स्थिति, संदर्भ बिंदु, गति और विराम
आप कहते हैं कि आपका दोस्त 'स्कूल के गेट के पास' बैठा है। पर पास किसके मुकाबले? जगह बताने के लिए यह बताना पड़ता है कि हम कहाँ से नाप रहे हैं।
स्थिति बताती है कि वस्तु कहाँ है: चुने हुए संदर्भ बिंदु (मूलबिंदु) से उसकी दूरी और दिशा। सीधी रेखा पर एक ओर को धन (+) और दूसरी ओर को ऋण (−) मानते हैं। यदि वस्तु की स्थिति समय के साथ बदलती है तो वह गतिमान है और नहीं बदलती तो विराम में है। दोनों बातें चुने हुए संदर्भ बिंदु पर निर्भर हैं। क्षण समय का एक बिंदु है, जबकि अंतराल दो क्षणों के बीच का समय है।
आकृति में : स्थिति बताने के लिए संदर्भ बिंदु और दिशा के लिए चिह्न चाहिए।
नियम 1 : पहले संदर्भ बिंदु तय करें — गति और विराम सापेक्ष होते हैं। यात्री बस की सीट के सापेक्ष विराम में है, पर सड़क के सापेक्ष गति में है।
- आसान : चलती रेल में रखी किताब आपके सापेक्ष विराम में है, पर प्लेटफ़ॉर्म के सापेक्ष गति में है।
- मध्यम : चलती गाड़ी से देखने पर पेड़ पीछे जाता हुआ लगता है।
- परीक्षा-प्रकार : स्कूल के गेट को मूलबिंदु मानें तो पूर्व में 50 m पर स्थित दुकान +50 m पर है।
नियम 2 : दिशा चिह्न से बताई जाती है — मूलबिंदु के एक ओर की स्थिति धन और दूसरी ओर की ऋण होती है, इसलिए एक संख्या से दूरी और दिशा दोनों पता चलती हैं।
- आसान : पूर्व को धन मानें तो मूलबिंदु से 30 m पश्चिम के कुएँ की स्थिति −30 m है।
- मध्यम : +20 m से +50 m तक जाने पर स्थिति 30 m बढ़ी।
- परीक्षा-प्रकार : −10 m और +10 m की स्थितियाँ मूलबिंदु से बराबर दूरी पर, पर विपरीत ओर हैं।
संदर्भ बिंदु बताइए, धन दिशा तय कीजिए, फिर स्थिति चिह्न सहित पढ़िए।
यह सोचना कि वस्तु 'गतिमान' या 'विराम' में होना निरपेक्ष है। यह हमेशा संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है।
याद रखने की युक्ति : सं-चि-स्थि — संदर्भ, चिह्न, स्थिति। पहले संदर्भ, फिर चिह्न, तब स्थिति बताइए।
अंतर पहचानें
| पद | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| स्थिति | मूलबिंदु से दूरी और दिशा | गेट से +40 m |
| गति | समय के साथ स्थिति बदलती है | सड़क पर जाती साइकिल |
| विराम | स्थिति नहीं बदलती | खड़ी साइकिल |
अभ्यास के प्रश्न
- 1संदर्भ बिंदु क्या है?
- 2वस्तु कब गतिमान कही जाती है?
- 3ऋण स्थिति का क्या अर्थ है?
- 4एक ही यात्री एक ही समय में विराम और गति में कैसे हो सकता है?
- 5स्थिति बताते समय दूरी के साथ चिह्न क्यों चाहिए?
- 6क्षण और अंतराल में क्या अंतर है?
