श्रीनिवास रामानुजन
दरवर्षी 22 डिसेंबरला शाळा राष्ट्रीय गणित दिन साजरा करतात. तो एका लहान गावातील मुलाचा जन्मदिवस आहे, ज्याला संख्यांचे इतके प्रेम होते की तो जगप्रसिद्ध झाला.
श्रीनिवास रामानुजन हे थोर भारतीय गणितज्ञ होते; त्यांनी संख्याशास्त्र, विश्लेषण आणि अनंत श्रेणींवर काम केले.
नियम 1 : त्यांचे जीवन — रामानुजन यांचा जन्म इरोड (तेव्हा मद्रास प्रांतात) येथे 22-12-1887 रोजी झाला आणि मृत्यू 26-04-1920 रोजी. ते सुमारे 32 वर्षांचे होते.
आकृतीत : आकृतीत रामानुजन यांची कालरेषा.
- सोपे : जन्म 1887 मध्ये, मृत्यू 1920 मध्ये.
- मध्यम : 1920 − 1887 = 33, पण एप्रिल 1920 मध्ये त्यांचा वाढदिवस (डिसेंबर) आलेला नव्हता, म्हणून वय 32.
- परीक्षेसाठी : त्यांचा जन्म तेव्हाच्या मद्रास प्रांतातील इरोड येथे झाला.
नियम 2 : त्यांचे कार्य आणि राष्ट्रीय गणित दिन — सुमारे 4000 प्रमेये सिद्ध केल्यामुळे ते प्रसिद्ध झाले. त्यांचा जन्मदिवस 22 डिसेंबर दरवर्षी राष्ट्रीय गणित दिन (National Mathematics Day) म्हणून साजरा होतो. 1887 ते 2026 म्हणजे 139 वर्षे.
- सोपे : 2026 − 1887 = 139 वर्षे.
- मध्यम : त्यांची शंभरावी जयंती 1887 + 100 = 1987 मध्ये होती.
- परीक्षेसाठी : त्यांची 150 वी जयंती 1887 + 150 = 2037 मध्ये येईल.
जन्म 22-12-1887, इरोड. मृत्यू 26-04-1920. राष्ट्रीय गणित दिन : 22 डिसेंबर.
वाढदिवसाचा महिना न तपासता वय 1920 − 1887 = 33 काढणे.
आठवणीची युक्ती : "बावीस बारा — गणित दिन".
फरक ओळखा
| तथ्य | माहिती |
|---|---|
| जन्म | 22-12-1887 |
| मृत्यू | 26-04-1920 |
| प्रमेये | सुमारे 4000 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1रामानुजन यांचा जन्म केव्हा झाला?
- 2त्यांचा जन्म कुठे झाला?
- 3राष्ट्रीय गणित दिन कोणता?
- 4त्यांचा मृत्यू किती वयात झाला?
- 5त्यांनी काम केलेली दोन क्षेत्रे सांगा.
- 61887 च्या जन्मापासून 2026 पर्यंत किती वर्षे?
- 7त्यांनी सुमारे किती प्रमेये सिद्ध केली?
- 8त्यांची शंभरावी जयंती कोणत्या वर्षी होती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 122-12-1887.
- 2इरोड.
- 322 डिसेंबर.
- 4सुमारे 32 वर्षे.
- 5संख्याशास्त्र आणि अनंत श्रेणी (किंवा विश्लेषण).
- 62026 − 1887 = 139.
- 7सुमारे 4000.
- 81987.
रामानुजन चौरस
रामानुजन यांनी स्वतःची जन्मतारीख संख्या-चौरसाच्या पहिल्या ओळीत लिहिली आणि त्या चौरसाचा गुणधर्म अप्रतिम आहे. प्रत्येक ओळ त्याच संख्येइतकी बेरीज देते.
जादुई चौरसात (magic square) प्रत्येक ओळ, प्रत्येक स्तंभ आणि दोन्ही कर्ण सारखीच बेरीज देतात; तिला जादुई बेरीज म्हणतात.
नियम 1 : रामानुजन चौरस — त्याच्या ओळी 22, 12, 18, 87 / 88, 17, 9, 25 / 10, 24, 89, 16 / 19, 86, 23, 11. पहिली ओळ म्हणजे तारीख 22 12 18 87. प्रत्येक रेषेची बेरीज 139.
