भाग के तथ्य : N = D × Q
किसान 24 नारियल के पौधे 4 बराबर पंक्तियों में लगाता है। हर पंक्ति में कितने? बराबर बाँटना भाग है, और यह गुणा का उलटा है।
भाग यानी बराबर बाँटना या बराबर समूह बनाना। N ÷ D = Q में N भाज्य, D भाजक और Q भागफल है। हर गुणा-तथ्य से दो भाग-तथ्य बनते हैं।
सूत्र : N = D × Q। N ÷ 1 = N, N ÷ N = 1, 0 ÷ N = 0। 0 से कभी भाग न दें।
आकृति में : 4 पंक्तियाँ, हर एक में 6 वाला आरेख : 4 × 6 = 24, साथ ही 24 ÷ 4 = 6 और 24 ÷ 6 = 4।
नियम 1 : गुणा से भाग — D × Q = N हो तो N ÷ D = Q और N ÷ Q = D। जानी-पहचानी पहाड़ों से भाग निकालिए।
- आसान : 7 × 8 = 56, इसलिए 56 ÷ 7 = 8 और 56 ÷ 8 = 7।
- मध्यम : 9 × 12 = 108, इसलिए 108 ÷ 9 = 12।
- परीक्षा-प्रकार : 15 × 6 = 90, इसलिए 90 ÷ 15 = 6।
नियम 2 : विशेष स्थितियाँ — कोई संख्या 1 से भाग देने पर वही रहती है; स्वयं से भाग देने पर 1; 0 को किसी संख्या से भाग देने पर 0।
- आसान : 45 ÷ 1 = 45।
- मध्यम : 19 ÷ 19 = 1।
- परीक्षा-प्रकार : 0 ÷ 8 = 0।
भाग गुणा को उलट देता है। जाँच : भागफल × भाजक = भाज्य।
भाज्य और भाजक उलट देना (6 ÷ 24), या 0 से भाग देने की कोशिश।
सोचें : "D को किससे गुणा करें कि N मिले?" याद रखने की युक्ति : "गुणा से जाँचो, भाग से बाँटो।"
अंतर पहचानें
| गुणा | भाग 1 | भाग 2 |
|---|---|---|
| 4 × 6 = 24 | 24 ÷ 4 = 6 | 24 ÷ 6 = 4 |
| 5 × 9 = 45 | 45 ÷ 5 = 9 | 45 ÷ 9 = 5 |
| 12 × 3 = 36 | 36 ÷ 12 = 3 | 36 ÷ 3 = 12 |
अभ्यास के प्रश्न
- 17 × 8 = 56। इससे दो भाग-तथ्य लिखिए।
- 263 ÷ 9 = ?
- 3रिक्त स्थान : ___ ÷ 6 = 9
- 415 × 12 = 180। तो 180 ÷ 15 कितना?
- 59 ÷ 9 और 0 ÷ 9 कितने?
- 6108 कुर्सियाँ हर पंक्ति में 12 के हिसाब से लगाईं। कितनी पंक्तियाँ?