- 7गेट से दुकान 60 m पूर्व में और मंदिर 80 m पश्चिम में है। पूर्व को धन मानकर दोनों स्थितियाँ लिखिए।
- 8एक लड़का +15 m से −5 m तक गया। उसकी स्थिति कितनी बदली?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1वह स्थिर बिंदु जिससे स्थिति नापी जाती है।
- 2जब संदर्भ बिंदु के सापेक्ष समय के साथ स्थिति बदलती है।
- 3वस्तु मूलबिंदु के उस ओर है जिसे ऋण माना गया है।
- 4विराम और गति संदर्भ बिंदु पर निर्भर हैं, इसलिए यात्री सीट के सापेक्ष विराम में और सड़क के सापेक्ष गति में हो सकता है।
- 5केवल दूरी से यह पता नहीं चलता कि वस्तु मूलबिंदु के किस ओर है।
- 6क्षण समय का एक बिंदु है; अंतराल दो क्षणों के बीच का समय है।
- 7दुकान +60 m, मंदिर −80 m।
- 8−5 − 15 = −20 m, यानी स्थिति 20 m घटी।
तय की गई दूरी और विस्थापन
एक साइकिल सवार लड़की 400 m के पार्क का चक्कर लगाती है और ठीक वहीं रुकती है जहाँ से चली थी। उसके पैर थके हैं, फिर भी वह कहती है कि वह 'कहीं गई ही नहीं'। दोनों बातें सच हैं, और दो अलग राशियाँ इसे समझाती हैं।
दूरी चले हुए पथ की कुल लंबाई है; इसमें केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं। विस्थापन स्थिति में परिवर्तन है, यानी अंतिम स्थिति − प्रारंभिक स्थिति; इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। दोनों मीटर (m) में नापे जाते हैं। विस्थापन का परिमाण दूरी से कभी अधिक नहीं होता, और दोनों तभी बराबर होते हैं जब वस्तु बिना लौटे सीधी रेखा में चले।
आकृति में : दूरी पथ गिनती है; विस्थापन केवल स्थिति का परिवर्तन गिनता है।
नियम 1 : विस्थापन = अंतिम स्थिति − प्रारंभिक स्थिति — यह केवल इस पर निर्भर है कि आप कहाँ से शुरू हुए और कहाँ रुके, किस रास्ते से गए इस पर नहीं।
- आसान : +10 m से +70 m तक चलने पर विस्थापन +60 m।
- मध्यम : +70 m से वापस +10 m आने पर विस्थापन −60 m।
- परीक्षा-प्रकार : ट्रैक का चक्कर लगाकर शुरुआत पर लौटने पर विस्थापन 0।
नियम 2 : दूरी विस्थापन के परिमाण से कभी कम नहीं होती — दूरी में पथ का हर हिस्सा जुड़ता है, इसलिए लौटने से दूरी बढ़ती है पर विस्थापन घट सकता है।
- आसान : 30 m पूर्व और 10 m वापस पश्चिम चलने पर दूरी 40 m, विस्थापन 20 m पूर्व की ओर।
- मध्यम : टैक्सी मीटर दूरी दिखाता है, विस्थापन नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 5 m पूर्व और 5 m पश्चिम चलने पर दूरी 10 m पर विस्थापन 0।
दूरी : पूरा पथ जोड़ें। विस्थापन : अंतिम स्थिति में से प्रारंभिक स्थिति घटाएँ, चिह्न सहित।
यह मानना कि वस्तु चली हो तो विस्थापन शून्य नहीं हो सकता। चक्कर लगाकर लौटने पर विस्थापन शून्य होता है पर दूरी बड़ी होती है।
याद रखने की युक्ति : दू-प, वि-अं-प्रा — दूरी यानी पथ; विस्थापन यानी अंतिम घटा प्रारंभिक।
अंतर पहचानें
| बिंदु | दूरी | विस्थापन |
|---|---|---|
| अर्थ | पथ की लंबाई | स्थिति में परिवर्तन |
| दिशा | नहीं | है (चिह्न) |
| चक्कर लगाकर लौटने पर शून्य? | नहीं | हाँ |
अभ्यास के प्रश्न
- 1दूरी और विस्थापन की परिभाषा लिखिए।
- 2विस्थापन का SI मात्रक क्या है?
- 3दूरी और विस्थापन का परिमाण कब बराबर होता है?
- 4एक लड़की 12 m पूर्व और फिर 5 m पश्चिम चलती है। उसकी दूरी और विस्थापन ज्ञात कीजिए।
- 5विस्थापन शून्य होने पर भी दूरी शून्य क्यों नहीं होती?
- 6टैक्सी मीटर दूरी क्यों दर्ज करता है, विस्थापन क्यों नहीं?
