गुणा में क्रम और पंक्ति-स्तंभ
एक डेयरी मक्खन के पैकेट 3 पंक्तियों में हर एक में 6, या 6 पंक्तियों में हर एक में 3 सजाती है। ट्रे को बग़ल से देखें तो भी पैकेटों की संख्या वही। पंक्ति-स्तंभ के चित्र को सरणी (array) कहते हैं।
गुणा यानी बराबर समूहों की गिनती। संख्याओं की जगह बदलने पर भी गुणनफल नहीं बदलता : a × b = b × a। कोई भी संख्या × 0 = 0 और कोई भी संख्या × 1 = वही संख्या।
सूत्र : a × b = b × a; a × b × c = a × c × b; a × 0 = 0; a × 1 = a।
आकृति में : 6 बिंदुओं की 3 पंक्तियाँ और 3 बिंदुओं की 6 पंक्तियाँ दोनों 18 बनाती हैं : 3 × 6 = 6 × 3।
नियम 1 : संख्याओं की जगह बदलें — समूहों की संख्या और समूह का आकार जगह बदल सकते हैं। आसान क्रम चुनें।
गुणा में क्रम और पंक्ति-स्तंभ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 7 × 9 = 9 × 7 = 63।
- मध्यम : 6 × 13 = 13 × 6 = 78।
- परीक्षा-प्रकार : 25 × 4 = 4 × 25 = 100 (4 × 25 आसान)।
नियम 2 : गुणनखंड जोड़ों से सरणियाँ — कुल संख्या कई तरह से सजाई जा सकती है : हर उस जोड़ी से जिसका गुणनफल वह संख्या हो।
- आसान : 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6।
- मध्यम : 120 = 10 × 12 = 8 × 15 = 6 × 20 = 4 × 30।
- परीक्षा-प्रकार : 5 × 25 = 125, इसलिए 5 × 25 से 120 नहीं बनता।
शून्य समूह या शून्य के समूह हमेशा शून्य देते हैं : 9 × 0 = 0 × 9 = 0।
कहानी में क्रम मायने रखता है, ऐसा मानना : 5 पैकेट के 6 ट्रे और 6 पैकेट के 5 ट्रे अलग दिखते हैं, पर दोनों में 30 पैकेट।
कठिन गुणा को उलट दें : 25 × 4 → 4 × 25 चार-चार करके गिनना आसान। याद रखने की युक्ति : "पंक्ति × स्तंभ = स्तंभ × पंक्ति" — ट्रे घुमाओ, गिनती वही।
अंतर पहचानें
| बिंदु | 3 × 6 | 6 × 3 |
|---|---|---|
| पंक्ति × स्तंभ | 3 rows of 6 | 6 rows of 3 |
| कुल | 18 | 18 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि 7 × 9 = 63, तो 9 × 7 निकालिए।
- 20 × 14 कितना?
- 324 पैकेटों की बराबर पंक्तियों में 3 अलग व्यवस्थाएँ लिखिए।
- 410 × 12 के बराबर नहीं कौन-सा : 8 × 15, 6 × 20 या 5 × 25?
- 5एक ट्रे में 12 पैकेट की 5 पंक्तियाँ, दूसरे में 5 पैकेट की 12 पंक्तियाँ। किसमें ज़्यादा?
