पुनः समूहन से जोड़
टंकी में 36 L पेट्रोल है और 58 L और डाला गया। अब टंकी में कितना है? पहले इकाई जोड़ते हैं, फिर दहाई; इकाई 10 या अधिक हो तो 10 इकाई की जगह 1 दहाई लेते हैं।
पुनः समूहन (हासिल) : कॉलम का जोड़ 10 या अधिक हो तो इकाई वाला भाग उसी कॉलम में लिखें और दहाई वाला भाग बाईं ओर के कॉलम में हासिल ले जाएँ। 10 इकाई = 1 दहाई, 10 दहाई = 1 सैकड़ा, 10 सैकड़े = 1 हज़ार।
सूत्र : इकाई जोड़ें → पुनः समूहन → दहाई (+ हासिल) → सैकड़ा (+ हासिल) → …
आकृति में : नारंगी 1 हासिल हैं। 6 + 5 = 11 पर हासिल; 3 + 7 + 1 = 11 पर और; 8 + 9 + 1 = 18 पर और। उत्तर 7,811।
नियम 1 : अंक मिलाएँ और इकाई से शुरू करें — इकाई के नीचे इकाई, दहाई के नीचे दहाई लिखें। दाईं ओर से जोड़ें, ज़रूरत पर हासिल ले जाएँ।
पुनः समूहन से जोड़
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 47 + 38 : 7 + 8 = 15 (5 लिखें, 1 हासिल); 4 + 3 + 1 = 8 → 85।
- मध्यम : 256 + 378 = 634 (6 + 8 = 14, 5 + 7 + 1 = 13, 2 + 3 + 1 = 6)।
- परीक्षा-प्रकार : 3,764 + 2,859 = 6,623।
नियम 2 : आसान तरीका अपनाएँ — 100 के पास? 100 जोड़ें और थोड़ा ज़्यादा घटा दें : + 99 यानी + 100 − 1।
- आसान : 57 + 99 = 57 + 100 − 1 = 156।
- मध्यम : 84 + 98 = 84 + 100 − 2 = 182।
- परीक्षा-प्रकार : 36 + 101 = 36 + 100 + 1 = 137।
जोड़ जाँचने के लिए दूसरे क्रम में जोड़ें या उत्तर में से एक संख्या घटाएँ।
हासिल जोड़ना भूल जाना : 47 + 38 का उत्तर 75 (4 + 3 = 7)। हासिल जोड़ने पर 85।
गोल करने की युक्ति : एक संख्या को गोल करें, फिर अंतर ठीक करें। याद रखने की युक्ति : "दस या ज़्यादा? इकाई लिखो, दहाई हासिल ले जाओ।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | With carry | Without carry |
|---|---|---|
| उदाहरण | 47 + 38 | 41 + 38 |
| इकाई | 7 + 8 = 15 → carry 1 | 1 + 8 = 9 |
| उत्तर | 85 | 79 |
अभ्यास के प्रश्न
- 168 + 59 कितना?
- 2256 + 378 कितना?
- 3125 + 99 आसान तरीके से निकालिए।
- 4एक दुकान ने सुबह 318 और शाम 274 ईंटें बेचीं। कुल कितनी?
- 53,764 + 2,859 कितना?