- 7एक धावक 200 m के ट्रैक का एक पूरा चक्कर लगाकर शुरुआत पर लौट आती है। उसकी दूरी और विस्थापन बताइए।
- 8एक लड़का सीधी रेखा पर −8 m से +12 m तक जाता है। उसका विस्थापन और चली हुई दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1दूरी पथ की कुल लंबाई है; विस्थापन दिशा सहित स्थिति का परिवर्तन है।
- 2मीटर (m)।
- 3जब वस्तु बिना लौटे सीधी रेखा में चले।
- 4दूरी 17 m; विस्थापन 7 m पूर्व की ओर।
- 5क्योंकि लंबे रास्ते के बाद भी प्रारंभिक और अंतिम स्थिति एक ही हो सकती है।
- 6क्योंकि किराया रास्ते की लंबाई पर तय होता है, यात्रा कहाँ खत्म हुई इस पर नहीं।
- 7दूरी 200 m; विस्थापन 0।
- 8विस्थापन +20 m; दूरी 20 m।
औसत चाल और औसत वेग
एक बस 3 घंटे में 120 km जाती है, पर चालक सिग्नल पर रुकता रहा और कभी बहुत तेज़ चलाई। बस हर समय एक ही चाल से नहीं चली, फिर भी पूरी यात्रा के लिए हम एक संख्या बता सकते हैं।
औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय, और औसत वेग = विस्थापन ÷ समय अंतराल। चाल की कोई दिशा नहीं होती, वेग की होती है। दोनों m/s या km/h में नापे जाते हैं, और 1 km/h = 5/18 m/s। यदि बराबर समय में चाल समान रहे तो गति एकसमान है, अन्यथा असमान।
आकृति में : चाल के लिए दूरी; वेग के लिए विस्थापन।
औसत चाल और औसत वेग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : औसत के लिए समय से भाग दें — औसत चाल = दूरी ÷ समय और औसत वेग = विस्थापन ÷ समय।
- आसान : 10 s में 50 m चलने पर औसत चाल 5 m/s।
- मध्यम : 6 s में 30 m पूर्व की ओर विस्थापन हो तो वेग 5 m/s पूर्व की ओर।
- परीक्षा-प्रकार : 20 s में 100 m का चक्कर लगाकर लौटने पर औसत चाल 5 m/s पर औसत वेग 0।
नियम 2 : सूत्र लगाने से पहले मात्रक बदलें — km/h को m/s में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें; m/s को km/h में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें।
- आसान : 36 km/h = 36 × 5/18 = 10 m/s।
- मध्यम : 20 m/s = 20 × 18/5 = 72 km/h।
- परीक्षा-प्रकार : वाहन का स्पीडोमीटर चाल दिखाता है, वेग नहीं।
हर में समय वही रहता है; चाल के लिए ऊपर दूरी और वेग के लिए ऊपर विस्थापन।
वेग के सूत्र में दूरी लगाना। वेग के लिए विस्थापन चाहिए, इसलिए चक्कर लगाकर लौटने पर औसत वेग शून्य होता है।
याद रखने की युक्ति : चा-दू, वे-वि — चाल में दूरी, वेग में विस्थापन; दोनों को समय से भाग दें।
अंतर पहचानें
| बिंदु | औसत चाल | औसत वेग |
|---|---|---|
| सूत्र | दूरी ÷ समय | विस्थापन ÷ समय |
| दिशा | नहीं | है |
| चक्कर लगाकर लौटने पर | शून्य नहीं | शून्य |
अभ्यास के प्रश्न
- 1औसत चाल का सूत्र लिखिए।
- 254 km/h को m/s में बदलिए।
- 3बराबर समय में चाल बदलती हो तो वह कैसी गति है?
- 4चक्कर लगाकर लौटने पर औसत वेग शून्य पर औसत चाल शून्य नहीं होती, ऐसा क्यों?
- 5स्पीडोमीटर चाल क्यों दिखाता है, वेग क्यों नहीं?
- 6एक धावक 20 s में 100 m दौड़ती है। उसकी औसत चाल क्या है और वह क्या बताती है?
