धडा ७: सांख्यिकी

आकृतीत : तीच माहिती तीन प्रकारे. जोड स्तंभालेखात भाग शेजारी, उप-विभाजितमध्ये एकावर एक, आणि टक्केवारीत सर्व स्तंभ सारख्या उंचीचे.

नियम 1 : उप-विभाजित स्तंभालेख : आधी बेरीज, मग प्रमाणातील भाग — दोन्ही संख्या जोडा. एकूण संख्येसाठी मापनाप्रमाणे उंची घ्या. खालचा भाग पहिल्या संख्येचा आणि वरचा भाग दुसऱ्या संख्येचा असतो.

• सोपे : तांदूळ 30 क्विंटल आणि कडधान्य 10 क्विंटल. एकूण 40. मापन 1 सेमी = 10 क्विंटल : स्तंभ 4 सेमी, खालचा भाग 3 सेमी आणि वरचा भाग 1 सेमी.
• मध्यम : गाईचे दूध 45 लिटर आणि म्हशीचे 15 लिटर. एकूण 60. मापन 1 सेमी = 10 लिटर : स्तंभ 6 सेमी, खालचा 4.5 सेमी आणि वरचा 1.5 सेमी.
• परीक्षेसाठी : आंबा आणि काजू झाडांचे उत्पादन (क्विंटल) : वर्ष 1 : 24 + 16 = 40; वर्ष 2 : 30 + 30 = 60; वर्ष 3 : 36 + 24 = 60. स्तंभ 4 सेमी, 6 सेमी, 6 सेमी. वर्ष 2 आणि 3 चे एकूण सारखे, पण वर्ष 3 मध्ये आंब्याचा वाटा जास्त.

नियम 2 : टक्केवारी स्तंभालेख : भाग ÷ एकूण × 100 — प्रत्येक वर्षाचे एकूण वेगळे असले तरी स्तंभ 100% उंचीचा घ्या. पहिल्या भागाचे टक्के काढा; वरचा भाग = 100 − पहिल्या भागाचे टक्के.

• सोपे : 40 विद्यार्थ्यांपैकी 12 मुली : 12 ÷ 40 × 100 = 30%. म्हणजे मुले 70%.
• मध्यम : तांदूळ 30 आणि कडधान्य 10 : एकूण 40. तांदूळ 30 ÷ 40 × 100 = 75% आणि कडधान्य 25%.
• परीक्षेसाठी : तांदूळ 30, 34, 40 आणि कडधान्य 10, 16, 10 (तीन वर्षे). एकूण 40, 50, 50. तांदूळ 75%, 68%, 80%. कडधान्य 25%, 32%, 20%. तांदळाचा वाटा तिसऱ्या वर्षी सर्वाधिक.

नियम 3 : माहिती पाहून आलेख निवडा — एकाच गोष्टीसाठी साधा, दोन गोष्टींच्या तुलनेसाठी जोड, एकूण आणि भागांसाठी उप-विभाजित, आणि भागांचे टक्के पाहण्यासाठी टक्केवारी स्तंभालेख.

आकृतीत : प्रत्येक प्रकारची माहिती कोणत्या स्तंभालेखाला योग्य आहे हे उजवीकडे दिले आहे.

• सोपे : चार गावांची साक्षरता : साधा स्तंभालेख.
• मध्यम : पाच विभागांतील मुले आणि मुली : जोड स्तंभालेख.
• परीक्षेसाठी : दोन कुटुंबांच्या खर्चातील अन्न, भाडे, शिक्षण आणि इतर यांची टक्केवारी तुलना : टक्केवारी स्तंभालेख.

फरक ओळखा

आकृतीत : वर प्राथमिक आणि दुय्यम माहिती. खाली मोठा समूह (लोकसंख्या) आणि त्यातून निवडलेला छोटा भाग (नमुना).

नियम 1 : प्राथमिक आणि दुय्यम माहिती — स्वतः गोळा केलेली माहिती प्राथमिक. इतरांनी गोळा केलेली आणि आपण वापरतो ती दुय्यम.

