परावर्तन सममिति और सममिति रेखाएँ
तितली के दोनों पंख एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब जैसे लगते हैं। चित्र को बीच से मोड़ें तो पंख ठीक एक-दूसरे पर बैठते हैं। वह बीच का मोड़ सममिति रेखा है।
किसी आकृति में यदि मोड़ की रेखा (सममिति रेखा) दोनों भागों को दर्पण-प्रतिबिंब की तरह ठीक मिला दे तो उसमें परावर्तन सममिति है। आकृति की कई रेखाएँ, एक रेखा या कोई नहीं हो सकती।
सूत्र : प्रतिबिंब : दर्पण रेखा से उतनी ही दूरी पर, दूसरी ओर। बिंदु से प्रतिबिंब की दूरी = 2 × रेखा तक की दूरी।
आकृति में : वर्ग की 4 सममिति रेखाएँ, आयत (वर्ग नहीं) की 2, समबाहु त्रिभुज की 3।
नियम 1 : सममिति रेखाएँ ढूँढ़ें — आकृति मोड़ने की कल्पना कीजिए। जो मोड़ दोनों भाग मिला दे वह सममिति रेखा है। खड़ा, आड़ा और तिरछा मोड़ आज़माइए।
- आसान : वर्ग : भुजाओं के मध्य से 2 + विकर्ण 2 = 4 रेखाएँ।
- मध्यम : समद्विबाहु त्रिभुज : 1 रेखा, शीर्ष से आधार के मध्य तक।
- परीक्षा-प्रकार : विषमबाहु त्रिभुज : 0 रेखाएँ।
नियम 2 : प्रतिबिंब — दर्पण रेखा बाएँ-दाएँ (खड़ी) या ऊपर-नीचे (आड़ी) बदल देती है। हर बिंदु दर्पण के आगे जितनी दूरी पर, पीछे भी उतनी ही दूरी पर दिखता है।
- आसान : रेखा के बाएँ 3 वर्ग पर बिंदु का प्रतिबिंब दाएँ 3 वर्ग पर।
- मध्यम : रेखा से 4 वर्ग दूर बिंदु और उसके प्रतिबिंब के बीच की दूरी : 8 वर्ग।
- परीक्षा-प्रकार : b खड़े दर्पण में d जैसा; आड़े दर्पण में p जैसा।
सममिति रेखा दो ठीक दर्पण-प्रतिबिंब भाग देती है। आकृति से गुज़रने वाली हर रेखा सममिति रेखा नहीं होती।
किसी भी विभाजन रेखा को सममिति रेखा कह देना (आयत का विकर्ण नहीं), या वर्ग के विकर्ण भूल जाना।
मन में मोड़िए : भाग ठीक मिलें तो वह सममिति रेखा है। याद रखने की युक्ति : "मोड़ो और मिलाओ — वही सममिति रेखा।"
अंतर पहचानें
| आकृति | सममिति रेखाएँ |
|---|---|
| वर्ग | 4 |
| आयत (वर्ग नहीं) | 2 |
| समबाहु त्रिभुज | 3 |
| विषमबाहु त्रिभुज | 0 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग की कितनी सममिति रेखाएँ?
- 2अक्षर H की कितनी सममिति रेखाएँ?
- 3विषमबाहु त्रिभुज की कितनी सममिति रेखाएँ?
- 4एक बिंदु खड़ी दर्पण रेखा से बाएँ 6 वर्ग पर। प्रतिबिंब कहाँ?
- 5b अक्षर खड़े दर्पण के सामने रखा। कौन-सा अक्षर दिखेगा?
- 6एक बिंदु दर्पण रेखा से 5 वर्ग दूर है। उसके प्रतिबिंब से कितनी दूर?
- 7समबाहु त्रिभुज की कितनी सममिति रेखाएँ? वे कहाँ से जाती हैं?