- 7एक रेल 1.5 घंटे में 90 km जाती है। उसकी औसत चाल km/h और m/s में ज्ञात कीजिए।
- 8एक लड़का 40 m पूर्व और 40 m वापस पश्चिम 20 s में चलता है। उसकी औसत चाल और औसत वेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय।
- 254 × 5/18 = 15 m/s।
- 3असमान गति।
- 4चक्कर लगाकर लौटने पर विस्थापन शून्य होता है, पर चली हुई कुल दूरी शून्य नहीं होती।
- 5वह केवल यह दिखाता है कि वाहन कितनी तेज़ चल रहा है, दिशा नहीं।
- 65 m/s; वह औसतन हर सेकंड 5 m चलती है।
- 760 km/h, यानी लगभग 16.7 m/s।
- 8औसत चाल 4 m/s; औसत वेग 0।
औसत त्वरण
स्कूटर का एक्सीलेरेटर दबाते ही वह आगे खिंचती-सी लगती है; ब्रेक दबाने पर धीमी हो जाती है। दोनों बार वेग बदल रहा होता है, और जो झटका महसूस होता है वह इस पर निर्भर है कि वेग कितनी जल्दी बदला।
औसत त्वरण वेग में परिवर्तन को लगे समय से भाग देने पर मिलता है: a = (v − u) ÷ t, जहाँ u प्रारंभिक वेग और v अंतिम वेग है। इसका SI मात्रक m/s² है। चिह्न दिशा बताता है: धन दिशा में वेग बढ़े तो a धन; वस्तु धीमी हो तो a ऋण (मंदन)। वेग स्थिर हो तो त्वरण शून्य। पृथ्वी के पास मुक्त रूप से गिरती वस्तुओं का त्वरण g = 9.8 m/s² नीचे की ओर होता है।
आकृति में : त्वरण वेग में परिवर्तन की दर है, चिह्न सहित।
औसत त्वरण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : a = (v − u) ÷ t — अंतिम वेग में से प्रारंभिक वेग घटाइए और लगे समय से भाग दीजिए।
- आसान : 4 s में वेग 0 से 12 m/s हुआ तो a = 3 m/s²।
- मध्यम : 3 s में वेग 20 m/s से 5 m/s हुआ तो a = −5 m/s²।
- परीक्षा-प्रकार : 15 m/s के स्थिर वेग से चलती गाड़ी का a = 0।
नियम 2 : त्वरण और वेग की दिशा — त्वरण वेग की दिशा में हो तो चाल बढ़ती है; विपरीत दिशा में हो तो घटती है।
- आसान : ऊपर फेंकी गई गेंद धीमी होती है, क्योंकि g उसके वेग के विपरीत है।
- मध्यम : नीचे गिरती गेंद तेज़ होती है, क्योंकि g उसके वेग की दिशा में है।
- परीक्षा-प्रकार : ब्रेक लगाने पर त्वरण गति की विपरीत दिशा में होता है।
पहले v − u निकालिए, चिह्न रखिए, फिर t से भाग दीजिए।
यह मानना कि ऋण त्वरण का अर्थ हमेशा वेग घटना है। यह वेग की दिशा पर भी निर्भर है।
याद रखने की युक्ति : वे-वे-स — (अंतिम वेग − प्रारंभिक वेग) ÷ समय। 'v minus u over t' बोलिए।
अंतर पहचानें
| स्थिति | वेग | त्वरण |
|---|---|---|
| सीधी रेखा में स्थिर चाल | स्थिर | शून्य |
| वेग बढ़ना | बढ़ता है | वेग की दिशा में |
| वेग घटना | घटता है | वेग के विपरीत |
अभ्यास के प्रश्न
- 1औसत त्वरण का सूत्र लिखिए।
- 2त्वरण का SI मात्रक क्या है?
- 3पृथ्वी के पास g का मान कितना है?
- 4अधिक चाल से चलती वस्तु का त्वरण शून्य कैसे हो सकता है?
- 5ब्रेक लगाते वाहन का त्वरण ऋण क्यों होता है?