- 7रिक्त स्थान : 144 ÷ ___ = 12
- 8एक डिब्बे में 16 पेन। 176 पेन के लिए कितने डिब्बे?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 156 ÷ 7 = 8 और 56 ÷ 8 = 7
- 27
- 354
- 412
- 51 और 0
- 69 पंक्तियाँ
- 712
- 8176 ÷ 16 = 11 डिब्बे
10, 100 और दहाई के गुणजों से भाग
दुकानदार 1,500 पेंसिलें 30 के पैकेट में भरता है। 15 ÷ 3 = 5 पता हो तो उत्तर झटपट : 1,500 ÷ 30 = 50।
भाग में शून्यों का एक पैटर्न होता है : भाज्य और भाजक से बराबर शून्य हटाइए, छोटी संख्याओं को भाग दीजिए और बचे शून्य उत्तर में रखिए।
सूत्र : 10 के गुणज को 10 से भाग देने पर एक शून्य हट जाता है। 4,200 ÷ 70 = 420 ÷ 7 = 60।
आकृति में : भाज्य में एक शून्य बढ़ता है तो उत्तर में भी एक शून्य बढ़ता है।
नियम 1 : 10 या 100 से भाग दें — 10 के गुणज को 10 से भाग देने पर एक शून्य हटता है; 100 के गुणज को 100 से भाग देने पर दो शून्य हटते हैं।
- आसान : 3,400 ÷ 10 = 340।
- मध्यम : 7,200 ÷ 100 = 72।
- परीक्षा-प्रकार : 900 ÷ 100 = 9।
नियम 2 : दहाई के गुणज से भाग दें — दोनों संख्याओं से शून्य हटाएँ, भाग दें और गुणा करके जाँचें।
- आसान : 2,400 ÷ 60 = 240 ÷ 6 = 40।
- मध्यम : 560 ÷ 70 = 56 ÷ 7 = 8।
- परीक्षा-प्रकार : 9,000 ÷ 300 = 90 ÷ 3 = 30।
दोनों संख्याओं से बराबर शून्य हटाएँ, अलग-अलग नहीं।
केवल एक संख्या से शून्य हटाना (2,400 ÷ 60 ≠ 24 ÷ 60), या बचे शून्य भूल जाना।
बराबर शून्य हटाएँ, भाग दें, गुणा से जाँचें। याद रखने की युक्ति : "शून्य जोड़ी में जाते हैं।"
अंतर पहचानें
| भाग | शून्य हटाएँ | उत्तर |
|---|---|---|
| 1,500 ÷ 30 | 150 ÷ 3 | 50 |
| 4,200 ÷ 70 | 420 ÷ 7 | 60 |
| 8,000 ÷ 400 | 80 ÷ 4 | 20 |
अभ्यास के प्रश्न
- 180 ÷ 4 = ?
- 2900 ÷ 3 = ?
- 32,500 ÷ 5 = ?
- 4960 ÷ 12 = ?
- 54,200 ÷ 70 = ?
- 6रिक्त स्थान : ___ ÷ 40 = 30
- 7रिक्त स्थान : 3,600 ÷ ___ = 90
- 8₹7,200 80 मज़दूरों को बराबर दिए। हर एक को कितना?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 120
- 2300
- 3500
- 480
- 560
- 61,200
- 740
- 8₹90
भाग की मौखिक विधियाँ
₹1,248 को 6 दोस्तों में मन ही मन बाँटिए : ₹1,200 से ₹200 प्रत्येक, ₹48 से ₹8 प्रत्येक, इसलिए ₹208 प्रत्येक। चतुराई से तोड़ना लंबे हिसाब से आसान है।
तीन झटपट तरीक़े : भाज्य को आसान भागों में तोड़ें; पास की गोल संख्या लेकर सुधार करें; 4 या 8 से भाग के लिए बार-बार आधा करें।
सूत्र : (A + B) ÷ D = A ÷ D + B ÷ D। (A − B) ÷ D = A ÷ D − B ÷ D। ÷ 4 = दो बार आधा, ÷ 8 = तीन बार आधा।
आकृति में : ऊपर : 1,248 को 1,200 और 48 में तोड़ें, हर एक को 6 से भाग दें, जोड़ें : 200 + 8 = 208। नीचे : 8 से भाग यानी तीन बार आधा : 168, 84, 42, 21।
नियम 1 : तोड़ें या पास की संख्या लें — भाज्य को ऐसे भागों में बाँटिए जो पहाड़ों से आसानी से कटें, या पास की गोल संख्या लेकर सुधार करें।
- आसान : 936 ÷ 3 = 900 ÷ 3 + 36 ÷ 3 = 300 + 12 = 312।
- मध्यम : 1,596 ÷ 4 = (1,600 − 4) ÷ 4 = 400 − 1 = 399।
- परीक्षा-प्रकार : 1,224 ÷ 12 = 1,200 ÷ 12 + 24 ÷ 12 = 100 + 2 = 102।
नियम 2 : बार-बार आधा करें — 4 = 2 × 2 और 8 = 2 × 2 × 2 है, इसलिए 4 से भाग के लिए दो बार और 8 से भाग के लिए तीन बार आधा करें।
- आसान : 132 ÷ 4 : 132 → 66 → 33।
- मध्यम : 240 ÷ 8 : 240 → 120 → 60 → 30।
- परीक्षा-प्रकार : 456 ÷ 8 : 456 → 228 → 114 → 57।
संख्याओं से मेल खाता तरीक़ा चुनें : 3 अंकों के लिए तोड़ना, 4 और 8 के लिए आधा करना, भाज्य गोल संख्या से थोड़ा कम हो तो पास की गोल संख्या।
छोटे भाग को भाग देना भूल जाना (1,596 ÷ 4 = 400 − 4), या 4 के लिए केवल एक बार आधा करना।
तोड़ें, हर भाग को भाग दें, उत्तर जोड़ें या घटाएँ। याद रखने की युक्ति : "दो बार आधा यानी चौथाई, तीन बार आधा यानी आठवाँ।"
अंतर पहचानें
| तरीक़ा | उदाहरण | उत्तर |
|---|---|---|
| तोड़ें | 936 ÷ 3 | 312 |
| पास की संख्या | 1,596 ÷ 4 | 399 |
| दो बार आधा | 132 ÷ 4 | 33 |
| तीन बार आधा | 240 ÷ 8 | 30 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1840 ÷ 4 = ? (800 और 40 में तोड़ें)
- 2396 ÷ 3 = ? (300, 90, 6 में तोड़ें)
- 3192 ÷ 8 तीन बार आधा करके
- 41,996 ÷ 4 = ? (2,000 − 4 लें)
- 5252 ÷ 6 = ?