- 8समषट्भुज की कितनी सममिति रेखाएँ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 22
- 30
- 4रेखा से दाएँ 6 वर्ग
- 5d
- 610 वर्ग
- 73, हर एक कोने से सामने की भुजा के मध्य तक
- 86
सममिति वाले अक्षर, अंक और शब्द
प्रेम और मनु ने HAPPY BIRTHDAY के अक्षर काटते समय सममिति रेखा वाले अक्षरों के लिए ही काग़ज़ मोड़ा : आधा बनाओ, काटो, खोलो और पूरा अक्षर तैयार।
अंग्रेज़ी बड़े अक्षर समूहों में बँटते हैं : खड़ी रेखा, आड़ी रेखा, दोनों, केवल आधा चक्कर, या कोई नहीं। अंकों और पूरे शब्दों में भी सममिति हो सकती है।
सूत्र : खड़ी : A M T U V W Y। आड़ी : B C D E K। दोनों : H I O X। केवल आधा चक्कर : N S Z। कोई नहीं : F G J L P Q R।
आकृति में : अक्षर अपनी सममिति के अनुसार समूहों में (सामान्य ब्लॉक शैली में)।
नियम 1 : अक्षर जाँचें — बीच से खड़ा और आड़ा मोड़ें, फिर आधा चक्कर दें। देखें क्या मिलता है।
- आसान : H : दोनों मोड़ मिलते हैं और आधा चक्कर भी।
- मध्यम : E : केवल आड़ा मोड़ मिलता है।
- परीक्षा-प्रकार : N : कोई मोड़ नहीं मिलता, पर आधा चक्कर मिलता है।
नियम 2 : अंक और शब्द — 0 और 8 में परावर्तन और आधे चक्कर की सममिति; 3 की आड़ी रेखा; 6 घुमाने पर 9। हर अक्षर सममित हो और शब्द उलटा पढ़ने पर वही हो तो शब्द दर्पण में सममित।
- आसान : MOM और WOW खड़े दर्पण में एक-से दिखते हैं।
- मध्यम : BOX और CODE नीचे रखे आड़े दर्पण में एक-से दिखते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : SOS आधे चक्कर के बाद एक-सा दिखता है।
यहाँ सामान्य ब्लॉक शैली के बड़े अक्षर माने गए हैं; सजावटी फ़ॉन्ट में उत्तर बदल सकता है।
N या S की सममिति रेखा मान लेना (उनमें केवल आधे चक्कर की सममिति), या M का आधे चक्कर पर एक-सा दिखना मान लेना (वह W बन जाता है)।
हर अक्षर तीन तरह जाँचें : खड़ा मोड़, आड़ा मोड़, आधा चक्कर। याद रखने की युक्ति : "HIOX में सब कुछ; NSZ केवल घुमाव।"
अंतर पहचानें
| अक्षर | खड़ी | आड़ी | आधा चक्कर |
|---|---|---|---|
| H | हाँ | हाँ | हाँ |
| A | हाँ | नहीं | नहीं |
| E | नहीं | हाँ | नहीं |
| N | नहीं | नहीं | हाँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या अक्षर A की आड़ी सममिति रेखा है?
- 2किसकी खड़ी सममिति रेखा : M या N?
- 3खड़ी और आड़ी दोनों रेखाओं वाले अक्षर बताइए।
- 4क्या E की खड़ी सममिति रेखा है?
- 5कौन-सा शब्द खड़े दर्पण में एक-सा दिखता है : MOM या MAD?
- 6आधा चक्कर देने पर कौन-सा अंक 9 जैसा दिखता है?
- 7क्या BOX नीचे रखे आड़े दर्पण में एक-सा दिखता है?