आकृतीत : आकृतीत रामानुजन जादुई चौरस.
- सोपे : ओळ 2 : 88 + 17 + 9 + 25 = 139.
- मध्यम : स्तंभ 2 : 12 + 17 + 24 + 86 = 139.
- परीक्षेसाठी : कर्ण : 87 + 9 + 24 + 19 = 139. दुसरा कर्ण : 22 + 17 + 89 + 11 = 139.
नियम 2 : हरवलेल्या संख्या शोधणे — हरवलेली संख्या = जादुई बेरीज − इतर तीन. ओळ 2 मध्ये 17 हरवला तर : 139 − (88 + 9 + 25) = 17. सर्व 16 संख्यांची बेरीज 4 × 139 = 556.
- सोपे : ओळ 3 मध्ये 89 हरवला : 139 − (10 + 24 + 16) = 89.
- मध्यम : स्तंभ 3 मध्ये 9 हरवला : 139 − (18 + 89 + 23) = 9.
- परीक्षेसाठी : 16 संख्यांच्या 4 ओळी, प्रत्येकी 139, म्हणून एकूण 4 × 139 = 556.
रामानुजन चौरस
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाजादुई बेरीज 139. ओळी, स्तंभ, कर्ण. हरवलेली संख्या = 139 − इतर तीन.
कर्ण विसरणे. त्यांचीही बेरीज 139.
आठवणीची युक्ती : "सर्व रेषा १३९".
फरक ओळखा
| रेषा | बेरीज |
|---|---|
| प्रत्येक ओळ | 139 |
| प्रत्येक स्तंभ | 139 |
| प्रत्येक कर्ण | 139 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पहिल्या ओळीची (22, 12, 18, 87) बेरीज किती?
- 2रामानुजन चौरसाची जादुई बेरीज किती?
- 34 × 4 चौरसाला किती ओळी असतात?
- 4? शोधा : 19, 86, ?, 11.
- 5? शोधा : स्तंभ 87, 25, 16, ?.
- 6सर्व 16 संख्यांची एकूण बेरीज किती?
- 7पडताळा : 22 + 17 + 89 + 11.
- 8चौरसाची पहिली ओळ विशेष का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1139.
- 2139.
- 34.
- 4139 − 116 = 23.
- 5139 − 128 = 11.
- 64 × 139 = 556.
- 7139, एक कर्ण.
- 8ती रामानुजन यांची जन्मतारीख आहे, 22 12 18 87.
ब्रह्म मनोरा (टॉवर ऑफ हनोई)
एका जुन्या कथेनुसार पुजारी 64 सोन्याच्या चकत्या एका खांबावरून दुसऱ्यावर हलवतात. त्यावर आधारित कोडे म्हणजे हनोईचा मनोरा, ज्याला ब्रह्म मनोरा असेही म्हणतात.
हनोईच्या मनोऱ्यात (Tower of Hanoi) तीन काड्या आणि वेगवेगळ्या आकाराच्या चकत्या असतात, सर्वांत मोठी खाली. पूर्ण चळत दुसऱ्या काडीवर न्यायची आहे.
नियम 1 : नियम — (1) एका वेळी एकच चकती हलवा. (2) मोठी चकती लहान चकतीवर कधीही ठेवू नका. (3) शेवटी सर्व चकत्या काडी 3 वर मूळ क्रमाने असाव्यात.
आकृतीत : आकृतीत हनोईचा मनोरा.
- सोपे : 1 चकतीला 1 हालचाल.
- मध्यम : 2 चकत्यांना 3 हालचाली : लहान काडी 2 वर, मोठी काडी 3 वर, लहान काडी 3 वर.
- परीक्षेसाठी : 3 चकत्यांना कमीतकमी 7 हालचाली.
नियम 2 : हालचालींचा नमुना — कमीतकमी हालचाली : 1 चकती → 1, 2 → 3, 3 → 7, 4 → 15, 5 → 31, 6 → 63, 7 → 127. प्रत्येक जास्तीच्या चकतीने हालचाली दुप्पट होऊन 1 वाढतो, म्हणून n चकत्यांना t = 2ⁿ − 1.