- 6लुप्त अंक भरिए : 6_ + 27 = 95
- 71,458 + 2,675 निकालिए और घटाव से जाँचिए।
- 8268 + 199 को आसान तरीके से जोड़िए और उत्तर बताइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1127
- 2634
- 3125 + 100 − 1 = 224
- 4592
- 56,623
- 68 (95 − 27 = 68)
- 74,133; check 4,133 − 2,675 = 1,458
- 8268 + 200 − 1 = 467
पुनः समूहन से घटाव
दुकान में 95 किलो चावल थे और 68 किलो इस्तेमाल हुए। कितने बचे? जब इकाई का अंक घटाने के लिए छोटा पड़े तो 1 दहाई को 10 इकाई में बदलते हैं।
पुनः समूहन (उधार लेना) : ऊपर का अंक नीचे के अंक से छोटा हो तो बाईं ओर के कॉलम से 1 उधार लें। 1 दहाई = 10 इकाई, 1 सैकड़ा = 10 दहाई, 1 हज़ार = 10 सैकड़े। अंतर + छोटी संख्या = बड़ी संख्या।
सूत्र : बड़ी − छोटी = अंतर; अंतर + छोटी = बड़ी (जाँच)।
आकृति में : लाल अंक पुनः समूहन दिखाते हैं : इकाई 14, दहाई 9 (उधार देने के बाद), सैकड़ा 11 और हज़ार 4। उत्तर 2,337 और 2,337 + 2,867 = 5,204।
नियम 1 : ऊपर का अंक छोटा हो तो उधार लें — अगले कॉलम से 1 लें; इस कॉलम में उसका मान 10। वह कॉलम 0 हो तो उससे अगले से लें।
पुनः समूहन से घटाव
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 72 − 35 : 2 < 5, इसलिए 12 − 5 = 7 और 6 − 3 = 3 → 37।
- मध्यम : 504 − 267 : दहाई का अंक 0, सैकड़े से उधार लें → 237।
- परीक्षा-प्रकार : 6,000 − 2,475 = 3,525।
नियम 2 : वापस जोड़कर जाँचें — उत्तर में छोटी संख्या जोड़ें। बड़ी संख्या मिलनी चाहिए।
- आसान : 83 − 27 = 56; जाँच 56 + 27 = 83 ✓।
- मध्यम : 823 − 456 = 367; 367 + 456 = 823 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : गलत उत्तर जाँच में पकड़ा जाता है : 91 − 46 = 55 → 55 + 46 = 101 ✗।
हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ और उत्तर को जोड़कर जाँचें।
हर कॉलम में छोटा अंक बड़े में से घटाना : 82 − 37 का उत्तर 55 (8 − 3 = 5 और 7 − 2 = 5)। सही उत्तर 45।
100 या 1,000 में से घटाते समय "अंत से लें" : 1,000 − 346 = 654 (9 − 3, 9 − 4, 10 − 6)। याद रखने की युक्ति : "ऊपर छोटा पड़ा? एक दहाई उधार लो और 10 इकाई बनाओ।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Correct | Common mistake |
|---|---|---|
| 82 − 37 | 45 | 55 |
| इकाई का चरण | 12 − 7 = 5 (borrowed) | 7 − 2 = 5 (swapped) |
अभ्यास के प्रश्न
- 172 − 35 कितना?
- 2504 − 267 कितना?
- 3जाँचिए : क्या 91 − 46 = 45 सही है?
- 4दुकान में 240 L ईंधन था और 175 इस्तेमाल हुआ। कितना बचा?
- 5700 − 284 कितना?
- 64,052 − 1,876 कितना?
- 7दो संख्याओं का योग 150 है और एक 68 है। दूसरी निकालिए और जाँचिए।
- 86,000 − 2,475 निकालिए और जोड़कर जाँचिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 137
- 2237
- 3Yes: 45 + 46 = 91
- 465
- 5416
- 62,176
- 782; check 82 + 68 = 150
- 83,525; check 3,525 + 2,475 = 6,000
जोड़ और घटाव का संबंध
एक थैले में 38 लाल और 27 नीली कंचे हैं, कुल 65। 27 नीली निकाल दें तो 38 लाल बचते हैं। जोड़ और घटाव एक ही कहानी कहते हैं।
a, b और a + b ये तीन संख्याएँ एक संबंध-परिवार बनाती हैं, जिससे 4 कथन : a + b = s, b + a = s, s − a = b और s − b = a। योग पूर्ण है; बाकी दो भाग।
सूत्र : भाग + भाग = पूर्ण; पूर्ण − भाग = दूसरा भाग।
आकृति में : ऊपर की संख्या 65 पूर्ण है; 38 और 27 भाग हैं। नीचे चार कथन लिखे हैं।
नियम 1 : जोड़ से घटाव — भाग + भाग = पूर्ण हो तो पूर्ण − एक भाग = दूसरा भाग।
- आसान : 36 + 29 = 65, इसलिए 65 − 29 = 36 और 65 − 36 = 29।
- मध्यम : 58 + 17 = 75, इसलिए 75 − 17 = 58।
- परीक्षा-प्रकार : 45 + 38 = 83, इसलिए 83 − 45 = 38।
नियम 2 : घटाव से जोड़ — बड़ी − छोटी = अंतर हो तो अंतर + छोटी = बड़ी।
- आसान : 172 − 48 = 124, इसलिए 124 + 48 = 172।
- मध्यम : 205 − 87 = 118, इसलिए 205 − 118 = 87।
- परीक्षा-प्रकार : 340 − 95 = 245, इसलिए 245 + 95 = 340।
परिवार की सबसे बड़ी संख्या पूर्ण (योग) होती है। घटाव हमेशा उसी से शुरू होता है।
27 − 65 = 38 लिखना। यहाँ बड़ी संख्या छोटी में से नहीं घटा सकते; पूर्ण से शुरू करें : 65 − 27 = 38।
लुप्त भाग निकालने के लिए घटाएँ : भाग = पूर्ण − दूसरा भाग। याद रखने की युक्ति : तीन का त्रिकोण : ऊपर योग, नीचे दो भाग।
अंतर पहचानें
| बिंदु | Addition | Subtraction |
|---|---|---|
| कथन | 38 + 27 = 65 | 65 − 27 = 38 |
| निकालता है | the whole | a part |
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि 36 + 29 = 65, तो 65 − 29 निकालिए।
- 2यदि 58 + 17 = 75, तो 75 − 58 निकालिए।
- 3यदि 172 − 48 = 124, तो भरिए : 124 + ___ = 172।
- 426, 19 और 45 के चारों कथन लिखिए।
- 5यदि 205 − 87 = 118, तो भरिए : 205 − ___ = 87।
- 654 + 28 = 82 के परिवार में कौन-सा नहीं है : 82 − 28 = 54, 82 + 54 = 28, 28 + 54 = 82?