- 6ऊपर फेंकी गेंद के लिए g वेग के विपरीत क्यों होता है, समझाइए।
- 7एक स्कूटर 6 s में 4 m/s से 16 m/s पर जाती है। उसका त्वरण ज्ञात कीजिए।
- 8एक साइकिल सवार 5 s में 12 m/s से 2 m/s पर आता है। त्वरण ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसका चिह्न क्या दर्शाता है।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1a = (v − u) ÷ t।
- 2m/s²।
- 39.8 m/s² नीचे की ओर।
- 4त्वरण वेग में परिवर्तन है; वेग स्थिर रहे तो कितनी भी चाल हो, त्वरण शून्य।
- 5वेग घटता है, इसलिए वेग का परिवर्तन गति के विपरीत होता है।
- 6क्योंकि गेंद ऊपर जा रही है और g नीचे है, इसलिए गेंद धीमी होती है।
- 7a = (16 − 4) ÷ 6 = 2 m/s²।
- 8a = −2 m/s²; ऋण चिह्न बताता है कि वेग घट रहा है।
स्थिति-समय ग्राफ़
जीपीएस ट्रैकर हर मिनट यह बताने वाली रेखा खींचता है कि धावक शुरुआत से कितनी दूर है। उस रेखा को ध्यान से पढ़ें तो बिना उसे देखे पता चल जाता है कि वह दौड़ रही है, रुकी है या तेज़ हो रही है।
स्थिति–समय ग्राफ़ में ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थिति और क्षैतिज अक्ष पर समय लेते हैं। इसकी ढाल वेग देती है। सीधी तिरछी रेखा स्थिर वेग, क्षैतिज रेखा विराम, और वक्र रेखा बदलता वेग, यानी त्वरित गति दिखाती है। रेखा जितनी तेज़ ढालू, चाल उतनी अधिक, और नीचे जाती रेखा ऋण दिशा की गति दिखाती है।
आकृति में : स्थिति–समय ग्राफ़ की ढाल वेग होती है।
स्थिति-समय ग्राफ़
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : ढाल = वेग — वेग = ग्राफ़ के दो बिंदुओं के बीच स्थिति में परिवर्तन ÷ समय में परिवर्तन।
- आसान : 4 s में स्थिति 0 से 20 m हुई तो वेग 5 m/s।
- मध्यम : क्षैतिज रेखा की ढाल शून्य, इसलिए वेग शून्य।
- परीक्षा-प्रकार : नीचे जाती रेखा ऋण वेग दिखाती है।
नियम 2 : रेखा का आकार गति का प्रकार बताता है — सीधी रेखा एकसमान गति; वक्र असमान गति।
- आसान : सीधी तेज़ रेखा तेज़ एकसमान गति दर्शाती है।
- मध्यम : ऊपर की ओर मुड़ती रेखा बढ़ती चाल दर्शाती है।
- परीक्षा-प्रकार : ऊपर चढ़कर फिर समतल होती रेखा गति और फिर विराम दर्शाती है।
रेखा की ढाल देखिए: तेज़, समतल, वक्र या नीचे जाती।
समतल रेखा को 'स्थिर चाल से चलना' पढ़ना। स्थिति–समय ग्राफ़ में समतल रेखा का अर्थ है कि वस्तु विराम में है।
याद रखने की युक्ति : स्थि–स ढाल = वेग। समतल = विराम, सीधी = एकसमान, वक्र = बदलता।
अंतर पहचानें
| स्थि–स ग्राफ़ का आकार | अर्थ | वेग |
|---|---|---|
| क्षैतिज रेखा | विराम | शून्य |
| सीधी तिरछी रेखा | एकसमान गति | स्थिर |
| वक्र रेखा | असमान गति | बदलता |
अभ्यास के प्रश्न
- 1स्थिति–समय ग्राफ़ की ढाल क्या देती है?
- 2स्थिति–समय ग्राफ़ में क्षैतिज रेखा क्या दर्शाती है?
- 3वक्र स्थिति–समय ग्राफ़ क्या संकेत करता है?
- 4स्थिति–समय ग्राफ़ में तेज़ ढाल वाली रेखा तेज़ गति क्यों दर्शाती है?
- 5नीचे जाती स्थिति–समय रेखा ऋण वेग क्यों दर्शाती है?
- 6ग्राफ़ से कैसे पहचानेंगे कि वस्तु रुक गई?
