धडा १: भौमितिक रचना | राज्य मंडळ · इयत्ता 7 · गणित

दुभाजक, अंतर्वर्तुळकेंद्र आणि परिवर्तुळकेंद्र

रोजच्या जीवनातून

पिझ्झाचे अगदी दोन समान तुकडे करायचे असतील तर आपण मधून सरळ कापतो. ती कापण्याची रेषा म्हणजे "दुभाजक".

कोनदुभाजक : कोनाचे दोन समान भाग करणारी किरण. खालच्या आकृतीत ∠AOB = 72°; दुभाजक OP ने तो 36° आणि 36° असा विभागला.

90° चा कोन दुभाजला तर प्रत्येक भाग 45°.
110° चा कोन दुभाजला तर प्रत्येक भाग 55°.

Live आकृती

दुभाजक, अंतर्वर्तुळकेंद्र आणि परिवर्तुळकेंद्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

लंबदुभाजक : रेषाखंडाला त्याच्या मध्यबिंदूतून 90° ने छेदणारी रेषा. तो रेषाखंडाचे दोन समान भाग करतो.

PS = 8 सेमी असेल तर PM = MS = 4 सेमी आणि ∠CMP = 90°.
रेषाखंड 10 सेमी चा असेल तर प्रत्येक अर्धा भाग 5 सेमी.

Live आकृती

दुभाजक, अंतर्वर्तुळकेंद्र आणि परिवर्तुळकेंद्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

त्रिकोणाचे तिन्ही कोनदुभाजक एकाच बिंदूतून जातात : त्या बिंदूला अंतर्वर्तुळकेंद्र (I) म्हणतात.

I नेहमी त्रिकोणाच्या आत असतो.
I पासून तिन्ही बाजूंवरील लंब IA, IB, IC समान असतात. म्हणून I केंद्र घेऊन काढलेले वर्तुळ तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते.

Live आकृती

दुभाजक, अंतर्वर्तुळकेंद्र आणि परिवर्तुळकेंद्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंचे लंबदुभाजक एकाच बिंदूतून जातात : त्या बिंदूला परिवर्तुळकेंद्र (C) म्हणतात.

C पासून तिन्ही शिरोबिंदू समान अंतरावर असतात : CX = CY = CZ. म्हणून C केंद्र घेऊन काढलेले वर्तुळ तिन्ही शिरोबिंदूंतून जाते.
उदाहरण : तीन गावांपासून समान अंतरावर पाण्याची टाकी बांधायची असेल, तर ती त्या गावांनी बनणाऱ्या त्रिकोणाच्या परिवर्तुळकेंद्रावर बांधावी.

परिवर्तुळकेंद्र त्रिकोणाच्या कुठे असते?

त्रिकोणाचा प्रकार	परिवर्तुळकेंद्र
लघुकोन त्रिकोण (सर्व कोन 90° पेक्षा लहान)	त्रिकोणाच्या आत
काटकोन त्रिकोण	कर्णाच्या मध्यबिंदूवर
विशालकोन त्रिकोण (एक कोन 90° पेक्षा मोठा)	त्रिकोणाच्या बाहेर

Live आकृती

दुभाजक, अंतर्वर्तुळकेंद्र आणि परिवर्तुळकेंद्र

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

लक्षात ठेवा

अंतर्वर्तुळकेंद्र (I) नेहमी आत असते. परिवर्तुळकेंद्र (C) प्रकारानुसार आत, कर्णावर किंवा बाहेर असते.

सोपी युक्ती

I = Inside (आत), "इनसेंटर" म्हणजे कोनदुभाजक. C = Circle through corners (कोपऱ्यांतून जाणारे वर्तुळ), "सर्कमसेंटर" म्हणजे लंबदुभाजक.

सामान्य चूक

दोन्ही बिंदू एकच समजणे. कोनदुभाजकांचा संगम I; बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा संगम C.