- 7सीमा के पास कुछ स्टिकर थे। 45 और मिलने पर उसके पास 120 हुए। पहले कितने थे?
- 8तीन संख्याएँ 83, 45 और 38 हैं। पूर्ण कौन-सी है? एक जोड़ और दो घटाव के कथन लिखिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 136
- 217
- 348
- 426 + 19 = 45; 19 + 26 = 45; 45 − 19 = 26; 45 − 26 = 19
- 5118
- 682 + 54 = 28
- 7120 − 45 = 75
- 883; 45 + 38 = 83; 83 − 45 = 38; 83 − 38 = 45
क्रमागत संख्याओं का योग
पंक्ति की सीटों पर नंबर 14, 15, 16 : हर नंबर पिछले से 1 ज़्यादा। ऐसी संख्याएँ क्रमागत कहलाती हैं। इनके योग में सुंदर पैटर्न मिलते हैं।
क्रमागत संख्याएँ बिना कोई संख्या छोड़े एक के बाद एक आती हैं (23, 24, 25)। विषम गिनती (3, 5, 7…) की क्रमागत संख्याओं का योग = गिनती × बीच की संख्या।
सूत्र : 3 क्रमागत : योग = 3 × बीच की। 5 क्रमागत : योग = 5 × बीच की। 2 क्रमागत : योग विषम।
आकृति में : 4 + 5 + 6 = 15 और 3 × 5 = 15 : तीन क्रमागत संख्याओं का योग बीच की संख्या का 3 गुना।
नियम 1 : विषम गिनती : गिनती × बीच की — 3 या 5 क्रमागत संख्याओं के लिए बीच की संख्या निकालें और 3 या 5 से गुणा करें।
- आसान : 14 + 15 + 16 = 3 × 15 = 45।
- मध्यम : 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 5 × 22 = 110।
- परीक्षा-प्रकार : तीन क्रमागत संख्याओं का योग 87 : बीच की = 87 ÷ 3 = 29, इसलिए वे 28, 29, 30 हैं।
नियम 2 : सम गिनती : जोड़े बनाएँ — 4 या 6 क्रमागत संख्याओं में पहली-आख़िरी, दूसरी-आख़िरी से दूसरी के जोड़े बनाएँ। हर जोड़े का योग समान होता है।
- आसान : 24 + 25 + 26 + 27 = (24 + 27) + (25 + 26) = 51 + 51 = 102।
- मध्यम : 4 क्रमागत संख्याओं के योग हर बार 4 बढ़ते हैं (1+2+3+4 = 10, 2+3+4+5 = 14)।
- परीक्षा-प्रकार : k क्रमागत संख्याओं के क्रमिक योगों का अंतर k होता है।
दो क्रमागत संख्याओं में एक सम और एक विषम होती है, इसलिए उनका योग विषम।
बीच की जगह पहली संख्या लेना : 14 + 15 + 16, 3 × 14 नहीं है। बीच की संख्या 15 लें।
विषम गिनती → बीच की संख्या औसत है, इसलिए योग = गिनती × बीच की। याद रखने की युक्ति : "बीच वाला गुणा कुल लोग।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | 3 consecutive | 4 consecutive |
|---|---|---|
| उदाहरण | 14 + 15 + 16 | 24 + 25 + 26 + 27 |
| विधि | 3 × 15 | pairs of 51 |
| योग | 45 | 102 |
अभ्यास के प्रश्न
- 138 + 39 + 40 निकालिए।
- 22 क्रमागत संख्याओं का योग सम या विषम?