• सोपे : वर्गातील मुलांची उंची आपण स्वतः मोजली : प्राथमिक माहिती.
• मध्यम : जनगणनेचे आकडे पुस्तकातून घेतले : दुय्यम माहिती.
• परीक्षेसाठी : (अ) आपण शेजाऱ्यांची वीज बिले विचारली, (ब) हवामान विभागाच्या अहवालातील पाऊस, (क) वर्तमानपत्रातील भाव, (ड) आपण फाटकासमोरून गेलेली वाहने मोजली. प्राथमिक : (अ), (ड). दुय्यम : (ब), (क).

नियम 2 : ताळ्याच्या खुणा करून वारंवारता सारणी बनवा — सर्वात लहान ते सर्वात मोठा गुण एका स्तंभात लिहा. प्रत्येक गुणासाठी ताळा करा. पाचवा ताळा आधीच्या चार खुणांवर आडवा मारतात. शेवटी बेरीज N तपासा.

• सोपे : गुण 2, 3, 3, 2, 3 : गुण 2 → ||, f = 2; गुण 3 → |||, f = 3. N = 2 + 3 = 5.
• मध्यम : 20 विद्यार्थ्यांनी महिन्यात वाचलेली पुस्तके : 3, 2, 4, 3, 1, 3, 5, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 3, 2, 4, 5, 3, 1, 2. वारंवारता : 1 → 3, 2 → 5, 3 → 7, 4 → 3, 5 → 2. बेरीज 3 + 5 + 7 + 3 + 2 = 20.

आकृतीत : वरील 20 आकड्यांची ताळ्याच्या खुणा असलेली सारणी. पाचवी खूण आडवी मारली आहे.

• परीक्षेसाठी : वरील सारणीवरून : 3 पेक्षा जास्त पुस्तके वाचणारे 3 + 2 = 5; जास्तीत जास्त 2 पुस्तके वाचणारे 3 + 5 = 8; बरोबर 3 पुस्तके वाचणारे 7.

नियम 3 : लोकसंख्या आणि नमुना — सर्वांची माहिती घेणे कठीण असेल तर काही जणांचा यादृच्छिक नमुना घेऊन अभ्यास करतात. नमुना योग्य असेल तर तो संपूर्ण समूहाचे प्रतिनिधित्व करतो.

• सोपे : 800 विद्यार्थ्यांची सरासरी उंची जाणण्यासाठी निवडलेल्या 40 विद्यार्थ्यांचा समूह : नमुना.
• मध्यम : पोत्यातील तांदूळ चांगला आहे का हे तपासायला मूठभर घेतला : मूठभर तांदूळ हा नमुना, पोते म्हणजे लोकसंख्या.
• परीक्षेसाठी : 2,400 घरांपैकी 60 घरांचे सर्वेक्षण. नमुना : 60 ÷ 2,400 = 1/40 = 2.5% घरे.

फरक ओळखा

आकृतीत : वर्ग 20–30 : खालची मर्यादा 20, वरची 30, रुंदी 10 आणि वर्ग-मध्य 25.

नियम 1 : वर्गाचे भाग ओळखा — रुंदी = वरची − खालची. वर्ग-मध्य = दोन्ही मर्यादांची सरासरी. वर्ग-मध्य आणि रुंदी दिली तर वर्ग मिळतो : मध्य ± रुंदीचा निम्मा.

• सोपे : वर्ग 40–45 : रुंदी 5 आणि वर्ग-मध्य (40 + 45) ÷ 2 = 42.5.
• मध्यम : वर्ग-मध्य 35 आणि रुंदी 10. निम्मी रुंदी 5. वर्ग 35 − 5 = 30 ते 35 + 5 = 40, म्हणजे 30–40.
• परीक्षेसाठी : वर्ग-मध्य 12, 17, 22 आहेत. फरक 5, म्हणून रुंदी 5. पहिला वर्ग 12 − 2.5 = 9.5 ते 12 + 2.5 = 14.5; पुढचे 14.5–19.5 आणि 19.5–24.5.

