अभिकेंद्र बल आणि केप्लरचे नियम
दोरीला दगड बांधून तो गोल फिरवा. दोरी सतत आतल्या बाजूला खेचते असे हाताला जाणवते. दोरी सोडली तर दगड गोल फिरत राहत नाही; तो सरळ रेषेत उडून जातो.
वर्तुळाच्या केंद्राकडे वस्तूला खेचणारे बल म्हणजे अभिकेंद्र बल (centripetal force) : F = mv²/r.
आकृतीत : आकृतीत वर्तुळाकार गतीतील वस्तू केंद्राकडे खेचली जाते; सोडली तर ती स्पर्शरेषेच्या दिशेने उडून जाते.
नियम 1 : अभिकेंद्र बल — r त्रिज्येच्या वर्तुळात v वेगाने फिरणाऱ्या वस्तूला केंद्राकडे F = mv²/r इतके बल लागते. वेगाची दिशा सतत बदलते, म्हणून वस्तूला सतत त्वरण असते. सोडली तर ती स्पर्शरेषेवरून (tangent) जाते.
- सोपे : 0.5 kg दगड 2 m दोरीवर 4 m/s वेगाने फिरतो : F = 0.5 × 16 ÷ 2 = 4 N.
- मध्यम : तोच दगड दुप्पट वेगाने, 8 m/s : F = 0.5 × 64 ÷ 2 = 16 N, म्हणजे 4 पट.
- परीक्षेसाठी : 1000 kg ची गाडी 50 m त्रिज्येच्या वळणावर 10 m/s वेगाने वळते : F = 1000 × 100 ÷ 50 = 2000 N. हे बल टायर आणि रस्ता यांतील घर्षण देते.
नियम 2 : केपलरचे नियम — (1) प्रत्येक ग्रह सूर्य एका नाभीवर असलेल्या लंबवर्तुळात (ellipse) फिरतो. (2) ग्रह आणि सूर्य जोडणारी रेषा समान वेळात समान क्षेत्रफळ व्यापते. (3) सर्व ग्रहांसाठी T²/r³ समान असते.
आकृतीत : आकृतीत केपलरचा दुसरा नियम : ग्रह समान वेळात समान क्षेत्रफळ व्यापतो.
- सोपे : पहिला नियम : पृथ्वीचा मार्ग लंबवर्तुळ आहे, फक्त थोडा चपटा.
- मध्यम : दुसरा नियम : ग्रह सूर्याजवळ असताना वेगवान आणि दूर असताना हळू फिरतो.
- परीक्षेसाठी : तिसरा नियम : पृथ्वीच्या 4 पट अंतरावरील (4 AU) ग्रह : T² = 4³ = 64, म्हणून T = 8 वर्षे.
F = mv²/r केंद्राकडे. केपलर : लंबवर्तुळ; समान क्षेत्रफळ; T²/r³ स्थिर.
फिरताना दगडाला बाहेर ढकलले जाते असे समजणे. प्रत्यक्ष बल आतल्या दिशेने असते; "उडून जाणे" म्हणजे फक्त स्पर्शरेषेवरील जडत्व.
आठवणीची युक्ती : "आत खेच, सोडताच सरळ; सूर्याजवळ, वेग जास्त".
फरक ओळखा
| बाब | विधान |
|---|---|
| अभिकेंद्र बल | mv²/r केंद्राकडे |
| केपलर 1 | लंबवर्तुळाकार कक्षा |
| केपलर 2 | समान वेळात समान क्षेत्रफळ |
| केपलर 3 | T²/r³ स्थिर |
सरावासाठी प्रश्न
- 1अभिकेंद्र बलाचे सूत्र लिहा.
- 2फिरता दगड सोडला तर तो कोणत्या दिशेने जातो?
- 3ग्रहाच्या कक्षेचा आकार कोणता?
- 4केपलरचा तिसरा नियम सांगा.
- 51.5 m त्रिज्येच्या वर्तुळात 3 m/s वेगाने फिरणाऱ्या 2 kg वस्तूवरील बल काढा.
