K2KARAKORAM
मराठीEnglish
ॲप उघडा

राज्य मंडळ · इयत्ता 8 · गणित

धडा १: परिमेय व अपरिमेय संख्या (Rational and Irrational Numbers)

5 संकल्पना · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English

परिमेय संख्या आणि संख्यारेषा

  • नैसर्गिक संख्या (natural numbers) : 1, 2, 3, … पूर्ण संख्या (whole numbers) : 0, 1, 2, … पूर्णांक (integers) : …, −2, −1, 0, 1, 2, …
  • परिमेय संख्या (rational numbers) : mn या रूपातील संख्या, जिथे m आणि n हे पूर्णांक आहेत आणि n ≠ 0. उदाहरणे : −253, 10−7, −4, 0, 8.
  • प्रत्येक पूर्णांक परिमेय असतो, कारण n = n1. कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांमध्ये अनंत परिमेय संख्या असतात.
  • परिमेय संख्या संख्यारेषेवर दाखवणे : 73 दाखवण्यासाठी शून्याच्या उजवीकडील प्रत्येक एकक 3 समान भागांत (छेदाइतके) विभागा. 73 = 7 × 13, म्हणून शून्यापासून 7 वी खूण; तसेच 73 = 2 + 13.
  • −23 दाखवण्यासाठी आधी 23 दाखवा; तितक्याच अंतरावर 0 च्या डावीकडे असलेला बिंदू −23 दाखवतो.
0123P
  • 73 दाखवण्यासाठी प्रत्येक एकक 3 समान भागांत विभागले आहे. P ही 0 पासून 7 वी खूण आहे, म्हणून P हा 73 = 2 + 13 दाखवतो.
−2−1012AB
  • B हा 23 दाखवतो. 0 च्या डावीकडे तितक्याच अंतरावरील बिंदू A हा −23 दाखवतो.
Rational numbersIntegersWhole numbersNatural numbers3/7−405
  • नैसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या आणि पूर्णांक या सर्व परिमेय संख्या आहेत : हे संच एकात एक असतात, आणि 37 सारखी संख्या परिमेय आहे पण पूर्णांक नाही.

परिमेय संख्यांची तुलना

  • संख्यारेषेवर दोन संख्यांपैकी डावीकडची संख्या लहान असते.
  • अंश आणि छेद यांना शून्य नसलेल्या एकाच संख्येने गुणले तरी परिमेय संख्येचे मूल्य बदलत नाही : ab = kakb (k ≠ 0).
  • तुलना करण्यासाठी छेद समान करा. उदाहरण : 54 = 1512 आणि 23 = 812, म्हणून 54 > 23.
  • ऋण संख्या नेहमी धन संख्येपेक्षा लहान असते : −79 < 45.
  • दोन ऋण संख्या : a < b (धन) असेल तर −a > −b. म्हणून 2 < 3 पण −2 > −3; 54 < 74 पण −54 > −74. उदाहरण : 73 < 52, म्हणून −73 > −52.
  • नियम : ab आणि cd मध्ये b, d धन असतील तर : a × d < b × c असेल तर ab < cd; a × d = b × c असेल तर दोन्ही समान; a × d > b × c असेल तर ab > cd.
014123415432742AB
  • डावीकडची संख्या लहान असते : A हा 23 = 812 दाखवतो आणि B हा 54 = 1512 दाखवतो, म्हणून 23 < 54.
5423>5 × 3 = 154 × 2 = 8
  • आडवे गुणाकार : 5 × 3 = 15 हा 4 × 2 = 8 पेक्षा मोठा आहे, म्हणून 54 > 23.
−3−2−10AB
  • दोन ऋण संख्यांपैकी 0 च्या जवळची संख्या मोठी असते : B (−73) हा A (−52) च्या उजवीकडे आहे, म्हणून −73 > −52.
Live आकृती

परिमेय संख्यांची तुलना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

परिमेय संख्यांचे दशांश रूप

  • अंशाला छेदाने भागा. बाकी शून्य झाली तर तो दशांश संपणारा (terminating) असतो : 74 = 1.75.
  • प्रत्येक परिमेय संख्या न संपणाऱ्या आवर्ती दशांश (non-terminating recurring decimal) रूपात लिहिता येते : 76 = 1.1666… ; 56 = 0.8333… ; −53 = −1.666… ; 227 = 3.142857142857… (142857 हा गट पुन्हा पुन्हा येतो); 2399 = 0.2323…
  • संपणारा दशांश आवर्ती रूपातही लिहिता येतो : 1.75 = 1.75000…
  • इतर उत्तरे : 937 = 0.243243… ; 37 = 0.428571428571… ; −1035 = −20.6 (संपणारा) ; −1113 = −0.846153846153…
  • लघुत्तम रूपातील अपूर्णांकाचा छेद फक्त 2 आणि 5 या मूळ अवयवांचा असेल तर तो दशांश संपतो (उदा. 8, 20, 25).
42857132645137
  • 3 ला 7 ने भागताना बाकी 3, 2, 6, 4, 5, 1 पुन्हा पुन्हा येतात, म्हणून 37 = 0.428571428571… (6 अंकांचा आवर्ती गट).
7532074
  • 7 ला 4 ने भागताना पूर्ण भाग 1 नंतर बाकी 3, 2, 0 येतात. बाकी 0 झाली, म्हणून दशांश संपतो : 74 = 1.75.
744 =2 × 2A✓566 =2 × 3B✗32525 =5 × 5C✓111515 =3 × 5D✗
  • लघुत्तम रूपातील अपूर्णांकाचा छेद फक्त 2 आणि 5 या मूळ अवयवांचा असेल तर तो दशांश संपतो (इथे 4 आणि 25); 6 आणि 15 मध्ये 3 हा अवयव आहे, म्हणून 56 आणि 1115 आवर्ती असतात.

