धडा २: समांतर रेषा व छेदिका (Parallel Lines and Transversal)

• एकाच प्रतलातील ज्या रेषा एकमेकींना छेदत नाहीत, त्यांना समांतर रेषा (parallel lines) म्हणतात. ‘रेषा l ∥ रेषा m’ असे लिहिले की ‘रेषा l ही रेषा m ला समांतर आहे’ असे वाचतात.
• दिलेल्या दोन रेषांना दोन वेगवेगळ्या बिंदूंत छेदणाऱ्या रेषेला त्या रेषांची छेदिका (transversal) म्हणतात.
• छेदिकेमुळे 8 कोन तयार होतात : छेदनबिंदू दोन असल्याने प्रत्येक बिंदूजवळ 4. प्रत्येक कोनाची एक भुजा छेदिकेवर आणि दुसरी दिलेल्या रेषांपैकी एकीवर असते.
• यांपैकी चार कोन दोन रेषांच्या मध्ये (आत) असतात (आंतरकोन, interior angles) आणि चार कोन बाहेर असतात (बाह्यकोन, exterior angles).

• रेषा l ∥ रेषा m. छेदिका t त्यांना M आणि N या दोन वेगळ्या बिंदूंत छेदते आणि 8 कोन तयार होतात.

• l आणि m यांच्यामधील पट्टा रंगवला आहे : c, d, e आणि f हे कोन त्याच्या आत (आंतरकोन) आहेत आणि a, b, g आणि h हे कोन बाहेर (बाह्यकोन) आहेत.

• संगत कोन (corresponding angles) : ज्यांच्या छेदिकेवरील भुजा एकाच दिशेला असतात आणि दुसऱ्या भुजा छेदिकेच्या एकाच बाजूला असतात. अशा 4 जोड्या असतात. धड्याच्या आकृतीत : ∠AMP आणि ∠MNR; ∠PMN आणि ∠RNT; ∠AMQ आणि ∠MNS; ∠QMN आणि ∠SNT.
• आंतरकोन (interior angles) : छेदिकेच्या एकाच बाजूला आणि दिलेल्या रेषांच्या आत असलेले कोन. जोड्या : ∠PMN आणि ∠MNR; ∠QMN आणि ∠MNS.
• व्युत्क्रम कोन (alternate angles) : छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंना असलेले आणि छेदिकेवरील भुजा विरुद्ध दिशांना असलेले कोन. आंतर व्युत्क्रम कोन (interior alternate) : ∠PMN आणि ∠MNS; ∠QMN आणि ∠RNM. बाह्य व्युत्क्रम कोन (exterior alternate) : ∠AMP आणि ∠TNS; ∠AMQ आणि ∠RNT.
• पहिल्या बिंदूजवळील कोन a, b, c, d आणि दुसऱ्या बिंदूजवळील कोन e, f, g, h धरले तर : संगत कोन (a, e), (b, f), (c, g), (d, h); आंतर व्युत्क्रम कोन (d, f), (c, e); बाह्य व्युत्क्रम कोन (a, g), (b, h); आंतरकोन (d, e), (c, f).

• संगत कोन दोन्ही बिंदूंजवळ एकाच स्थानी असतात : (a, e), (b, f), (c, g) आणि (d, h) — प्रत्येक जोडीला एक रंग दिला आहे.

• आंतरकोन t च्या एकाच बाजूला, रेषांच्या मध्ये असतात : जोड्या (d, e) सोनेरी रंगात आणि (c, f) गुलाबी रंगात दाखवल्या आहेत.

• व्युत्क्रम कोन t च्या विरुद्ध बाजूंना असतात : आंतर व्युत्क्रम (d, f) आणि (c, e); बाह्य व्युत्क्रम (a, g) आणि (b, h).

दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदले असता :

• संगत कोनांची प्रत्येक जोडी एकरूप (congruent) असते;
• व्युत्क्रम कोनांची (आंतर आणि बाह्य) प्रत्येक जोडी एकरूप असते;
• आंतरकोनांची प्रत्येक जोडी पूरक (supplementary) असते (बेरीज 180°), उदा. m∠PMN + m∠MNR = 180°.
• कागदी कृती : भाग I आणि भाग II ने दाखवलेले कोन रेषीय जोडी (linear pair) करतात; ∠b ≅ ∠d ≅ ∠f ≅ ∠h आणि ∠a ≅ ∠c ≅ ∠e ≅ ∠g. आठपैकी एक कोन माहीत असला की उरलेले सात काढता येतात.
• विरुद्ध कोन (vertically opposite angles) समान असतात आणि रेषीय जोडीतील कोनांची बेरीज 180° असते.