- सोपे : 4 चकत्यांना 2 × 7 + 1 = 15 हालचाली.
- मध्यम : 5 चकत्यांना 2 × 15 + 1 = 31 हालचाली.
- परीक्षेसाठी : 8 चकत्यांना 2⁸ − 1 = 256 − 1 = 255 हालचाली.
ब्रह्म मनोरा (टॉवर ऑफ हनोई)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाएका वेळी एक चकती. मोठी लहानावर नाही. t = 2ⁿ − 1.
मोठी चकती लहानावर ठेवणे. हा नियम मोडतो.
आठवणीची युक्ती : "चकत्या n, हालचाली दोनाचा n-वा घात वजा एक".
फरक ओळखा
| चकत्या | किमान हालचाली |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 7 |
| 4 | 15 |
सरावासाठी प्रश्न
- 11 चकतीला किती हालचाली?
- 22 चकत्यांना किती हालचाली?
- 33 चकत्यांना किती हालचाली?
- 44 चकत्यांना किती हालचाली?
- 56 चकत्यांना किती हालचाली?
- 67 चकत्यांना किती हालचाली?
- 78 चकत्यांना किती हालचाली?
- 8एक हालचाल 1 सेकंद घेत असेल तर 5 चकत्यांना किती वेळ लागेल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11.
- 23.
- 37.
- 415.
- 563.
- 6127.
- 72⁸ − 1 = 255.
- 831 हालचाली = 31 सेकंद.
तराजूने हलकी वस्तू शोधणे
दुकानदाराकडे सारखी दिसणारी 9 पाकिटे आहेत, पण एक पाकीट थोडे हलके आहे. फक्त पारड्याच्या तराजूने तो फक्त 2 वजनांत हलके पाकीट शोधू शकतो.
पारड्याच्या तराजूत (pan balance) वर गेलेल्या पारड्यात हलकी वस्तू असते. दोन्ही पारडी समतोल राहिली तर वस्तूंचे वजन समान.
नियम 1 : 3 पैकी हलकी शोधणे — 1 ला 1 शी तोलून पाहा. एक पारडे वर गेले तर ती वस्तू हलकी. समतोल राहिले तर बाजूला ठेवलेली तिसरी वस्तू हलकी. म्हणून 3 वस्तूंत हलकी शोधायला 1 वजन पुरते.
आकृतीत : आकृतीत पारड्याच्या तराजूची पद्धत.
- सोपे : पारडे A वर गेले, म्हणून पारडे A मधील वस्तू हलकी.
- मध्यम : दोन्ही पारडी समतोल, म्हणून दोन वस्तूंचे वजन समान.
- परीक्षेसाठी : सारख्या दिसणाऱ्या 3 वस्तूंत हलकी शोधायला 1 वजन पुरते.
नियम 2 : 9 आणि 27 वस्तू — 9 वस्तूंत 3 ला 3 शी तोला. समतोल राहिले तर हलकी बाजूला ठेवलेल्या 3 मध्ये; नाहीतर वर गेलेल्या पारड्यात. मग त्या 3 च्या गटातून 1 ला 1 शी तोला. फक्त 2 वजने पुरतात. नमुना : 1 वजन 3 वस्तू, 2 वजने 9, 3 वजने 27 (3 × 3 × 3).
- सोपे : 9 वस्तूंना 2 वजने.
- मध्यम : 27 वस्तूंना 3 वजने.
- परीक्षेसाठी : 81 वस्तूंना 4 वजने कारण 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
वर = हलके. समतोल = समान. तीन समान गट करा.
दोन गट करणे. तीन गट जास्त जलद आहेत.
आठवणीची युक्ती : "तीन गट, तीन पट".
फरक ओळखा
| वजने | वस्तू |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
| 4 | 81 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1हलकी वस्तू कोणत्या पारड्यात असते?
- 2दोन्ही पारडी समतोल असतील तर त्याचा अर्थ काय?
- 33 वस्तूंत हलकी शोधायला किती वजने?
- 49 वस्तूंना किती वजने?
- 527 वस्तूंना किती वजने?
- 681 वस्तूंना किती वजने?
- 79 वस्तूंच्या पायऱ्या सांगा.
- 810 वस्तू 2 वजनांत सोडवता येतील का? का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1वर गेलेल्या पारड्यात.