- 6वर्तुळाकार गतीत वेग तिप्पट केला तर बल कसे बदलते?
- 7एक ग्रह सूर्यापासून 9 AU वर आहे. त्याचा परिक्रमाकाळ वर्षांत काढा.
- 8ग्रह सूर्याच्या सर्वात जवळ असताना सर्वात वेगवान का असतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1F = mv²/r.
- 2स्पर्शरेषेच्या दिशेने.
- 3सूर्य एका नाभीवर असलेले लंबवर्तुळ.
- 4सर्व ग्रहांसाठी T²/r³ समान असते.
- 52 × 9 ÷ 1.5 = 12 N.
- 6ते 9 पट होते, कारण F हे v² वर अवलंबून असते.
- 7T² = 9³ = 729, म्हणून T = 27 वर्षे.
- 8सूर्याकडे जाणारी रेषा समान वेळात समान क्षेत्रफळ व्यापते; रेषा लहान असताना तेवढेच क्षेत्रफळ व्यापण्यास जास्त वेग लागतो.
न्यूटनचा वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम
पेन सोडले की ते जमिनीवर पडते. पृथ्वी त्याला खेचते. पेनही पृथ्वीला खेचते, पण पृथ्वी इतकी प्रचंड आहे की ती हलताना आपल्याला दिसत नाही. न्यूटन म्हणाला की असे खेचणे कोणत्याही दोन वस्तूंमध्ये असते.
वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम (universal law of gravitation) : F = G m₁ m₂ / d².
आकृतीत : आकृतीत व्यस्त वर्ग नियम : अंतर वाढले की बल झपाट्याने कमी होते.
नियम 1 : न्यूटनचा नियम — प्रत्येक वस्तू इतर प्रत्येक वस्तूला, दोन वस्तुमानांच्या गुणाकाराच्या समानुपाती आणि त्यांतील अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात बलाने खेचते. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² (कॅव्हेंडिशने मोजला).
- सोपे : 10 kg आणि 20 kg या वस्तू 2 m अंतरावर : F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 200 ÷ 4 ≈ 3.3 × 10⁻⁹ N, अतिशय लहान बल.
- मध्यम : अंतर दुप्पट : F एकचतुर्थांश. अंतर तिप्पट : F एकनवमांश. एक वस्तुमान दुप्पट : F दुप्पट.
- परीक्षेसाठी : दोन्ही वस्तुमाने दुप्पट आणि अंतरही दुप्पट : F = (2 × 2) ÷ 4 = 1 पट, म्हणजे बल तेच राहते.
नियम 2 : G ला वैश्विक का म्हणतात — सफरचंद, चंद्र, ग्रह आणि तारे यांसाठी G ची किंमत तीच असते. समुद्राची भरती-ओहोटी चंद्राच्या पृथ्वीवरील पाण्यावरील खेचण्यामुळे होते.
- सोपे : पडणारे सफरचंद आणि पृथ्वीभोवती फिरणारा चंद्र एकाच नियमाचे पालन करतात.
- मध्यम : सूर्य आणि चंद्र दोघेही समुद्राला खेचतात; जवळचा चंद्र जास्त जोरात खेचतो, म्हणून त्याचा भरतीवर जास्त परिणाम.
- परीक्षेसाठी : 1 m अंतरावर बसलेले दोन विद्यार्थीही एकमेकांना खेचतात, पण ते बल जाणवण्याइतके मोठे नसते.
न्यूटनचा वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाF = G m₁m₂/d². अंतर × 2 म्हणजे बल ÷ 4.
अंतराचा वर्ग करायला विसरणे. नेहमी d² घ्या, d नव्हे.
आठवणीची युक्ती : "वस्तुमाने वर गुणा, अंतर खाली वर्ग".
फरक ओळखा
| बदल | F वर परिणाम |
|---|---|
| d दुप्पट | F ÷ 4 |
| d निम्मे | F × 4 |
| एक वस्तुमान दुप्पट | F × 2 |
| दोन्ही वस्तुमाने दुप्पट | F × 4 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1न्यूटनचा गुरुत्वाकर्षणाचा नियम सूत्ररूपात लिहा.