अपरिमेय संख्या आणि √2 संख्यारेषेवर दाखवणे

  • संख्यारेषेवर परिमेय संख्यांशिवाय आणखी बऱ्याच संख्या असतात. ज्या संख्या परिमेय नसतात त्यांना अपरिमेय संख्या (irrational numbers) म्हणतात. √2 ही त्यांपैकी एक.
  • अपरिमेय संख्येचा दशांश न संपणारा आणि आवर्ती नसणारा असतो. (√2 अपरिमेय असल्याचा पुरावा पुढच्या इयत्तेत शिकाल.)
  • √2 दाखवणे : (1) बिंदू A हा 1 दाखवतो; A मधून संख्यारेषेला लंब रेषा l काढा. (2) l वर बिंदू P असा घ्या की OA = AP = 1 एकक. (3) OP जोडा; काटकोन त्रिकोण OAP मुळे OP² = 1² + 1² = 2, म्हणून OP = √2. (4) O केंद्र आणि OP त्रिज्या घेऊन कंस काढा, तो संख्यारेषेला Q मध्ये छेदतो. Q हा √2 दाखवतो. O च्या डावीकडे तितक्याच अंतरावरील बिंदू −√2 दाखवतो.
  • √3 दाखवणे : √2 दाखवणाऱ्या Q मधून QR = 1 असा लंब काढा. OR² = (√2)² + 1² = 3. O केंद्र आणि OR त्रिज्या घेऊन काढलेला कंस रेषेला C मध्ये छेदतो, आणि C हा √3 दाखवतो.
  • √5 : OA = 2 आणि AP = 1 घ्या : OP² = 4 + 1 = 5. √7 असाच दाखवता येतो (7 = 6 + 1).
  • √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4 … या परिमेय आहेत; √2, √3, √5, √7 … या अपरिमेय आहेत.
01234OPAQOA = 1, AP = 1
  • √2 दाखवणे : OA = AP = 1, म्हणून OP² = 1² + 1² = 2. O केंद्र आणि OP त्रिज्या घेऊन काढलेला कंस संख्यारेषेला Q मध्ये छेदतो, आणि Q हा √2 दाखवतो.
01234OPAQOA = √2, AP = 1
  • √3 दाखवणे : OA = √2 आणि AP = 1 घेतल्यावर OP² = 2 + 1 = 3. कंस संख्यारेषेला Q मध्ये छेदतो, आणि Q हा √3 दाखवतो.
Live आकृती

अपरिमेय संख्या आणि √2 संख्यारेषेवर दाखवणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

वास्तव संख्या आणि आणखी अपरिमेय संख्या

  • संख्यारेषेवरील बिंदूंनी दाखवता येणाऱ्या संख्यांना वास्तव संख्या (real numbers) म्हणतात. सर्व परिमेय संख्या वास्तव संख्या आहेत. संख्यारेषेवर अनंत अपरिमेय संख्या आहेत. परिमेय आणि अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या होतात.
  • π ही अपरिमेय संख्या आहे. हिशेबासाठी आपण तिची किंमत 227 किंवा 3.14 घेतो, या π च्या जवळच्या परिमेय संख्या आहेत.
  • 3√2, 7 + √2, 3 − √2 या संख्या अपरिमेय आहेत. कारण : 3√2 परिमेय असती तर 3√23 = √2 पण परिमेय झाली असती, जे खरे नाही.
  • √3, √5, … सारख्या अपरिमेय संख्या √2 प्रमाणेच संख्यारेषेवर दाखवता येतात.
Real numbersRational0.75−422/7Irrational√3π5 + √2
  • वास्तव संख्या परिमेय असतात (0.75, −4, 227) किंवा अपरिमेय (√3, π, 5 + √2). 227 ही π ची फक्त जवळची परिमेय किंमत आहे.
01234ABC
  • √2 (A), √3 (B) आणि π (C) या संख्यारेषेवर दाखवलेल्या वास्तव संख्या आहेत; त्यांचे दशांश न संपणारे आणि आवर्ती नसणारे असतात.

थोडक्यात उजळणी

  • परिमेय = mn (n ≠ 0); दोन परिमेय संख्यांमध्ये अनंत परिमेय संख्या; संख्यारेषेवर दाखवण्यासाठी एकक n भागांत विभागा.
  • तुलना : समान छेद; a × d आणि b × c ची तुलना; ऋण संख्यांत क्रम उलटतो.
  • दशांश : संपणारा (बाकी 0) किंवा न संपणारा आवर्ती.
  • अपरिमेय : न संपणारा, आवर्ती नसणारा; √2 हा 1 आणि 1 बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणाने; √3 हा √2 आणि 1 वापरून.
  • वास्तव संख्या = परिमेय + अपरिमेय; π अपरिमेय; 3√2, 7 + √2 अपरिमेय.