फरक ओळखा

मुद्दा	अंतर्वर्तुळकेंद्र (I)	परिवर्तुळकेंद्र (C)
कशाचा संगम?	तीन कोनदुभाजक	बाजूंचे तीन लंबदुभाजक
समान अंतर कशापासून?	तिन्ही बाजूंपासून	तिन्ही शिरोबिंदूंपासून
स्थान	नेहमी आत	आत / कर्णावर / बाहेर

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

190° च्या कोनाचा दुभाजक काढला तर प्रत्येक भाग किती?
210 सेमी च्या रेषाखंडाचा लंबदुभाजक त्याचे किती किती लांबीचे भाग करतो?
3तीन कोनदुभाजक ज्या बिंदूत भेटतात त्याचे नाव काय?

मध्यम

4त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंपासून समान अंतरावर असणारा बिंदू कोणता?
5तीन गावांपासून समान अंतरावर टाकी बांधायची आहे; कोणता बिंदू निवडाल?
6काटकोन त्रिकोणात परिवर्तुळकेंद्र कुठे असते?

आव्हानात्मक

7एका त्रिकोणाच्या परिवर्तुळकेंद्रापासून शिरोबिंदू X पर्यंतचे अंतर 5 सेमी आहे. परिवर्तुळाचा व्यास किती?
8विशालकोन त्रिकोणात I आणि C कुठे असतात?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

145° 2) 5 सेमी आणि 5 सेमी 3) अंतर्वर्तुळकेंद्र
4अंतर्वर्तुळकेंद्र (I) 5) परिवर्तुळकेंद्र (C) 6) कर्णाच्या मध्यबिंदूवर
7CX = CY = CZ = 5 सेमी म्हणजे त्रिज्या 5 सेमी, म्हणून व्यास 10 सेमी.
8I त्रिकोणाच्या आत; C त्रिकोणाच्या बाहेर.

तीन बाजूंवरून त्रिकोण रचना

रोजच्या जीवनातून

घर बांधण्यापूर्वी कागदावर नकाशा काढतात. तसेच त्रिकोण काढण्यापूर्वी एक ढोबळ आकृती काढतात; त्यामुळे पायऱ्या ठरवणे सोपे जाते.

ढोबळ आकृतीचा नियम : दिलेली मापे आकृतीत दाखवा आणि सर्वांत लांब बाजू आकृतीतही सर्वांत लांब काढा.

कधी रचना शक्य नसते? फक्त दोन बाजू दिल्या तर अनेक त्रिकोण बनतात; म्हणून तिसरी माहिती लागते.

नियम : तीन बाजू दिल्या असतील तर सर्वांत लांब बाजू पाया घ्या; बाकीच्या दोन बाजूंचे कंस काढून त्यांच्या छेदनबिंदूवर तिसरा शिरोबिंदू मिळतो.

पायऱ्या (AB = 9 सेमी, BC = 6 सेमी, CA = 7 सेमी)

1) AB = 9 सेमी हा पाया काढा.
2) कंपास 7 सेमी वर ठेवा, टोक A वर ठेवून कंस काढा.
3) कंपास 6 सेमी वर ठेवा, टोक B वर ठेवून पहिल्या कंसाला छेदा. छेदनबिंदू = C.
4) AC आणि BC जोडा. ΔABC तयार.

Live आकृती

तीन बाजूंवरून त्रिकोण रचना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोडवलेली उदाहरणे

सोपे : DE = 7 सेमी, EF = 5 सेमी, DF = 4.5 सेमी. पाया DE = 7 सेमी; D वर 4.5 सेमी चा कंस; E वर 5 सेमी चा कंस; छेदनबिंदू F.
मध्यम : समभुज त्रिकोण, बाजू 5.5 सेमी. पाया 5.5 सेमी; दोन्ही टोकांवरून 5.5 सेमी चे कंस; छेदनबिंदू तिसरा शिरोबिंदू.
परीक्षेसाठी : समद्विभुज त्रिकोण, पाया 4 सेमी, समान बाजू 5 सेमी. पाया 4 सेमी; दोन्ही टोकांवरून 5 सेमी चे कंस काढा.

