ; बहुलक = 30 + (12 − 6) ÷ (24 − 6 − 8) × 10 = 36.
• परीक्षेसाठी : वर्ग 0–50 ते 150–200 ; f = 8, 15, 24, 13 ⇒ वर्ग 100–150 ; f₁ = 24, f₀ = 15, f₂ = 13 ; बहुलक = 100 + (24 − 15) ÷ (48 − 15 − 13) × 50 = 122.5.

नियम 3 : तिघांचे नाते — बहुलक = 3 × मध्यक − 2 × मध्य. दोन किंमती माहीत असतील तर तिसरी काढता येते.

• सोपे : मध्यक 20, मध्य 21 ⇒ बहुलक = 60 − 42 = 18.
• मध्यम : मध्य 45, मध्यक 42 ⇒ बहुलक = 126 − 90 = 36.
• परीक्षेसाठी : बहुलक 12, मध्य 15 ⇒ 12 = 3 × मध्यक − 30 म्हणून मध्यक = 42 ÷ 3 = 14.

फरक ओळखा

आकृतीत : एकूण 360° चे चार भाग : 90°, 120°, 60°, 90° ; बेरीज 90 + 120 + 60 + 90 = 360.

नियम 1 : स्तंभालेख काढा — प्रत्येक वर्गासाठी तेवढ्या रुंदीचा स्तंभ आणि f एवढी उंची. स्तंभांमध्ये फट नाही. सर्वात उंच स्तंभ बहुलक वर्ग दाखवतो.

• सोपे : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 ; f = 4, 7, 5 ⇒ स्तंभांची उंची 4, 7, 5 ; सर्वात उंच स्तंभ 10–20.
• मध्यम : f = 3, 5, 9, 6, 2 (वर्ग 20–30 ते 60–70) ⇒ 5 स्तंभ ; बहुलक वर्ग 40–50 ; सर्व स्तंभांची बेरीज N = 3 + 5 + 9 + 6 + 2 = 25.
• परीक्षेसाठी : वर्ग 0–5, 5–10, 10–15, 15–20 ; f = 2, 8, 6, 4 ⇒ 4 स्तंभ, रुंदी प्रत्येकी 5, उंची 2, 8, 6, 4 ; N = 20.

नियम 2 : वारंवारता बहुभुज — प्रत्येक स्तंभाच्या वरच्या बाजूचा मध्य घ्या. आधी आणि नंतर f = 0 असलेला एक एक वर्ग जोडून ते बिंदू रेषाखंडांनी जोडा.

• सोपे : वर्ग 10–20, 20–30, 30–40 ; f = 4, 7, 5 ⇒ बिंदू (15, 4), (25, 7), (35, 5) ; आधी (5, 0) आणि नंतर (45, 0).
• मध्यम : वर्ग 0–20, 20–40, 40–60 ; f = 6, 9, 3 ⇒ वर्गमध्य 10, 30, 50 ; बिंदू (10, 6), (30, 9), (50, 3) ; शेवटचे बिंदू (−10, 0) आणि (70, 0).
• परीक्षेसाठी : 4 वर्ग असतील तर बहुभुजात 4 + 2 = 6 बिंदू येतात.

नियम 3 : वर्तुळालेखाचे कोन — कोन = (भाग ÷ एकूण) × 360°. सर्व कोनांची बेरीज नेहमी 360° असते.

• सोपे : एकूण 40 पैकी 10 ⇒ कोन = 10 ÷ 40 × 360° = 90°.
• मध्यम : एकूण 60 पैकी 20 ⇒ कोन = 20 ÷ 60 × 360° = 120°.
• परीक्षेसाठी : उत्पन्न 20000 रुपये, अन्नावर 6000 ⇒ कोन = 6000 ÷ 20000 × 360° = 108°.

फरक ओळखा