- 6560 ÷ 8 = ?
- 72,994 ÷ 6 = ? (3,000 − 6 लें)
- 81,236 ÷ 12 = ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1210
- 2132
- 324
- 4499
- 542
- 670
- 7499
- 8103
लंबा भाग : स्थानीय मान और आंशिक भागफल
एक फ़ार्म 3,208 नारियल 8 के क्रेट में भरता है। हज़ार, सैकड़े, दहाई और इकाई को एक-एक करके भाग देना लंबा भाग है।
लंबे भाग में हम सबसे बड़े स्थान से इकाई तक स्थान-दर-स्थान बाँटते हैं। हर स्थान को भाग देते हैं, बचे हुए को अगले छोटे स्थान में बदलते हैं और भागफल के अंक क्रम से लिखते हैं। बाँटने को कुछ न हो तो भागफल में 0।
सूत्र : भागफल के अंक ऐसे मिलते हैं : बाँटें, वापस गुणा करें, घटाएँ, अगला अंक नीचे लाएँ।
आकृति में : 324 ÷ 3 : 3 सैकड़े ÷ 3 = 1 सैकड़ा; 2 दहाई 3 में नहीं बँटतीं, इसलिए 0 दहाई और 2 दहाई के 20 इकाई; 24 इकाई ÷ 3 = 8 इकाई। भागफल 108।
नियम 1 : स्थान के अनुसार — सबसे बड़े स्थान से शुरू करें। बाँट न सके तो 0 लिखें और अगले स्थान से जोड़ें।
लंबा भाग : स्थानीय मान और आंशिक भागफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 468 ÷ 4 : 4 सै → 1 सै; 6 द → 1 द, 2 द बचे = 20 + 8 = 28; 28 ÷ 4 = 7। इसलिए 117।
- मध्यम : 3,208 ÷ 8 : 32 सै ÷ 8 = 4 सै; 0 दहाई; 8 इकाई ÷ 8 = 1। इसलिए 401।
- परीक्षा-प्रकार : 735 ÷ 5 : 7 सै ÷ 5 = 1 सै, 2 सै = 20 द; 23 द ÷ 5 = 4 द, 3 द = 30 इकाई; 35 ÷ 5 = 7। इसलिए 147।
नियम 2 : दो अंकों के भाजक — आंशिक भागफल लें : भाजक के आसान गुणज ढूँढ़ें, बार-बार घटाएँ और गुणक जोड़ें।
- आसान : 1,248 ÷ 16 : 16 × 50 = 800, बचे 448; 16 × 20 = 320, बचे 128; 16 × 8 = 128। 50 + 20 + 8 = 78।
- मध्यम : 6,075 ÷ 15 : 15 × 400 = 6,000, बचे 75; 15 × 5 = 75। 405।
- परीक्षा-प्रकार : 7,104 ÷ 32 : 32 × 200 = 6,400, बचे 704; 32 × 20 = 640, बचे 64; 32 × 2 = 64। 222।
भागफल के हर स्थान पर अंक होता है, 0 हो तो भी। जाँच : भागफल × भाजक।
भागफल का 0 छोड़ देना (3,208 ÷ 8 = 401 की जगह 41), या अगला अंक नीचे लाना भूल जाना।
पहले अनुमान : 3,208 ÷ 8 लगभग 3,200 ÷ 8 = 400। याद रखने की युक्ति : "बाँटो, गुणा करो, घटाओ, नीचे लाओ।"
अंतर पहचानें
| चरण | यह करें |
|---|---|
| 1 बाँटें | सबसे बड़े स्थान को भाग दें |
| 2 गुणा | भागफल अंक × भाजक |
| 3 घटाएँ | बचा हुआ निकालें |
| 4 नीचे लाएँ | अगला अंक बचे हुए से जोड़ें |
अभ्यास के प्रश्न
- 1468 ÷ 4 = ?