बाजूंची अट : कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असली पाहिजे. उदा. 3 सेमी, 2 सेमी आणि 7 सेमी यांचा त्रिकोण बनत नाही, कारण 3 + 2 = 5, जे 7 पेक्षा लहान आहे; दोन कंस एकमेकांना भेटतच नाहीत.

लक्षात ठेवा

पाया म्हणून सर्वांत लांब बाजू घेतली की रचना सुलभ होते. कंस पायाच्या विरुद्ध बाजूला काढला तर त्याच मापाचा, आरशातील प्रतिमेसारखा त्रिकोण मिळतो.

सामान्य चूक

कंपासचे माप बदलणे किंवा टोक चुकीच्या बिंदूवर ठेवणे. एका कंसासाठी एकच माप आणि एकच केंद्र.

फरक ओळखा

त्रिकोणाचा प्रकार	बाजू	रचना
समभुज	तिन्ही समान	दोन्ही कंसांची त्रिज्या = बाजू
समद्विभुज	दोन समान	दोन्ही कंस समान त्रिज्येचे
विषमभुज	तिन्ही वेगळ्या	दोन कंस वेगळ्या त्रिज्येचे

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1तीन बाजू दिल्या तर कोणती बाजू पाया घ्याल?
2रचनेत किती कंस काढावे लागतात?
37 सेमी, 9 सेमी आणि 12 सेमी चा त्रिकोण काढता येईल का?

मध्यम

43 सेमी, 4 सेमी आणि 8 सेमी चा त्रिकोण काढता येईल का?
5बाजू 5.5 सेमी चा समभुज त्रिकोण काढताना कंसांची त्रिज्या किती?
6पाया 11 सेमी आणि समान बाजू 6 सेमी चा समद्विभुज त्रिकोण काढता येतो का?

आव्हानात्मक

72.5 सेमी, 3 सेमी आणि 6 सेमी चा त्रिकोण का बनत नाही?
8बाजू 8 सेमी, 6.5 सेमी आणि 5.5 सेमी असलेल्या त्रिकोणाची परिमिती किती?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1सर्वांत लांब बाजू 2) दोन 3) हो; 7 + 9 = 16 > 12
4नाही; 3 + 4 = 7, जे 8 पेक्षा लहान आहे. 5) 5.5 सेमी 6) हो; 6 + 6 = 12 > 11
72.5 + 3 = 5.5, जे 6 पेक्षा लहान आहे; कंस भेटत नाहीत.
88 + 6.5 + 5.5 = 20 सेमी

बाजू आणि कोन यांवरून त्रिकोण रचना

रोजच्या जीवनातून

कात्रीचे दोन पाते आणि त्यांच्यातील उघडलेला कोन दिला की कात्रीचा आकार ठरतो. त्रिकोणाच्याही दोन बाजू आणि त्यांमधील कोन ठरला की त्रिकोण ठरतो.

प्रकार (अ) : दोन बाजू आणि त्यांमधील कोन

पायऱ्या (PQ = 6.5 सेमी, ∠P = 68°, PR = 5 सेमी)

1) PQ = 6.5 सेमी हा पाया काढा.
2) P वर 68° चा कोन करून किरण PG काढा.
3) कंपास 5 सेमी वर ठेवा, टोक P वर ठेवून PG ला R वर छेदा.
4) QR जोडा. किरण पायाच्या विरुद्ध बाजूलाही काढता येतो.

प्रकार (ब) : दोन कोन आणि त्यांमधील बाजू

पायऱ्या (PQ = 7 सेमी, ∠P = 55°, ∠Q = 65°)

1) PQ = 7 सेमी काढा.
2) P वर 55° आणि Q वर 65° चे कोन एकाच बाजूला काढा.
3) दोन किरण R वर भेटतात. ΔPQR तयार; ∠R = 180° − 55° − 65° = 60°.