- 8क्या SOS आधा चक्कर देने पर एक-सा दिखता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2M
- 3H, I, O, X
- 4नहीं, केवल आड़ी रेखा
- 5MOM
- 66
- 7हाँ, B, O और X सभी की आड़ी रेखाएँ हैं
- 8हाँ
घूर्णन सममिति : चौथाई, आधा और तीन-चौथाई चक्कर
4 बराबर पंखुड़ियों वाली फिरकी हर चौथाई चक्कर के बाद एक-सी दिखती है। वस्तु को केंद्र के चारों ओर घुमाने पर वह वैसी ही दिखे तो वह घूर्णन सममिति है।
कोई आकृति केंद्र के चारों ओर पूरे चक्कर से छोटा चक्कर देने पर एक-सी दिखे तो उसमें घूर्णन सममिति है। चक्कर : चौथाई (1/4, 90°), आधा (1/2, 180°), तीन-चौथाई (3/4, 270°), पूरा (360°)।
सूत्र : 4 चौथाई चक्कर = 2 आधे चक्कर = 1 पूरा चक्कर = 360°। घड़ी की दिशा में क्रम : उत्तर → पूर्व → दक्षिण → पश्चिम।
आकृति में : वर्ग और चिह्नित बिंदु 1/4, 1/2, 3/4 और पूरे चक्कर के बाद। वर्ग हर बार एक-सा दिखता है, केवल बिंदु घुमाव दिखाता है।
नियम 1 : चक्कर का नाम — कितने चौथाई चक्कर हुए गिनिए। घड़ी की सुइयाँ आसान चित्र देती हैं : 15 मिनट = 1/4 चक्कर, 30 = 1/2, 45 = 3/4, 60 = पूरा।
घूर्णन सममिति : चौथाई, आधा और तीन-चौथाई चक्कर
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : उत्तर की ओर मुँह करके आधा चक्कर घड़ी की दिशा में : दक्षिण की ओर मुँह।
- मध्यम : पश्चिम की ओर मुँह करके 3/4 चक्कर घड़ी की दिशा में : दक्षिण की ओर मुँह।
- परीक्षा-प्रकार : 45 मिनट में मिनट की सुई : 3/4 चक्कर = 270°।
नियम 2 : क्या वह एक-सा दिखता है? — आकृति पर बिंदु लगाइए, केंद्र के चारों ओर घुमाइए और देखिए आकृति पुरानी रूपरेखा पर ठीक बैठती है या नहीं।
- आसान : H, N, S, Z और X आधे चक्कर के बाद एक-से दिखते हैं।
- मध्यम : M को आधा चक्कर देने पर W दिखता है : एक-सा नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : b को आधा चक्कर देने पर q दिखता है।
पूरे चक्कर के बाद आकृति हमेशा एक-सी दिखती है; घूर्णन सममिति यानी उससे छोटे चक्कर पर भी वह मिलती है।
घड़ी की दिशा और उलटी दिशा में गड़बड़ करना, या केवल पूरे चक्कर को घूर्णन सममिति मान लेना।
एक कोने पर बिंदु रखिए और देखिए वह कहाँ जाता है। याद रखने की युक्ति : "चौथाई 90, आधा 180, तीन-चौथाई 270।"
अंतर पहचानें
| चक्कर | भिन्न | अंश |
|---|---|---|
| चौथाई | 1/4 | 90° |
| आधा | 1/2 | 180° |
| तीन-चौथाई | 3/4 | 270° |
| पूरा | 1 | 360° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कितने चौथाई चक्कर मिलकर पूरा चक्कर?
- 2आधा चक्कर कितने अंश का?
- 3पूर्व की ओर मुँह, आधा चक्कर घड़ी की दिशा में। अब किस ओर?
- 4मिनट की सुई 15 मिनट चलती है। वह कौन-सा चक्कर है?
- 5अक्षर b को आधा चक्कर दिया। वह कैसा दिखता है?
- 6अक्षर M को आधा चक्कर दिया। वह कैसा दिखता है?
- 7दक्षिण की ओर मुँह, 3/4 चक्कर घड़ी की दिशा में। अब किस ओर?