• लक्षात ठेवायचे आकार (l ∥ m) : F आकारात संगत कोन समान, Z आकारात व्युत्क्रम कोन समान, C आकारात आंतरकोनांची बेरीज 180°.

• आठपैकी एक कोन 65° असेल तर चार कोन 65° (सोनेरी) आणि उरलेले चार कोन 180° − 65° = 115° (गुलाबी) असतात.

• सोडवलेले उदाहरण 1 : AB ∥ PQ, LM छेदिका, m∠MNQ = 70°. पद्धत I : m∠ONP = m∠MNQ = 70° (विरुद्ध कोन); ∠AON आणि ∠ONP आंतरकोन आहेत, म्हणून m∠AON = 180° − 70° = 110°. पद्धत II : m∠NOB = 70° (संगत कोन), म्हणून m∠AON = 180° − 70° = 110°.
• सोडवलेले उदाहरण 2 : m ∥ n, m∠b = (x + 15)°, m∠e = (2x + 15)°. ∠b ≅ ∠f (संगत कोन) आणि ∠f + ∠e = 180° (रेषीय जोडी). म्हणून x + 15 + 2x + 15 = 180, 3x = 150, x = 50°.
• पद्धत : कोनांची जोडी ओळखा, ते कोन समान आहेत की बेरीज 180° आहे ते ठरवा, समीकरण मांडा आणि सोडवा.
• सरावाची उत्तरे : आंतरकोन 3x आणि x → x = 45°.

• उदाहरण 1 : ∠MNQ = 70° आणि ∠ONP हा त्याचा विरुद्ध कोन आहे, म्हणून ∠ONP = 70°. आंतरकोन ∠AON आणि ∠ONP यांची बेरीज 180° असते, म्हणून ∠AON = 110°.

• उदाहरण 2 : b = (x + 15)° आणि e = (2x + 15)°. b = f (संगत कोन) आणि f + e = 180° (रेषीय जोडी) असल्याने 3x + 30 = 180, म्हणून x = 50.

• पद्धत : कोनांची जोडी नाव देऊन ओळखा, ते समान आहेत की बेरीज 180° आहे ते ठरवा, समीकरण लिहा, सोडवा आणि उत्तर तपासा.

• विधानाचे उलट (converse) : एखाद्या छेदिकेने दोन रेषांना छेदले आणि संगत कोनांची जोडी एकरूप असेल, किंवा व्युत्क्रम कोनांची जोडी एकरूप असेल, किंवा आंतरकोनांची जोडी पूरक असेल, तर त्या रेषा समांतर असतात.
• रचना I, पद्धत I (दोन गुण्यां / set-squares) : रेषा l काढा, तिच्या बाहेर बिंदू P घ्या, दोन गुण्या एकमेकींना टेकवून ठेवा; गुण्या A ची एक कडा P जवळ ठेवून गुण्या B च्या कडेवरून रेषा काढा; ही रेषा m ∥ l असते.
• पद्धत II : PM ⊥ l काढा, l वर N घ्या, NQ ⊥ l काढा आणि NQ = MP घ्या; रेषा PQ ∥ l असते.
• रचना II (दिलेल्या अंतरावर समांतर रेषा, उदा. 2.5 सेमी) : l वर A आणि B घ्या, लंब काढा, A आणि B पासून 2.5 सेमी अंतरावर P आणि Q खुणा करा, PQ जोडा. रेषा PQ ∥ l आणि तिच्यापासून 2.5 सेमी अंतरावर असते.

• विधानाचे उलट : संगत कोन 72° आणि 72° समान आहेत, म्हणून l ∥ m. व्युत्क्रम कोन समान असणे किंवा आंतरकोनांची बेरीज 180° असणे यानेही रेषा समांतर असल्याचे सिद्ध होते.

• दोन गुण्या : B स्थिर ठेवा आणि A ला तिच्या कडेवरून रेषा l पासून बिंदू P पर्यंत सरकवा. P मधून A च्या कडेवर काढलेली रेषा m ही l ला समांतर असते.

• समान लंब : PM ⊥ l आणि NQ ⊥ l, PM = NQ = 2.5 सेमी. रेषा PQ ही l ला समांतर असून तिच्यापासून 2.5 सेमी अंतरावर आहे.