Live आकृती

बाजू आणि कोन यांवरून त्रिकोण रचना

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोडवलेली उदाहरणे

सोपे : दोन कोन 50° आणि 60° असतील तर तिसरा = 180° − 110° = 70°.
मध्यम : ∠D = 56°, ∠E = 74°, बाजू DF = 6.5 सेमी. आधी ∠F = 180° − 130° = 50°. आता DF ही बाजू ∠D आणि ∠F यांच्यामध्ये येते, म्हणून "दोन कोन आणि त्यांमधील बाजू" प्रकाराने त्रिकोण काढता येतो.
परीक्षेसाठी : ∠X = 35°, ∠Y = 75°. तिसरा ∠Z = 180° − 110° = 70°. कोणतीही बाजू दिली तर ती दोन कोनांच्या मधली म्हणून वापरता येते.

लक्षात ठेवा

कोन "दोन बाजूंमधला" असला पाहिजे, नाहीतर रचना वेगळी (कधी कधी दोन त्रिकोण) येते. दिलेली बाजू दोन कोनांमध्ये नसेल तर आधी तिसरा कोन काढा.

शॉर्टकट

दोन कोन माहीत असतील तर तिसरा लगेच मिळतो : 180° − (दोन कोनांची बेरीज).

सामान्य चूक

कोन करताना चुकीची बाजू वापरणे. 68° चा कोन पाया PQ आणि किरण PG यांच्यात असतो, तो P वर, Q वर नाही.

फरक ओळखा

मुद्दा	दोन बाजू + मधला कोन	दोन कोन + मधली बाजू
पहिले काय काढतो?	पाया	पाया
कंपास लागतो का?	हो, एका कंसासाठी	नाही; फक्त कोनमापक
तिसरा शिरोबिंदू कसा?	कंसाने किरण छेदून	दोन किरणांच्या छेदाने

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1दोन कोन 50° आणि 60° असतील तर तिसरा कोन किती?
2"दोन बाजू आणि कोन" रचनेत कोन दोन बाजूंच्या मधला असावा का?
3दोन कोन आणि मधली बाजू दिल्यास तिसरा शिरोबिंदू कसा मिळतो?

मध्यम

4∠A = 45°, ∠B = 85° असेल तर ∠C किती?
5100° आणि 80° असे दोन कोन असलेला त्रिकोण का बनत नाही?
6∠P = 38°, ∠R = 72° आणि बाजू PQ दिली आहे. ∠Q किती आणि PQ कोणत्या कोनांच्या मधे आहे?

आव्हानात्मक

7∠D = 56°, ∠E = 74° आणि DF = 6.5 सेमी असेल तर रचना कशी कराल?
8दोन कोन 55° आणि 65° असून मधली बाजू 7 सेमी आहे. तिसरा कोन किती?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

170° 2) हो 3) दोन किरणांच्या छेदनबिंदूवर
4180° − 130° = 50° 5) 100° + 80° = 180°, म्हणजे तिसरा कोन 0° येतो. 6) ∠Q = 70°; PQ हा ∠P आणि ∠Q यांच्यामध्ये आहे.
7∠F = 50°; DF हा ∠D आणि ∠F यांच्यामधली बाजू, म्हणून तो पाया घेऊन ∠D = 56° आणि ∠F = 50° काढा.
8180° − 120° = 60°

काटकोन त्रिकोण आणि विशेष प्रसंग

रोजच्या जीवनातून

भिंतीला टेकवलेली शिडी आणि जमीन यांच्यात काटकोन होतो. शिडी ही सर्वांत लांब बाजू म्हणजेच कर्ण.

कर्ण : काटकोनासमोरची बाजू. ती त्रिकोणाची सर्वांत लांब बाजू असते.