- 8घंटे की सुई 12 से 6 और फिर 6 से 9 तक गई। कुल चक्कर कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 2180°
- 3पश्चिम
- 41/4 turn
- 5q
- 6W
- 7पूर्व
- 83/4 turn
पूरे चक्कर में आकृति कितनी बार एक-सी दिखती है
3 बराबर पंखुड़ियों वाला छत का पंखा एक पूरे चक्कर में 3 बार एक-सा दिखता है। 8 बराबर तीलियों वाला साइकिल का पहिया 8 बार एक-सा दिखता है।
एक पूरे चक्कर में आकृति जितनी बार एक-सी दिखे वह उसकी घूर्णन सममिति की कोटि है। n बराबर भुजाओं वाली सम आकृति की कोटि n और सबसे छोटा चक्कर पूरे का 1/n (360° ÷ n)।
सूत्र : सबसे छोटा चक्कर = 360° ÷ कोटि। सम n भुजाओं की आकृति : कोटि n और n सममिति रेखाएँ।
आकृति में : त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज और षट्भुज एक पूरे चक्कर में 3, 4, 5 और 6 बार एक-से दिखते हैं।
नियम 1 : बराबर भाग गिनें — केंद्र के चारों ओर के बराबर भाग गिनिए। वही कोटि है।
पूरे चक्कर में आकृति कितनी बार एक-सी दिखती है
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 3 बराबर पंखुड़ियों वाला पंखा : कोटि 3, छोटा चक्कर 1/3।
- मध्यम : जोड़ का चिह्न (+) : कोटि 4, छोटा चक्कर 1/4।
- परीक्षा-प्रकार : आयत (वर्ग नहीं) : कोटि 2, छोटा चक्कर 1/2।
नियम 2 : कोटि से छोटा चक्कर — 360° को कोटि से भाग दीजिए, या 1 को कोटि से भाग देकर चक्कर की भिन्न लिखिए।
- आसान : कोटि 6 : 360° ÷ 6 = 60°, यानी चक्कर का 1/6।
- मध्यम : कोटि 8 : 360° ÷ 8 = 45°, यानी चक्कर का 1/8।
- परीक्षा-प्रकार : कोटि 12 : 360° ÷ 12 = 30°।
अंतिम मिलान पूरे चक्कर का होता है, इसलिए वह कोटि में गिना जाता है।
पूरे चक्कर से पहले के मिलान ही गिनना (वर्ग की कोटि 4, 3 नहीं), या आयत (2 और 2) व समांतर चतुर्भुज (0 और 2) में रेखाएँ और कोटि गड़बड़ाना।
केंद्र के चारों ओर के बराबर भाग गिनिए; छोटा चक्कर = 360° ÷ वह संख्या। याद रखने की युक्ति : "केंद्र के चारों ओर के बराबर भाग = कोटि।"
अंतर पहचानें
| आकृति | रेखाएँ | कोटि |
|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | 3 | 3 |
| वर्ग | 4 | 4 |
| आयत | 2 | 2 |
| समांतर चतुर्भुज | 0 | 2 |
| समषट्भुज | 6 | 6 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आयत (वर्ग नहीं) पूरे चक्कर में कितनी बार एक-सा दिखता है?
- 2वर्ग पूरे चक्कर में कितनी बार एक-सा दिखता है?
- 3समषट्भुज पूरे चक्कर में कितनी बार एक-सा दिखता है?
- 4समबाहु त्रिभुज सबसे छोटे किस चक्कर के बाद पहली बार एक-सा दिखता है?
- 5पंखे में 3 बराबर पंखुड़ियाँ। पूरे चक्कर में वह कितनी बार एक-सा दिखता है?
- 6आकृति हर 1/6 चक्कर के बाद एक-सी दिखती है। पूरे चक्कर में कितनी बार?
- 7आकृति पूरे चक्कर में 8 बार एक-सी दिखती है। सबसे छोटा चक्कर कितना?