- 6आसान क्रम से 25 × 4 निकालिए।
- 7दिखाइए कि 6 × 5 × 4 = 4 × 5 × 6।
- 836 कुर्सियाँ बराबर पंक्तियों में कितने तरीकों से सजाई जा सकती हैं (पंक्तियाँ × प्रति पंक्ति, क्रम गिनकर)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 163
- 20
- 32 × 12, 3 × 8, 4 × 6 (also 1 × 24)
- 45 × 25 (= 125)
- 5Both hold 60
- 64 × 25 = 100
- 76 × 5 × 4 = 30 × 4 = 120 and 4 × 5 × 6 = 20 × 6 = 120
- 89 ways: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6, 9×4, 12×3, 18×2, 36×1
10, 100 और 1,000 से गुणा
एक क्रेट में 100 पाउच। पैंतालीस क्रेट में 45 × 100 = 4,500 पाउच। 10, 100 या 1,000 से गुणा करते समय बस शून्य जोड़ते हैं — हर अंक बड़े स्थान पर खिसक जाता है।
10 से गुणा करने पर हर अंक 1 स्थान बाईं ओर, 100 से 2 स्थान, 1,000 से 3 स्थान (1, 2 या 3 शून्य जोड़ें)। 30 × 20 के लिए 3 × 2 = 6, फिर दो शून्य : 600।
सूत्र : n × 10 = n0; n × 100 = n00; n × 1,000 = n000। (a0) × (b0) = (a × b) और दो शून्य।
आकृति में : 47 × 100 : 4 और 7 दो-दो स्थान बाईं ओर खिसकते हैं और ख़ाली जगह शून्य आते हैं : 4,700।
नियम 1 : 10, 100, 1,000 से गुणा — संख्या लिखें और गुणक जितने शून्य जोड़ें।
10, 100 और 1,000 से गुणा
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 47 × 10 = 470; 47 × 100 = 4,700।
- मध्यम : 8 × 1,000 = 8,000।
- परीक्षा-प्रकार : 305 × 100 = 30,500।
नियम 2 : 10 और 100 के गुणज — बिना शून्य वाले अंक गुणा करें, फिर दोनों संख्याओं के सारे शून्य अंत में लगाएँ।
- आसान : 30 × 20 = (3 × 2) और 2 शून्य = 600।
- मध्यम : 40 × 50 = 20 और 2 शून्य = 2,000।
- परीक्षा-प्रकार : 600 × 30 = 18 और 3 शून्य = 18,000।
शून्य ध्यान से गिनें : 40 × 50 = 2,000 में तीन शून्य, क्योंकि 4 × 5 = 20 में ही एक शून्य है।
केवल गुणक के शून्य जोड़ना : 40 × 50 = 200 (गलत)। 4 × 5 = 20 का शून्य भी गिनें : 2,000।
पहले छोटा गुणा, फिर शून्य जोड़ें : 600 × 30 → 6 × 3 = 18 → 18,000। याद रखने की युक्ति : "10 से गुणा — अंक एक सीढ़ी चढ़ते हैं; 100 से — दो सीढ़ियाँ।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | × 10 | × 100 |
|---|---|---|
| अंक खिसकते हैं | 1 place | 2 places |
| 47 बनता है | 470 | 4,700 |
अभ्यास के प्रश्न
- 163 × 100 कितना?
- 28 × 1,000 कितना?
- 330 × 20 कितना?
- 440 × 50 कितना?
- 5एक क्रेट में 100 पाउच। 45 क्रेट में कितने?
- 6600 × 30 कितना?
- 73 × 5,000 और 8 × 3,000 निकालिए।
- 8400 × 50 के उत्तर में कितने शून्य? गुणनफल निकालिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16,300
- 28,000
- 3600
- 42,000
- 54,500
- 618,000
- 715,000 and 24,000
- 84 zeros: 20,000
दोगुना, आधा और निकटतम गुणज
25 डिब्बों में हर एक में 16 पैकेट निकालने के लिए "8 डिब्बे हर एक में 50, फिर 4 डिब्बे हर एक में 100" सोचना आसान। और 6 × 29 यानी 6 × 30 में से 6 घटाना। चतुर तरकीबों से बड़े गुणा आसान हो जाते हैं।
आधा और दोगुना : एक संख्या आधी और दूसरी दोगुनी करें — गुणनफल वही रहता है (5, 25, 50 के साथ अच्छा चलता है)। निकटतम गुणज : संख्या के पास का 20, 30, 50, 100 लें, फिर अतिरिक्त को जोड़ें या घटाएँ।
सूत्र : a × b = (a ÷ 2) × (b × 2)। a × (n − 1) = a × n − a। a × (n + 1) = a × n + a।
आकृति में : हर चरण में पहली संख्या आधी और दूसरी दोगुनी; क्षेत्रफल (गुणनफल) नहीं बदलता : 400।
नियम 1 : एक आधी, दूसरी दोगुनी — सम संख्या को आधा और दूसरी को दोगुना करें। गुणा आसान होने तक दोहराएँ।
दोगुना, आधा और निकटतम गुणज
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 14 × 25 = 7 × 50 = 350।
- मध्यम : 24 × 15 = 12 × 30 = 360।
- परीक्षा-प्रकार : 16 × 25 = 8 × 50 = 4 × 100 = 400।