नियम 2 : बहिर्गामी पद्धत : वरची मर्यादा वर्गात धरत नाहीत — वर्ग सलग लिहितात : 0–10, 10–20, 20–30. गुण 10 हा 0–10 मध्ये नाही तर 10–20 मध्ये जातो. दशांश संख्याही बसतात.

• सोपे : वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 मध्ये गुण 10 कुठे? 10–20 मध्ये.
• मध्यम : 30 विद्यार्थ्यांचे गुण (50 पैकी), रुंदी 10 : 0–10 → 4, 10–20 → 5, 20–30 → 6, 30–40 → 6, 40–50 → 9. बेरीज 30.

• परीक्षेसाठी : तेच 30 गुण रुंदी 5 घेतली : 2, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 3, 5, 4 (दहा वर्ग). बेरीज 30. रुंदी बदलली तरी N तोच राहतो.

नियम 3 : समावेशक पद्धत : दोन्ही मर्यादा वर्गात धरतात — पूर्ण संख्यांसाठी वर्ग असे लिहितात : 6–10, 11–15, 16–20. गुण 10 हा 6–10 मध्ये आणि 11 हा 11–15 मध्ये जातो.

आकृतीत : दोन्ही पद्धतींत 15 कुठे जातो ते पाहा. समावेशकमध्ये वर्गांमध्ये फट असते, बहिर्गामीमध्ये नसते.

• सोपे : वर्ग 6–10 आणि 11–15 : गुण 10 → 6–10 आणि गुण 11 → 11–15.
• मध्यम : समावेशक वर्ग 11–15 चा वर्ग-मध्य (11 + 15) ÷ 2 = 13.
• परीक्षेसाठी : गुण 7, 12, 15, 16, 20, 9, 13, 18, 11, 6, 10 आणि वर्ग 6–10, 11–15, 16–20 : 6–10 → 6, 7, 9, 10 = 4; 11–15 → 11, 12, 13, 15 = 4; 16–20 → 16, 18, 20 = 3. N = 11.

फरक ओळखा

आकृतीत : 40 विद्यार्थ्यांच्या गुणांची सारणी. खाली जाताना पेक्षा कमी स्तंभ जोडून आणि किंवा जास्त स्तंभ वजा करून मिळतो.

नियम 1 : पेक्षा कमी : वरून खाली जोडत जा — पहिल्या वर्गाची संचयी वारंवारता त्याच्या वारंवारतेएवढीच. पुढच्या वर्गाची = आधीची संचयी + त्या वर्गाची वारंवारता. शेवटी N मिळाला पाहिजे.

• सोपे : वारंवारता 3 आणि 5 : पेक्षा कमी संचयी 3 आणि 3 + 5 = 8.
• मध्यम : 30 विद्यार्थी : 0–10 → 3, 10–20 → 7, 20–30 → 11, 30–40 → 6, 40–50 → 3. संचयी : 3, 10, 21, 27, 30. म्हणजे 30 पेक्षा कमी गुण मिळवणारे 21.
• परीक्षेसाठी : वरील आकृतीतील 40 विद्यार्थी : 4, 9, 15, 12 ⇒ 4, 13, 28, 40. 30 पेक्षा कमी गुणवाले 28.

नियम 2 : किंवा जास्त : N मधून वजा करत जा — पहिल्या वर्गाची संचयी = N. पुढची = आधीची − आधीच्या वर्गाची वारंवारता. शेवटच्या वर्गाची संचयी त्याच्या वारंवारतेएवढी असते.

• सोपे : N = 8, वारंवारता 3 आणि 5 : किंवा जास्त संचयी 8 आणि 8 − 3 = 5.
• मध्यम : वरील 30 विद्यार्थी : 30, 27, 20, 9, 3. म्हणजे 20 किंवा जास्त गुणवाले 20 आणि 40 किंवा जास्त गुणवाले 3.