- 8रंगोली पूरे चक्कर में 12 बार स्वयं से मिलती है। सबसे छोटा चक्कर अंशों में कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 24
- 36
- 41/3 turn
- 53
- 66
- 71/8 चक्कर (45°)
- 830°
दोनों, एक या कोई सममिति न रखने वाली आकृतियाँ
आसमान में उड़ती पतंग बाएँ-दाएँ संतुलित है, पर घुमाने पर वैसी नहीं दिखती। फिरकी घुमाने पर एक-सी दिखती है, पर मोड़ने पर नहीं मिलती। आकृतियों में एक, दोनों या कोई सममिति नहीं हो सकती।
हर आकृति में दो बातें जाँचिए : (1) कोई सममिति रेखा है? (2) पूरे चक्कर से छोटा कोई चक्कर मिलता है? उत्तरों से आकृतियाँ चार समूहों में बँटती हैं : दोनों, केवल परावर्तन, केवल घूर्णन, कोई नहीं।
सूत्र : दोनों : वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समबाहु त्रिभुज, समषट्भुज। केवल परावर्तन : पतंग, समद्विबाहु त्रिभुज। केवल घूर्णन : समांतर चतुर्भुज। कोई नहीं : विषमबाहु त्रिभुज।
आकृति में : ये आकृतियाँ सममिति रेखाएँ भी दिखाती हैं और घूमकर स्वयं पर भी बैठती हैं, इसलिए इनमें दोनों तरह की सममिति है (वर्ग और आयत)। समबाहु त्रिभुज में भी दोनों।
नियम 1 : हर आकृति के लिए दो प्रश्न — पहले मोड़ की रेखा खोजिए। फिर पूरे चक्कर से छोटा चक्कर खोजिए। हर एक के लिए हाँ या नहीं लिखिए।
- आसान : वर्ग : रेखा हाँ, चक्कर हाँ : दोनों।
- मध्यम : समद्विबाहु त्रिभुज : रेखा हाँ, चक्कर नहीं : केवल परावर्तन।
- परीक्षा-प्रकार : समांतर चतुर्भुज : रेखा नहीं, चक्कर हाँ (आधा) : केवल घूर्णन।
नियम 2 : अक्षर भी यही नियम मानते हैं — H और O में दोनों; A और M में केवल परावर्तन; N और S में केवल घूर्णन; F और R में कोई नहीं।
- आसान : H : दोनों।
- मध्यम : N : केवल घूर्णन।
- परीक्षा-प्रकार : F : कोई नहीं।
आयत और समचतुर्भुज (वर्ग नहीं) की 2 रेखाएँ और कोटि 2; समांतर चतुर्भुज की रेखा नहीं पर कोटि 2।
समांतर चतुर्भुज संतुलित दिखता है इसलिए उसमें सममिति रेखाएँ मानना, या पतंग का आधे चक्कर पर एक-सा दिखना मानना।
पूछिए : मोड़? चक्कर? फिर समूह चुनिए। याद रखने की युक्ति : "मोड़ से रेखा, घुमाव से घूर्णन।"
अंतर पहचानें
| आकृति | रेखा? | चक्कर? |
|---|---|---|
| वर्ग | हाँ | हाँ |
| पतंग | हाँ | नहीं |
| समांतर चतुर्भुज | नहीं | हाँ |
| विषमबाहु त्रिभुज | नहीं | नहीं |
अभ्यास के प्रश्न
- 1पतंग में कौन-सी सममिति?
- 2समांतर चतुर्भुज में कौन-सी सममिति?
- 3अक्षर F में कौन-सी सममिति?
- 4वर्ग में कौन-सी सममिति?
- 5समद्विबाहु त्रिभुज में कौन-सी सममिति?
- 6अक्षर N में कौन-सी सममिति?