- 7स्थिति–समय ग्राफ़ में सीधी रेखा पर 6 s में स्थिति 10 m से 40 m हुई। वेग ज्ञात कीजिए।
- 8एक ग्राफ़ 10 s में 0 से 30 m तक चढ़ता है, 5 s समतल रहता है, फिर 5 s में 60 m तक चढ़ता है। प्रत्येक भाग का वेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1वेग।
- 2वस्तु विराम में है।
- 3असमान गति, जिसमें वेग बदल रहा है।
- 4तेज़ रेखा उतने ही समय में अधिक स्थिति परिवर्तन दिखाती है।
- 5समय के साथ स्थिति घटती है, यानी विस्थापन ऋण दिशा में है।
- 6रेखा क्षैतिज हो जाती है।
- 7(40 − 10) ÷ 6 = 5 m/s।
- 8पहला भाग 3 m/s, समतल भाग 0, अंतिम भाग 6 m/s।
वेग-समय ग्राफ़
बाइक के स्पीडोमीटर की सुई चालक के तेज़ होते ही ऊपर चढ़ती है। उस सुई की रीडिंग हर सेकंड नोट करके ग्राफ़ बनाएँ तो उसी से त्वरण और तय की गई दूरी दोनों एक साथ पता चलते हैं।
वेग–समय ग्राफ़ में वेग को समय के विरुद्ध खींचते हैं। इसकी ढाल त्वरण देती है, और ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन देता है। क्षैतिज रेखा स्थिर वेग (शून्य त्वरण), चढ़ती सीधी रेखा स्थिर धन त्वरण, और उतरती सीधी रेखा स्थिर ऋण त्वरण दिखाती है। अनियमित आकृति में क्षेत्रफल को आयतों और त्रिभुजों में बाँट लेते हैं।
आकृति में : वेग–समय ग्राफ़ की ढाल त्वरण है; उसके नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन है।
वेग-समय ग्राफ़
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : ढाल = त्वरण — त्वरण = ग्राफ़ के दो बिंदुओं के बीच वेग में परिवर्तन ÷ समय।
- आसान : 6 s में वेग 2 से 14 m/s हुआ तो a = 2 m/s²।
- मध्यम : क्षैतिज रेखा की ढाल शून्य, इसलिए a = 0।
- परीक्षा-प्रकार : उतरती रेखा ऋण त्वरण दिखाती है।
नियम 2 : क्षेत्रफल = विस्थापन — क्षेत्रफल को आयत और त्रिभुज में बाँटकर जोड़िए।
- आसान : 5 s के लिए स्थिर 6 m/s का क्षेत्रफल 6 × 5 = 30 m।
- मध्यम : 4 s में वेग 0 से 8 m/s हुआ तो क्षेत्रफल ½ × 4 × 8 = 16 m।
- परीक्षा-प्रकार : 3 m/s से शुरू होकर 4 s में 9 m/s हुआ तो 3 × 4 + ½ × 4 × 6 = 24 m।
ढाल त्वरण देती है; क्षेत्रफल विस्थापन देता है। क्षेत्रफल को सरल आकारों में बाँटिए।
वेग–समय ग्राफ़ को वस्तु का पथ समझ लेना। ग्राफ़ पथ का आकार नहीं दिखाता।
याद रखने की युक्ति : ढा-त्व, क्षे-वि — ढाल यानी त्वरण, क्षेत्रफल यानी विस्थापन।
अंतर पहचानें
| वे–स ग्राफ़ का भाग | अर्थ | मान |
|---|---|---|
| क्षैतिज रेखा | स्थिर वेग | a = 0 |
| चढ़ती सीधी रेखा | स्थिर धन त्वरण | a > 0 |
| ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल | विस्थापन | आयत + त्रिभुज |
अभ्यास के प्रश्न
- 1वेग–समय ग्राफ़ की ढाल क्या देती है?
- 2वेग–समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल क्या देता है?
- 3वेग–समय ग्राफ़ में क्षैतिज रेखा क्या दर्शाती है?
- 4वे–स ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन क्यों है?
- 5ग्राफ़ आयत और त्रिभुज हो तो विस्थापन कैसे निकालेंगे?
- 6वे–स ग्राफ़ कैसे दिखाता है कि वस्तु धीमी हो रही है?