- 2735 ÷ 5 = ?
- 32,500 ÷ 5 के उत्तर में कितने अंक?
- 43,208 ÷ 8 = ?
- 51,248 ÷ 16 = ?
- 66,075 ÷ 15 = ?
- 79,024 ÷ 24 = ?
- 87,104 ÷ 32 = ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1117
- 2147
- 3500 → 3 अंक
- 4401
- 578
- 6405
- 7376
- 8222
शेषफल : N = D × Q + R
97 नारियल हर बोरी में 25 के हिसाब से भरे। 3 बोरियाँ पूरी भरीं और 22 नारियल बचे। ज़रूरी बोरियाँ 4, क्योंकि बचे हुओं को भी बोरी चाहिए।
जब संख्या पूरी नहीं बँटती तब बचा हुआ भाग शेषफल R है। यह हमेशा भाजक से छोटा होता है।
सूत्र : N = D × Q + R, जहाँ 0 ≤ R < D। Q = पूरे समूहों की संख्या।
आकृति में : 97 = 25 × 3 + 22। तीन बोरियाँ पूरी और 22 नारियल बचे; उन्हें चौथी बोरी चाहिए।
नियम 1 : Q और R निकालें — N से अधिक न हो ऐसा D का सबसे बड़ा गुणज ढूँढ़ें। वही D × Q है; अंतर R है।
शेषफल : N = D × Q + R
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें- आसान : 47 ÷ 6 : 6 × 7 = 42, 47 − 42 = 5। Q = 7, R = 5।
- मध्यम : 365 ÷ 7 : 7 × 52 = 364, 365 − 364 = 1। Q = 52, R = 1।
- परीक्षा-प्रकार : 1,000 ÷ 12 : 12 × 83 = 996, 1,000 − 996 = 4। Q = 83, R = 4।
नियम 2 : शेषफल का क्या करें — प्रश्न पढ़िए : कभी शेषफल छोड़ देते हैं (केवल पूरे डिब्बे), कभी एक समूह और चाहिए (सबको ले जाना है)।
- आसान : 250 बच्चे, बस में 30 : 250 ÷ 30 = 8 शेष 10, इसलिए 9 बसें (सबको जाना है)।
- मध्यम : 250 अंडे, ट्रे में 30 : 8 पूरे ट्रे, 10 अंडे अतिरिक्त।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 30 × 8 + 10 = 250।
शेषफल हमेशा भाजक से छोटा। जाँच : D × Q + R से N वापस मिलना चाहिए।
भाजक के बराबर या बड़ा शेष (यानी Q बहुत छोटा), या "कितने चाहिए" प्रश्न में अतिरिक्त समूह भूल जाना।
वापस गुणा करके R जोड़ें। N मिले तो भाग सही है। याद रखने की युक्ति : "बचा हुआ बाँटने वाले से हमेशा छोटा।"
अंतर पहचानें
| N ÷ D | Q | R | जाँच |
|---|---|---|---|
| 47 ÷ 6 | 7 | 5 | 6 × 7 + 5 = 47 |
| 365 ÷ 7 | 52 | 1 | 7 × 52 + 1 = 365 |
| 250 ÷ 30 | 8 | 10 | 30 × 8 + 10 = 250 |
अभ्यास के प्रश्न
- 147 ÷ 6 = ? Q और R लिखिए।
- 2100 ÷ 9 = ? Q और R लिखिए।
- 38 से भाग देने पर 9 शेष हो सकता है?
- 4365 ÷ 7 = ? Q और R लिखिए।
- 51,000 ÷ 12 = ? Q और R लिखिए।
- 6N निकालिए : N = 17 × 23 + 9
- 7250 बच्चे, हर बस में 30। कितनी बसें चाहिए?