रचना (कर्ण 7 सेमी आणि एक बाजू MN = 5 सेमी, ∠M = 90°)

1) MN = 5 सेमी हा पाया काढा.
2) M वर 90° चा किरण MT काढा.
3) कंपास 7 सेमी वर ठेवा, टोक N वर ठेवून MT ला L वर छेदा.
4) LN जोडा. LN हा कर्ण.

Live आकृती

काटकोन त्रिकोण आणि विशेष प्रसंग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

सोडवलेली उदाहरणे

सोपे : ∠B = 90°, कर्ण AC = 6.5 सेमी, BC = 3.9 सेमी. BC काढा, B वर 90°, C वरून 6.5 सेमी चा कंस.
मध्यम : कर्ण 6 सेमी आणि एक बाजू 8 सेमी असलेला काटकोन त्रिकोण बनत नाही, कारण कर्ण सर्वांत लांब असतो.
परीक्षेसाठी : काटकोन त्रिकोणात एक कोन 90° असेल तर इतर दोन कोनांची बेरीज 90° असते.

विशेष प्रसंग १ : त्रिकोण काढता येत नाही.

∠A = 95° आणि ∠B = 120° : बेरीज 215°, जी 180° पेक्षा जास्त आहे.
बाजू 2.5 सेमी, 3 सेमी आणि 6 सेमी : दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा लहान.

विशेष प्रसंग २ : दोन वेगळे त्रिकोण मिळतात. BC = 9.5 सेमी, CA = 6.5 सेमी, ∠B = 38° दिले तर C वरून काढलेला कंस किरणाला दोन बिंदूंत (A आणि A′) छेदतो; दोन त्रिकोण मिळतात.

Live आकृती

काटकोन त्रिकोण आणि विशेष प्रसंग

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

विशेष प्रसंग ३ : फक्त तीन कोन दिले. कोन 60°, 50°, 70° असे दिले आणि बाजू दिली नाही, तर अनेक त्रिकोण बनतात. ते सारख्याच आकाराचे पण वेगवेगळ्या मोठेपणाचे असतात.

लक्षात ठेवा

कर्ण सर्वांत लांब बाजू. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज नेहमी 180°.

सामान्य चूक

कंपासचे टोक चुकीच्या बिंदूवर ठेवणे. कर्णाचा कंस काटकोन नसलेल्या टोकावरून (N) काढतात, काटकोनाच्या टोकावरून (M) नाही.

फरक ओळखा

माहिती	निष्कर्ष
दोन कोनांची बेरीज 180° किंवा जास्त	त्रिकोण बनत नाही
दोन बाजू आणि एक कोन (मधला नाही)	कधी कधी दोन त्रिकोण
फक्त तीन कोन	अनेक त्रिकोण (आकार सारखा)
कर्ण आणि एक बाजू (काटकोन)	एक त्रिकोण

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1काटकोन त्रिकोणाची सर्वांत लांब बाजू कोणती?
2काटकोन त्रिकोणात काटकोन किती अंशाचा असतो?
3कर्णाची रचना करताना कंपासचे टोक कुठे ठेवतात?

मध्यम

4कर्ण 6 सेमी आणि एक बाजू 8 सेमी चा काटकोन त्रिकोण बनतो का?
5∠A = 90° आणि ∠B = 95° असा त्रिकोण बनतो का?
6कंस किरणाला दोन बिंदूंत छेदला तर किती त्रिकोण मिळतात?