- 7एक वस्तु का वेग 5 s में एकसमान रूप से 0 से 20 m/s हुआ। उसका त्वरण और विस्थापन ज्ञात कीजिए।
- 8एक गाड़ी 4 s तक स्थिर 10 m/s से चलती है और फिर 5 s में एकसमान धीमी होकर रुक जाती है। कुल विस्थापन ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1त्वरण।
- 2विस्थापन।
- 3स्थिर वेग, यानी शून्य त्वरण।
- 4वेग × समय की हर पतली पट्टी छोटा विस्थापन है और क्षेत्रफल उन सबको जोड़ देता है।
- 5आयत और त्रिभुज का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालकर जोड़िए।
- 6रेखा नीचे की ओर ढलती है।
- 7a = 4 m/s²; विस्थापन = ½ × 5 × 20 = 50 m।
- 840 + ½ × 5 × 10 = 40 + 25 = 65 m।
गति के शुद्धगतिकी समीकरण
पैदल पार पथ से पहले गाड़ी रुकेगी या नहीं, यह चालक को पता होना चाहिए। सड़क पर जाँच करने की बजाय हम इसे गणना से निकाल सकते हैं, बशर्ते ब्रेक लगाते समय त्वरण समान रहे।
स्थिर त्वरण से सीधी रेखा में होने वाली गति के लिए u, v, a, t और s को जोड़ने वाले तीन समीकरण हैं: v = u + at, s = ut + ½at² और v² = u² + 2as। यहाँ s विस्थापन है। ये समीकरण केवल तब मान्य हैं जब त्वरण स्थिर हो। इनसे वाहन की रुकने की दूरी भी मिलती है: v = 0 रखें और ऋण a लें, तो s = −u² ÷ 2a।
आकृति में : तीनों समीकरण केवल स्थिर त्वरण के लिए मान्य हैं।
नियम 1 : वह समीकरण चुनें जिसमें अज्ञात हो और जो अनचाही राशि से बचे — क्या दिया है और क्या पूछा है लिखिए, फिर ठीक वही राशियाँ वाला समीकरण चुनिए।
- आसान : s न दिया हो न पूछा हो तो v = u + at लगाइए।
- मध्यम : t न दिया हो न पूछा हो तो v² = u² + 2as लगाइए।
- परीक्षा-प्रकार : v न दिया हो न पूछा हो तो s = ut + ½at² लगाइए।
नियम 2 : चिह्न एक जैसे रखें — प्रारंभिक गति की दिशा को धन लीजिए; ब्रेक लगाने पर a ऋण आता है।
- आसान : 20 m/s से a = −5 m/s² पर रुकती गाड़ी के लिए v = 0।
- मध्यम : उसका रुकने का समय t = 4 s और रुकने की दूरी 40 m है।
- परीक्षा-प्रकार : चाल दुगुनी करने पर रुकने की दूरी चौगुनी हो जाती है, क्योंकि s, u² पर निर्भर है।
u, v, a, t, s लिखिए; पूछी गई राशि पर निशान लगाइए; जो राशि नहीं है उसे छोड़ने वाला समीकरण चुनिए।
त्वरण बदलते समय इन समीकरणों का प्रयोग करना। ये केवल स्थिर त्वरण में मान्य हैं।
याद रखने की युक्ति : v-u-a-t, s-u-t-a, v²-u²-a-s — जो राशि नहीं है उससे मिलाइए: s नहीं, v नहीं, t नहीं।
अंतर पहचानें
| अनुपस्थित राशि | यह समीकरण लगाएँ | रूप |
|---|---|---|
| s नहीं चाहिए | पहला समीकरण | v = u + at |
| v नहीं चाहिए | दूसरा समीकरण | s = ut + ½at² |
| t नहीं चाहिए | तीसरा समीकरण | v² = u² + 2as |
अभ्यास के प्रश्न
- 1गति के तीनों समीकरण लिखिए।
- 2ये किस प्रकार के त्वरण के लिए मान्य हैं?
- 3वाहन के रुकने पर अंतिम वेग क्या होता है?
- 4चाल दुगुनी करने पर रुकने की दूरी चौगुनी क्यों हो जाती है?
- 5त्वरण का चिह्न ध्यान से क्यों चुनना चाहिए?
- 6समय न दिया हो तो कौन-सा समीकरण सबसे उपयुक्त है?