- 345 + 46 + 47 + 48 + 49 निकालिए।
- 452 + 53 + 54 + 55 निकालिए।
- 5तीन क्रमागत संख्याओं का योग 51 है। उन्हें ढूँढ़िए।
- 65 क्रमागत संख्याओं की शुरुआत एक संख्या आगे से करें तो योग कितना बढ़ता है?
- 763 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 निकालिए।
- 8पाँच क्रमागत संख्याओं का योग 135 है। सबसे छोटी और सबसे बड़ी ढूँढ़िए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1117 (3 × 39)
- 2विषम
- 3235 (5 × 47)
- 4214 (107 + 107)
- 516, 17, 18
- 65
- 7393 (3 pairs of 131)
- 8Middle 27: smallest 25 and largest 29
बड़ी संख्याओं का जोड़, घटाव और अनुमान
एक ट्रक एक साल में 48,365 km और अगले साल 27,689 km चलता है। कुल का जल्दी अंदाज़ा पाने के लिए निकटतम हज़ार में पूर्णांक करें : लगभग 48,000 + 28,000 = 76,000 किमी।
बड़ी संख्याओं का जोड़-घटाव छोटी संख्याओं की तरह ही होता है — स्थान मिलाएँ और इकाई से शुरू करें। अनुमान का मतलब पहले संख्याओं को पूर्णांकित करके पास का, आसानी से जाँचा जा सके ऐसा उत्तर पाना।
सूत्र : अनुमान = हर संख्या को पूर्णांकित करें, फिर जोड़ या घटाव करें।
आकृति में : दोनों संख्याओं को निकटतम हज़ार में पूर्णांकित करने पर 48,000 + 28,000 = 76,000, जो सटीक 76,054 के बहुत पास है।
नियम 1 : बड़ी संख्याओं का जोड़-घटाव — इकाई के नीचे इकाई, दहाई के नीचे दहाई मिलाएँ। दाईं ओर से काम करें और ज़रूरत पर पुनः समूहन करें।
बड़ी संख्याओं का जोड़, घटाव और अनुमान
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 36,450 + 14,780 = 51,230।
- मध्यम : 83,406 − 27,158 = 56,248; जाँच 56,248 + 27,158 = 83,406।
- परीक्षा-प्रकार : 50,000 − 23,764 = 26,236 (शून्यों के पार से उधार लें)।
नियम 2 : पूर्णांकित करके अनुमान — हर संख्या को निकटतम हज़ार (या सैकड़े) में पूर्णांकित करें, फिर पूर्णांकित संख्याओं का जोड़ या घटाव करें।
- आसान : 63,120 + 39,870 ≈ 63,000 + 40,000 = 103,000।
- मध्यम : 74,215 − 48,630 ≈ 74,000 − 49,000 = 25,000।
- परीक्षा-प्रकार : सबसे निकट योग के लिए जोड़े आज़माएँ और देखें कि हर योग लक्ष्य से कितना दूर है।
अनुमान से पता चलता है कि उत्तर लगभग कितना बड़ा होना चाहिए। सटीक उत्तर उससे बहुत दूर हो तो फिर जाँचें।
अंक गलत जगह लिखना : 4,578 + 345 में 345 को हज़ार के नीचे लिखना। इकाई के नीचे इकाई रखें।
कई शून्य वाली संख्या में से घटाते समय सोचें : 50,000 − 1 = 49,999, फिर समायोजन करें। याद रखने की युक्ति : "पहले पूर्णांकित करें, आकार का अंदाज़ा लें, फिर सटीक निकालें और तुलना करें।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Estimate | Exact |
|---|---|---|
| 48,365 + 27,689 | 76,000 | 76,054 |
| उपयोग | quick check | final answer |
अभ्यास के प्रश्न
- 136,450 + 14,780 कितना?
- 283,406 − 27,158 कितना?
- 348,365 + 27,689 का निकटतम हज़ार में अनुमान लगाइए।
- 4एक संग्रहालय में एक महीने में 31,275 और अगले महीने 28,940 आगंतुक आए। कुल कितने?
- 550,000 − 23,764 कितना?
- 6एक स्कूल ने ₹58,400 जमा किए और ₹36,750 ख़र्च किए। कितने बचे?
- 774,215 − 48,630 का अनुमान लगाइए, फिर सटीक अंतर निकालिए।
- 83,410, 6,250, 7,980, 4,730 और 8,120 में से किन दो संख्याओं का योग 11,000 के सबसे निकट?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 151,230
- 256,248
- 376,000
- 460,215
- 526,236
- 6₹21,650
- 7Estimate 25,000; exact 25,585
- 84,730 + 6,250 = 10,980