आव्हानात्मक

7फक्त तीन कोन 60°, 50°, 70° दिले तर किती त्रिकोण बनतात?
8काटकोन त्रिकोणात एक कोन 35° आहे. तिसरा कोन किती?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1कर्ण 2) 90° 3) काटकोन नसलेल्या टोकावर (उदा. N)
4नाही; कर्ण सर्वांत लांब असतो. 5) नाही; 90° + 95° = 185° > 180°. 6) दोन
7अनेक; सारख्या आकाराचे पण वेगवेगळ्या मापांचे. 8) 180° − 90° − 35° = 55°

रेषाखंड, कोन आणि वर्तुळांची एकरूपता

रोजच्या जीवनातून

एकाच नोटेच्या दोन प्रती एकमेकांवर ठेवल्या तर त्या तंतोतंत बसतात. त्यांना एकरूप म्हणतात. चिन्ह ≅.

एकरूप रेषाखंड : समान लांबीचे रेषाखंड एकरूप असतात.

सोपे : रेख EF = 5 सेमी आणि रेख GH = 5 सेमी, म्हणून रेख EF ≅ रेख GH.
नियम : रेख EF ≅ रेख GH असेल तर रेख GH ≅ रेख EF. आणि रेख GH ≅ रेख JK असेल तर रेख EF ≅ रेख JK.

एकरूप कोन : समान मापाचे कोन एकरूप असतात. भुजा लहान असोत किंवा मोठ्या, फरक पडत नाही.

आकृतीत ∠ABC ≅ ∠PQR (प्रत्येकी 40°). ∠STU = 55° असल्याने तो त्यांच्याशी एकरूप नाही.

एकरूप वर्तुळे : समान त्रिज्येची वर्तुळे एकरूप असतात.

वर्तुळ P ≅ वर्तुळ Q (दोन्ही 1.8 सेमी), पण वर्तुळ R (2.2 सेमी) त्यांच्याशी एकरूप नाही.
व्यास दिला तर त्याचा निम्मा करून त्रिज्या मिळवा : व्यास 8 सेमी म्हणजे त्रिज्या 4 सेमी.

Live आकृती

रेषाखंड, कोन आणि वर्तुळांची एकरूपता

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

लक्षात ठेवा

रेषाखंडांसाठी लांबी बघा, कोनांसाठी माप बघा, वर्तुळांसाठी त्रिज्या बघा. भुजांची लांबी कोनाच्या एकरूपतेवर परिणाम करत नाही.

सामान्य चूक

मोठ्या भुजांचा कोन मोठा समजणे. 40° चा कोन भुजा किती लांब काढल्या तरी 40° च राहतो.

फरक ओळखा

वस्तू	एकरूप कधी?	उदाहरण
रेषाखंड	लांबी समान	5 सेमी आणि 5 सेमी
कोन	माप समान	40° आणि 40°
वर्तुळ	त्रिज्या समान	1.8 सेमी आणि 1.8 सेमी

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

15 सेमी आणि 5 सेमी चे रेषाखंड एकरूप आहेत का?
240° चा कोन आणि भुजा वेगळ्या असलेला 40° चा कोन एकरूप आहेत का?
3त्रिज्या 3 सेमी आणि 3 सेमी ची वर्तुळे एकरूप आहेत का?

मध्यम

4रेख AB ≅ रेख CD आणि रेख CD ≅ रेख EF असेल तर AB आणि EF बद्दल काय म्हणता येईल?
5व्यास 8 सेमी चे वर्तुळ आणि त्रिज्या 4 सेमी चे वर्तुळ एकरूप आहेत का?
6त्रिज्या 2 सेमी आणि 2.5 सेमी ची वर्तुळे एकरूप आहेत का?

आव्हानात्मक

740° चा एक कोन 3 सेमी भुजांचा आणि दुसरा 6 सेमी भुजांचा आहे. ते एकरूप आहेत का?
87.2 सेमी आणि 7.3 सेमी चे रेषाखंड एकरूप आहेत का?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

1हो 2) हो; माप समान 3) हो
4AB ≅ EF 5) हो; व्यास 8 म्हणजे त्रिज्या 4 6) नाही; त्रिज्या वेगळ्या
7हो; माप समान असल्याने भुजांच्या लांबीचा परिणाम नाही. 8) नाही; लांबी वेगळी.