- 2वस्तूंचे वजन समान.
- 31.
- 42.
- 53.
- 64.
- 73 ला 3 शी तोला; हलका गट म्हणजे वर गेलेले पारडे (समतोल असेल तर बाजूचे 3); मग त्या गटातून 1 ला 1 शी तोला.
- 8नेहमी नाही; 2 वजने जास्तीत जास्त 9 वस्तू हाताळतात.
चौरसांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज
वेगवेगळ्या आकाराचे दोन चौरस गालिचे कापून जोडून एक मोठा चौरस गालिचा बनवता येतो. कापड वाया जात नाही, म्हणून क्षेत्रफळे मिळवली जातात.
दोन चौरस कापून एका चौरसात मांडले तर नव्या चौरसाचे क्षेत्रफळ दोन क्षेत्रफळांची बेरीज असते. परिमिती मिळवल्या जात नाहीत.
नियम 1 : दोन चौरस जोडणे — 8 बाजूचा चौरस (क्षेत्रफळ 64) आणि 4 बाजूचा चौरस (क्षेत्रफळ 16) घ्या. ते जोडा आणि खुणांवर कापा. तुकड्यांपासून एक नवा चौरस बनतो ज्याचे क्षेत्रफळ 64 + 16 = 80. क्षेत्रफळे मिळवली जातात, पण 8 + 4 ही नवी बाजू नाही.
आकृतीत : आकृतीत दोन चौरस जोडणे.
- सोपे : 2 आणि 1 बाजूंचे चौरस : नवे क्षेत्रफळ 4 + 1 = 5.
- मध्यम : 6 आणि 8 बाजूंचे चौरस : 36 + 64 = 100, म्हणून नव्या चौरसाची बाजू 10.
- परीक्षेसाठी : परिमिती 32 आणि 16 मिळून 48, पण नव्या चौरसाची परिमिती कमी आहे; परिमिती मिळवत नाहीत.
नियम 2 : बौधायन-पायथागोरस कल्पना — 3 आणि 4 बाजूंनी नव्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 9 + 16 = 25, म्हणून बाजू 5. त्याच प्रकारे 5 आणि 12 वरून 25 + 144 = 169, बाजू 13.
- सोपे : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
- मध्यम : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
- परीक्षेसाठी : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
क्षेत्रफळे मिळवतात. परिमिती मिळवत नाहीत. 3, 4, 5 हे पहिले उदाहरण.
बाजू मिळवून 3 + 4 = 7 नवी बाजू म्हणणे. नवी बाजू 5 आहे.
आठवणीची युक्ती : "क्षेत्रफळ + क्षेत्रफळ = नवे क्षेत्रफळ".
फरक ओळखा
| बाजू | नवा चौरस |
|---|---|
| 3 आणि 4 | क्षेत्रफळ 25, बाजू 5 |
| 6 आणि 8 | क्षेत्रफळ 100, बाजू 10 |
| 5 आणि 12 | क्षेत्रफळ 169, बाजू 13 |
सरावासाठी प्रश्न
- 12 आणि 1 बाजूंचे चौरस जोडले. नवे क्षेत्रफळ काढा.
- 23 आणि 4 बाजूंचे चौरस. नवे क्षेत्रफळ काढा.
- 325 क्षेत्रफळाच्या चौरसाची बाजू किती?
- 46 आणि 8 बाजूंचे चौरस. नवे क्षेत्रफळ आणि बाजू काढा.
- 55 आणि 12 बाजूंचे चौरस. नवी बाजू काढा.
- 68 आणि 4 बाजूंचे चौरस. नवे क्षेत्रफळ काढा.
- 7दोन चौरसांच्या परिमिती नव्या चौरसाच्या परिमितीइतक्या मिळतात का?
- 83 + 4 = 7 ही नव्या चौरसाची बाजू का नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14 + 1 = 5.
- 29 + 16 = 25.
- 35.
- 4100 आणि 10.
- 525 + 144 = 169, बाजू 13.
- 664 + 16 = 80.
- 7नाही. फक्त क्षेत्रफळे मिळवली जातात.
- 8क्षेत्रफळे मिळवतात (9 + 16 = 25), बाजू नाही; बाजू 5.