- 82,000 ÷ 45 = ? Q और R लिखिए और जाँचिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1Q = 7, R = 5
- 2Q = 11, R = 1
- 3नहीं, शेष 8 से छोटा होना चाहिए
- 4Q = 52, R = 1
- 5Q = 83, R = 4
- 6400
- 79 बसें
- 8Q = 44, R = 20; 45 × 44 + 20 = 2,000
भाग के शब्द-प्रश्न और कथन
विक्रेता सब्ज़ी ₹40 प्रति kg बेचता है और ₹1,400 कमाता है। उसने कितने kg बेचे? असली प्रश्नों में भाग दूसरी क्रियाओं से मिलता है और कभी कोई जानकारी छूटी होती है।
प्रश्न पढ़ें, तय करें क्या पूछा है, क्रियाएँ चुनें, हल करें और जाँचें। = चिह्न वाला गणितीय कथन तब सही है जब दोनों पक्षों का मान बराबर हो।
सूत्र : कुल ÷ प्रति kg दाम = किग्रा। कुल ÷ दिन = रोज़ का। बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
आकृति में : पंक्तियों और स्तंभों में बराबर समूह : कुल ÷ समूह = हर समूह का आकार।
नियम 1 : चरणों में हल करें — हर चरण लिखें : कुल निकालें, भाग दें, फिर उत्तर अगले चरण में लें।
- आसान : तीन दोस्तों ने ₹180, ₹240 और ₹210 ख़र्च किए : कुल ₹630, हर एक का 630 ÷ 3 = ₹210।
- मध्यम : 6 घंटे में 360 km यानी 60 km प्रति घंटा; 9 घंटे में : 60 × 9 = 540 किमी।
- परीक्षा-प्रकार : 8 kg के ₹2,400 : ₹2,400 ÷ 8 = ₹300 प्रति किग्रा।
नियम 2 : कथन और छूटी जानकारी — कथन तय करने से पहले दोनों पक्षों का मान निकालिए। उत्तर के लिए ज़रूरी जानकारी न दी हो तो बताइए क्या कम है।
- आसान : 6 × 4 = 12 × 2 : दोनों पक्ष 24, इसलिए सही।
- मध्यम : 20 − 6 = 7 × 3 : 14 और 21, इसलिए ग़लत।
- परीक्षा-प्रकार : 12 कॉपियाँ और 8 पेन : एक कॉपी और एक पेन का दाम नहीं दिया।
पहले अनुमान लगाएँ और उत्तर को कहानी से मिलाएँ। इकाई हमेशा लिखें।
गुणा करना हो तब भाग देना, या कथन का केवल एक पक्ष देखना।
संख्याओं को रेखांकित करें, पूछे को घेरें, फिर एक-एक चरण करें। याद रखने की युक्ति : "पढ़ो, योजना, हल, जाँच।"
अंतर पहचानें
| प्रश्न प्रकार | क्रिया |
|---|---|
| भागों से कुल | जोड़ |
| बराबर बाँट | भाग |
| कई बराबर समूह | गुणा |
| क्या बचा | घटाव |
अभ्यास के प्रश्न
- 1144 पेंसिलें 12 डिब्बों में बराबर बाँटीं। हर एक में कितनी?
- 28 kg चावल के ₹2,400 दिए। 1 kg का दाम?
- 36 × 4 = 12 × 2 सही या ग़लत?
- 4रिक्त स्थान : 96 ÷ 8 = ___ + 4
- 5तीन दोस्तों ने ₹180, ₹240 और ₹210 ख़र्च किए और बराबर बाँटते हैं। हर एक कितना दे?
- 67 × 8 = 60 − 4 सही या ग़लत?
- 7बस 6 घंटे में 360 km जाती है। उसी चाल से 9 घंटे में कितनी दूर?
- 8एक हॉल में 480 सीटें, हर पंक्ति में 24। 5 पंक्तियाँ ख़ाली हों तो कितनी सीटें उपयोग में?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 2₹300
- 3सही (24 = 24)
- 48
- 5₹210
- 6सही (56 = 56)
- 7540 km
- 8480 ÷ 24 = 20 पंक्तियाँ; 15 पंक्तियाँ × 24 = 360