- 710 m/s से चलती गाड़ी 5 s तक 2 m/s² से त्वरित होती है। उसका अंतिम वेग और तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
- 820 m/s से चलती बाइक a = −4 m/s² से ब्रेक लगाती है। रुकने का समय और रुकने की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as।
- 2स्थिर (एकसमान) त्वरण।
- 3शून्य।
- 4क्योंकि s = u² ÷ 2a, और u दुगुना करने पर u² चौगुना हो जाता है।
- 5गलत चिह्न लेने पर ऐसे गलत उत्तर आते हैं जैसे ब्रेक लगाते समय गाड़ी की चाल बढ़ना।
- 6v² = u² + 2as।
- 7v = 20 m/s; s = 10 × 5 + ½ × 2 × 25 = 75 m।
- 8t = 5 s; s = 400 ÷ 8 = 50 m।
तल में गति और एकसमान वृत्तीय गति
झूले वाले चक्र पर बैठा बच्चा हर समय एक ही चाल से घूमता है, फिर भी यह कहना ग़लत है कि उसका वेग स्थिर है। दिशा हर क्षण बदलती रहती है।
सीधी रेखा की गति एकविमीय होती है, पर समतल सतह पर गति समतल में गति (द्विविमीय) है, और अंतरिक्ष में त्रिविमीय। एकसमान वृत्तीय गति में वस्तु R त्रिज्या के वृत्त पर स्थिर चाल से चलती है। एक चक्कर में दूरी 2πR और विस्थापन शून्य होता है। चाल v = 2πR ÷ T है, जहाँ T एक चक्कर का समय है। वेग हमेशा स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है, और उसकी दिशा लगातार बदलती है, इसलिए चाल स्थिर होने पर भी गति त्वरित होती है।
आकृति में : वृत्तीय गति में चाल स्थिर पर वेग लगातार बदलता है।
नियम 1 : एक चक्कर में दूरी 2πR और विस्थापन 0 — पथ की लंबाई परिधि है, पर आप शुरुआती बिंदु पर ही लौट आते हैं।
- आसान : 50 m त्रिज्या के वृत्ताकार ट्रैक का एक चक्कर लगाने वाली खिलाड़ी लगभग 314 m दौड़ती है।
- मध्यम : एक पूरा चक्कर लगाने पर उसका विस्थापन 0 होता है।
- परीक्षा-प्रकार : आधा चक्कर लगाने पर विस्थापन 2R, यानी व्यास होता है।
नियम 2 : वेग स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है और दिशा बदलती है — वेग की दिशा बदलने से चाल स्थिर होने पर भी त्वरण होता है।
- आसान : डोरी से बाँधकर घुमाया गया पत्थर डोरी टूटने पर स्पर्श रेखा की दिशा में उड़ जाता है।
- मध्यम : सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा को लगभग वृत्तीय गति माना जाता है।
- परीक्षा-प्रकार : घड़ी की मिनट की सुई का सिरा स्थिर चाल पर पर बदलते वेग से घूमता है।
चक्कर की दूरी = 2πR, चाल = 2πR ÷ T, वेग = स्पर्श रेखा, त्वरण मौजूद।
यह कहना कि चाल स्थिर है इसलिए एकसमान वृत्तीय गति त्वरणरहित है। वेग की दिशा बदलती है, इसलिए वह त्वरित है।
याद रखने की युक्ति : 2πR ÷ T — 'दो पाई आर बटा टी' चाल देता है; स्पर्श रेखा दिशा देती है।
अंतर पहचानें
| राशि | एक चक्कर में | टिप्पणी |
|---|---|---|
| दूरी | 2πR | परिधि |
| विस्थापन | 0 | शुरुआत पर लौटना |
| वेग | स्पर्श रेखा के अनुदिश | दिशा लगातार बदलती है |
अभ्यास के प्रश्न
- 1R त्रिज्या के वृत्त का एक चक्कर लगाने पर दूरी कितनी होती है?
- 2एक पूरा चक्कर लगाने पर विस्थापन कितना होता है?
- 3वृत्तीय गति में वेग किस दिशा में होता है?
- 4चाल स्थिर होने पर भी एकसमान वृत्तीय गति त्वरित क्यों है?
- 5ग्रहों के लिए वृत्ताकार पथ को आदर्श मॉडल क्यों माना जाता है?
- 6समतल में गति और अंतरिक्ष में गति में क्या अंतर है?
- 7एक खिलौना गाड़ी 7 m त्रिज्या के वृत्ताकार ट्रैक का एक चक्कर 11 s में लगाती है (π = 22/7 लें)। उसकी चाल ज्ञात कीजिए।
- 8एक लड़की वृत्ताकार ट्रैक का एक पूरा चक्कर और फिर आधा चक्कर और दौड़ती है। R के रूप में उसकी कुल दूरी और विस्थापन ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12πR।
- 2शून्य।
- 3उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा की दिशा में।
- 4वेग की दिशा लगातार बदलती है, इसलिए वेग बदलता है और त्वरण होता है।
- 5वास्तविक कक्षाएँ थोड़ी दीर्घवृत्ताकार होती हैं; उन्हें वृत्त मानने से गणना सरल हो जाती है।
- 6समतल में स्थिति के लिए दो निर्देशांक चाहिए, अंतरिक्ष में तीन।
- 7v = 2 × 22/7 × 7 ÷ 11 = 4 m/s।
- 8दूरी = 3πR; विस्थापन = 2R (व्यास)।