नियम 2 : निकटतम गुणज का उपयोग करें — एक संख्या गोल संख्या से थोड़ी कम (या ज़्यादा) हो तो गोल संख्या से गुणा करें और अतिरिक्त प्रतियाँ घटाएँ (या जोड़ें)।
- आसान : 6 × 29 = 6 × 30 − 6 = 180 − 6 = 174।
- मध्यम : 13 × 41 = 13 × 40 + 13 = 520 + 13 = 533।
- परीक्षा-प्रकार : 7 × 48 = 7 × 50 − 7 × 2 = 350 − 14 = 336।
जब एक संख्या 5, 15, 25 या 50 हो तब आधा-दोगुना सबसे अच्छा रहता है, क्योंकि दोगुना करने पर वह गोल संख्या बन जाती है।
जहाँ जोड़ना है वहाँ घटाना (या उलट) : 13 × 41 = 13 × 40 − 13 गलत। 41, 40 से ज़्यादा है, इसलिए 13 जोड़ें।
पूछें : "संख्या गोल संख्या से थोड़ी नीचे है या ऊपर?" नीचे → अतिरिक्त घटाएँ, ऊपर → जोड़ें। याद रखने की युक्ति : "एक आधी, दूसरी दोगुनी — क्षेत्रफल वही।" "गोल संख्या से नीचे : घटाओ; ऊपर : जोड़ो।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Halve and double | Nearest multiple |
|---|---|---|
| उदाहरण | 14 × 25 = 7 × 50 | 6 × 29 = 6 × 30 − 6 |
| उत्तर | 350 | 174 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आधा-दोगुना करके 14 × 25 निकालिए।
- 2आधा-दोगुना करके 24 × 15 निकालिए।
- 330 का उपयोग करके 6 × 29 निकालिए।
- 440 का उपयोग करके 13 × 41 निकालिए।
- 58 × 99 निकालिए।
- 650 का उपयोग करके 7 × 48 निकालिए।
- 7आधा-दोगुना करके 18 × 35 निकालिए।
- 8आधा-दोगुना उपयोगी हो ऐसे दो उदाहरण दीजिए और हल कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17 × 50 = 350
- 212 × 30 = 360
- 36 × 30 − 6 = 174
- 413 × 40 + 13 = 533
- 58 × 100 − 8 = 792
- 67 × 50 − 7 × 2 = 336
- 79 × 70 = 630
- 8For example 12 × 25 = 6 × 50 = 300 and 22 × 15 = 11 × 30 = 330
संख्या तोड़कर गुणा : क्षेत्रफल और आंशिक गुणनफल
एक सभागार में 47 पंक्तियाँ और हर पंक्ति में 36 कुर्सियाँ। 47 × 36 एक बार में गिनना कठिन है, इसलिए 47 को 40 + 7 और 36 को 30 + 6 में तोड़ते हैं। चार खानों में बँटा आयत हर भाग दिखाता है।
आंशिक गुणनफल : हर संख्या को दहाई और इकाई में तोड़ें, हर भाग को हर भाग से गुणा करें, फिर जोड़ें। 47 × 36 = (40 + 7) × (30 + 6) = 1,200 + 240 + 210 + 42 = 1,692।
सूत्र : (a + b) × (c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d।
आकृति में : 35 × 12 को (30 + 5) × (10 + 2) में तोड़ा : 300 + 50 + 60 + 10 = 420।
नियम 1 : 2 अंक × 1 अंक — 2 अंकों वाली संख्या को दहाई और इकाई में तोड़ें; हर एक को 1 अंक वाली संख्या से गुणा करें; जोड़ें।
संख्या तोड़कर गुणा : क्षेत्रफल और आंशिक गुणनफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 34 × 6 = 30 × 6 + 4 × 6 = 180 + 24 = 204।
- मध्यम : 58 × 7 = 350 + 56 = 406।
- परीक्षा-प्रकार : 47 × 5 = 200 + 35 = 235।
नियम 2 : 2 अंक × 2 अंक — चार खाने बनाएँ (दहाई × दहाई, दहाई × इकाई, इकाई × दहाई, इकाई × इकाई) और चारों जोड़ें।
- आसान : 23 × 15 = 200 + 100 + 30 + 15 = 345।
- मध्यम : 41 × 32 = 1,200 + 80 + 30 + 2 = 1,312।
- परीक्षा-प्रकार : 47 × 36 = 1,200 + 240 + 210 + 42 = 1,692।
हर भाग को हर भाग से गुणा करना होता है, इसलिए 2 अंक × 2 अंक में हमेशा चार खाने होते हैं।
दहाई × दहाई यानी सैकड़े भूल जाना : 40 × 30 = 1,200 (120 या 12 नहीं)।
अनुमान से जाँचें : 47 × 36 लगभग 40 × 30 = 1,200 से थोड़ा ज़्यादा — और 1,692 ठीक बैठता है। याद रखने की युक्ति : "चार खाने, चार गुणनफल, एक योग।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Box | Product |
|---|---|---|
| 40 × 30 | tens × tens | 1,200 |
| 40 × 6 | tens × ones | 240 |
| 7 × 30 | ones × tens | 210 |
| 7 × 6 | ones × ones | 42 |
अभ्यास के प्रश्न
- 134 को 30 + 4 में तोड़कर 34 × 6 निकालिए।
- 258 × 7 कितना?