• परीक्षेसाठी : 40 विद्यार्थी : 40, 40 − 4 = 36, 36 − 9 = 27, 27 − 15 = 12. 20 किंवा जास्त गुणवाले 27.

नियम 3 : संचयी सारणीवरून उत्तरे वाचा — "x पेक्षा कमी" साठी पेक्षा कमी स्तंभ. "x किंवा जास्त" साठी दुसरा स्तंभ. दोन मर्यादांमधील संख्या = दोन संचयींचा फरक.

• सोपे : वरील 40 विद्यार्थी, 30 पेक्षा कमी : 28.
• मध्यम : 10 किंवा जास्त पण 30 पेक्षा कमी : 28 − 4 = 24 (म्हणजे 9 + 15).
• परीक्षेसाठी : तेच 24 दुसऱ्या स्तंभावरूनही मिळतात : 10 किंवा जास्त 36 आणि 30 किंवा जास्त 12; 36 − 12 = 24.

फरक ओळखा

नियम 1 : मध्य : बेरीज ÷ संख्या — सर्व संख्या जोडा आणि किती आहेत त्याने भागा. वारंवारता सारणी असेल तर प्रत्येक गुण × त्याची वारंवारता जोडा आणि N ने भागा.

आकृतीत : मध्य हा तराजूचा समतोल बिंदू आहे. 7 च्या दोन्ही बाजूंचे अंतर 9 आणि 9 असे सारखे आहे.

• सोपे : 4, 6, 8, 10, 12 : बेरीज 40; 40 ÷ 5 = 8.
• मध्यम : 3, 4, 5, 9, 14 : बेरीज 35; 35 ÷ 5 = 7 (आकृतीप्रमाणे).
• परीक्षेसाठी : पुस्तकांची सारणी (1 → 3, 2 → 5, 3 → 7, 4 → 3, 5 → 2, N = 20) : Σ f × x = 3 + 10 + 21 + 12 + 10 = 56. मध्य = 56 ÷ 20 = 2.8 पुस्तके.

नियम 2 : मध्यक : आधी चढत्या क्रमात मांडा — विषम संख्या असतील तर बरोबर मधली. सम संख्या असतील तर मधल्या दोन संख्यांची सरासरी.

आकृतीत : 7 संख्यांमध्ये चौथी मधली. 6 संख्यांमध्ये तिसरी आणि चौथी संख्या मधली.

• सोपे : 12, 15, 18, 20, 23, 27, 31 (7 संख्या) : चौथी संख्या 20 ⇒ मध्यक 20.
• मध्यम : 8, 10, 13, 15, 19, 22 (6 संख्या) : मधल्या 13 आणि 15; (13 + 15) ÷ 2 = 14.
• परीक्षेसाठी : 25, 12, 18, 30, 9, 21 : आधी चढत्या क्रमात 9, 12, 18, 21, 25, 30. मधल्या 18 आणि 21; मध्यक (18 + 21) ÷ 2 = 19.5.

नियम 3 : बहुलक : सर्वात जास्त वारंवारता — ज्या संख्येची वारंवारता सर्वात जास्त ती बहुलक. दोन संख्यांची वारंवारता सारखी आणि सर्वात जास्त असेल तर दोन बहुलक. कुठलीच संख्या पुन्हा येत नसेल तर बहुलक नाही.

आकृतीत : सर्वात उंच स्तंभ म्हणजे बहुलक. येथे बुटाचा आकार 7 सर्वात जास्त वेळा आहे.

• सोपे : बुटाचे आकार 5, 6, 7, 8, 9 ची वारंवारता 3, 7, 12, 6, 2 : सर्वात जास्त 12, म्हणून बहुलक 7.
• मध्यम : 4, 6, 6, 7, 9, 9, 10 : 6 आणि 9 प्रत्येकी दोनदा; दोन बहुलक : 6 आणि 9.
• परीक्षेसाठी : 3, 5, 8, 9 : कुठलीच संख्या पुन्हा येत नाही; बहुलक नाही.

फरक ओळखा