- 7दोनों तरह की सममिति वाला एक अक्षर बताइए।
- 8समचतुर्भुज (वर्ग नहीं) : कितनी सममिति रेखाएँ और कोटि कितनी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1केवल परावर्तन सममिति
- 2केवल घूर्णन सममिति
- 3कोई नहीं
- 4दोनों
- 5केवल परावर्तन सममिति
- 6केवल घूर्णन सममिति
- 7H (या I, O, X)
- 82 रेखाएँ, कोटि 2
काग़ज़ की कटाई, पैटर्न और ब्लॉक प्रिंट
राजस्थान के कारीगर लकड़ी के ब्लॉक पर डिज़ाइन उकेरकर कपड़े पर बार-बार छापते हैं। मोड़े काग़ज़ की कटाई भी ऐसी ही है : एक कट से कई मिलती हुई प्रतियाँ।
काग़ज़ मोड़ने से परतें बनती हैं; एक कट या छेद सभी परतों में जाता है। हर मोड़ से परतें दुगुनी : 1 मोड़ = 2, 2 मोड़ = 4, 3 मोड़ = 8। ब्लॉक को केंद्र के चारों ओर बराबर चक्कर देकर छापने पर घूर्णन सममिति वाला पैटर्न बनता है।
सूत्र : k मोड़ों के बाद परतें = 2 × 2 × … (k बार)। एक बार किए छेद = परतों की संख्या।
आकृति में : ऊपर : मोड़े काग़ज़ में एक छेद एक मोड़ पर 2 और दो मोड़ पर 4 बनता है। नीचे : 2 त्रिभुजों से समचतुर्भुज, 6 से षट्भुज, 4 वर्गों से बड़ा वर्ग।
नियम 1 : मोड़ो, काटो, खोलो — सममिति रेखाओं पर मोड़ें। मोड़ पर का कट जुड़कर एक आकृति; खुले किनारे का कट हर परत के लिए एक बार दोहराता है।
- आसान : दो बार मोड़, एक छेद : 4 छेद।
- मध्यम : एक मोड़, मोड़ पर अर्धवृत्त : 1 पूरा वृत्त।
- परीक्षा-प्रकार : दो मोड़, खुले किनारे पर त्रिकोण-कट : 4 कट।
नियम 2 : आकृतियों से डिज़ाइन बनाएँ — बराबर वर्ग या समबाहु त्रिभुज जोड़िए और हर नए डिज़ाइन में रेखाएँ और चक्कर जाँचिए।
- आसान : 2 त्रिभुज भुजा पर जुड़े : समचतुर्भुज, 2 रेखाएँ, कोटि 2।
- मध्यम : 6 त्रिभुज एक बिंदु के चारों ओर : षट्भुज, 6 रेखाएँ, कोटि 6।
- परीक्षा-प्रकार : ब्लॉक 4 बार, हर बार चौथाई चक्कर के अंतर पर : कोटि 4।
केवल सममिति रेखाओं पर मोड़ें। छेदों की संख्या बताने से पहले परतें गिनिए।
2 मोड़ों से 2 परतें मान लेना (4 होती हैं), या मोड़ पर के कट से दो अलग टुकड़ों की उम्मीद करना।
परतें : 2, 4, 8, … — फिर छेद = परतें। याद रखने की युक्ति : "हर मोड़ दुगुना।"
अंतर पहचानें
| मोड़ | परतें | एक छेद से छेद |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 8 | 8 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1काग़ज़ को एक बार मोड़कर मोड़ से दूर एक बार छेद किया। कितने छेद?
- 2दो बार मोड़, एक बार छेद। कितने छेद?
- 3तीन बार मोड़, एक बार छेद। कितने छेद?
- 4H अक्षर काटने के लिए मोड़े काग़ज़ पर अक्षर का कौन-सा भाग बनाते हैं?
- 5आधे मोड़े काग़ज़ के मोड़ पर अर्धवृत्त काटा। छेद का आकार?
- 6वर्गाकार काग़ज़ को दोनों विकर्णों पर मोड़ा। सिलवटों से कितने त्रिभुज?
- 76 समबाहु त्रिभुज एक बिंदु के चारों ओर जोड़े। कौन-सी आकृति और कोटि कितनी?
- 8दो बार मोड़, खुले किनारे पर त्रिकोण-कट। खोलने पर कितने कट?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 24
- 38
- 4एक-चौथाई (1/4)
- 5पूरा वृत्त
- 64
- 7षट्भुज, कोटि 6
- 84