- 326 × 13 के क्षेत्रफल मॉडल में 20 × 10 वाले खाने में क्या?
- 4चार खानों से 23 × 15 निकालिए।
- 541 × 32 कितना?
- 652 × 24 कितना?
- 747 × 36 निकालिए और अनुमान से जाँचिए।
- 864 × 35 कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1180 + 24 = 204
- 2406
- 3200
- 4200 + 100 + 30 + 15 = 345
- 51,312
- 61,248
- 71,692 (about 40 × 30 = 1,200 and a bit more)
- 82,240
गुणा के शब्द-प्रश्न
एक फ़ार्म में 165 गायें हैं और हर एक को रोज़ 12 किलो चारा चाहिए। एक स्कूल पुस्तकालय में 46 अलमारियाँ हैं और हर एक में 128 किताबें। असली ज़िंदगी में उचित तरीका चुनकर लचीले ढंग से इस्तेमाल करना होता है।
शब्द-प्रश्न में समूहों की संख्या और हर समूह का आकार ढूँढ़ें, फिर गुणा करें। सबसे अच्छा तरीका चुनें : जगह बदलना, ×10/100, आधा-दोगुना, निकटतम गुणज या आंशिक गुणनफल।
सूत्र : कुल = समूहों की संख्या × हर समूह का आकार।
आकृति में : 35 × 12 का आयत यानी 12 कुर्सियों की 35 पंक्तियाँ : 420 कुर्सियाँ।
नियम 1 : समूह × आकार — कहानी एक पंक्ति में कहें : "(समूहों की संख्या) समूह, हर एक में (आकार)"। फिर गुणा करें।
गुणा के शब्द-प्रश्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 28 पंक्तियाँ, हर एक में 36 कुर्सियाँ : 28 × 36 = 1,008 कुर्सियाँ।
- मध्यम : 18 पाउच के 25 क्रेट : 25 × 18 = 450 पाउच।
- परीक्षा-प्रकार : ₹450 प्रति के हिसाब से 24 बोरियाँ : 24 × 450 = ₹10,800।
नियम 2 : एक से अधिक चरण — हर गुणा अलग करें, फिर उत्तरों को जोड़ें या घटाएँ।
- आसान : ₹18 के हिसाब से 12 पेन और ₹25 के हिसाब से 15 कॉपियाँ : 216 + 375 = ₹591।
- मध्यम : 14 कुर्सियों की 8 पंक्तियाँ, आधी भरी : 8 × 14 = 112, आधा = 56 दर्शक।
- परीक्षा-प्रकार : 4 कुर्तों को 16 m; 12 कुर्तों को 3 × 16 = 48 मी।
उत्तर में इकाई लिखें : कुर्सियाँ, ₹, किलो, किमी। फिर देखें कि उत्तर का आकार उचित लगता है या नहीं।
गुणा की जगह जोड़ देना : 28 पंक्तियाँ, हर एक में 36 कुर्सियाँ यानी 28 × 36, 28 + 36 नहीं।
पहले अनुमान : 28 × 36 लगभग 30 × 40 = 1,200 — सटीक 1,008 थोड़ा कम। याद रखने की युक्ति : "समूह और आकार — गुणा; फिर मोटे अंदाज़े से जाँचें।"
अंतर पहचानें
| बिंदु | Story | Multiplication |
|---|---|---|
| सभागार | 28 rows, 36 seats | 28 × 36 = 1,008 |
| फ़ार्म | 165 cows, 12 kg | 165 × 12 = 1,980 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक सभागार में 28 पंक्तियाँ, हर एक में 36 कुर्सियाँ। कुल कितनी?
- 2हर गाय रोज़ 6 L दूध देती है। 38 गायें कितने लीटर देती हैं?
- 3एक डेयरी हर क्रेट में 18 पाउच भरती है। 25 क्रेट में कितने?
- 4₹450 प्रति के हिसाब से 24 बोरी चावल बिके। कितने रुपये?
- 5एक फ़ार्म में हर गाय को रोज़ 12 किलो चारा। 165 गायों को कितना?
- 6एक परिवार हर महीने 28 किलो कचरा बनाता है। साल भर में कितना?
- 7मीरा ₹18 के हिसाब से 12 पेन और ₹25 के हिसाब से 15 कॉपियाँ लेती है। कुल कितना?
- 8पुस्तकालय में 46 अलमारियाँ और हर एक में 128 किताबें। कितनी किताबें? पहले अनुमान लगाइए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11,008
- 2228
- 3450
- 4₹10,800
- 51,980 kg
- 6336 kg
- 7₹591
- 85,888 (estimate 50 × 130 = 6,500)