- 2G ची किंमत किती?
- 3G प्रथम कोणी मोजला?
- 4समुद्राच्या भरती-ओहोटीचे कारण काय?
- 5दोन वस्तूंमधील अंतर तिप्पट केले तर बल कसे बदलते?
- 6एक वस्तुमान तिप्पट आणि अंतर निम्मे केले. F किती पटीने बदलते?
- 71 m अंतरावरील 5 kg आणि 8 kg वस्तुमानांतील बल काढा (G = 6.67 × 10⁻¹¹).
- 8शेजारी उभ्या दोन माणसांतील खेच आपल्याला का जाणवत नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1F = G m₁ m₂ / d².
- 26.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².
- 3कॅव्हेंडिश.
- 4चंद्राचे (आणि सूर्याचे) गुरुत्वाकर्षण.
- 5ते एकनवमांश होते.
- 63 × 4 = 12 पट.
- 7F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 40 ÷ 1 ≈ 2.7 × 10⁻⁹ N.
- 8त्यांची वस्तुमाने लहान आणि G अतिशय लहान, म्हणून बल जाणवण्याइतके नसते.
गुरुत्वीय त्वरण
बंद खोलीत पिसे आणि नाणे एकाच उंचीवरून सोडले तर ते वेगळे पडतात असे वाटते, पण ते हवेमुळे. खरे तर पृथ्वी प्रत्येक पडणाऱ्या वस्तूला तेच त्वरण देते.
गुरुत्वीय त्वरण (acceleration due to gravity) : g = GM/R² ≈ 9.8 m/s² (पृथ्वीसाठी).
आकृतीत : आकृतीत ठिकाणानुसार g कसा बदलतो.
नियम 1 : g कशावर अवलंबून असतो — g = GM/R² हा ग्रहाचे वस्तुमान M आणि त्रिज्या R यांवर अवलंबून असतो, पडणाऱ्या वस्तूच्या वस्तुमानावर नाही. g ध्रुवांवर सर्वात जास्त (सुमारे 9.83) आणि विषुववृत्तावर सर्वात कमी (सुमारे 9.78); तो उंची आणि खोली वाढली की कमी होतो.
- सोपे : 1 kg आणि 5 kg दगड एकाच उंचीवरून सोडले : दोन्हींचा g = 9.8 m/s², म्हणून ते एकत्र पडतात.
- मध्यम : पृथ्वीइतक्याच वस्तुमानाच्या पण दुप्पट त्रिज्येच्या ग्रहावर : g = 9.8 ÷ 4 = 2.45 m/s².
- परीक्षेसाठी : चंद्रावर g पृथ्वीच्या सुमारे 1/6, म्हणजे जवळजवळ 1.6 m/s². 2 m वरून सोडलेला दगड : t = √(2 × 2 ÷ 1.6) ≈ 1.6 s, तर पृथ्वीवर सुमारे 0.64 s.
g = GM/R². सर्व वस्तुमानांसाठी g समान. ध्रुवांवर जास्त, विषुववृत्तावर कमी.
जड वस्तू जास्त वेगाने पडते असे समजणे. निर्वातात सर्व वस्तू एकत्र पडतात.
आठवणीची युक्ती : "मोठे वस्तुमान, लहान त्रिज्या तर g मोठा; ध्रुवांवरही मोठा".
फरक ओळखा
| ठिकाण | g (m/s²) |
|---|---|
| ध्रुव | 9.83 |
| विषुववृत्त | 9.78 |
| चंद्र | 1.6 |
| खूप उंचीवर किंवा खोलवर | कमी |
सरावासाठी प्रश्न
- 1g चे सूत्र लिहा.
- 2g पडणाऱ्या वस्तूच्या वस्तुमानावर अवलंबून असतो का?
- 3पृथ्वीवर g कुठे सर्वात जास्त असतो?
- 4चंद्रावर g सुमारे किती असतो?
- 5उंच पर्वतावर चढताना g कसा बदलतो?
- 6ग्रहाची त्रिज्या पृथ्वीच्या दुप्पट आणि वस्तुमान तेच. पृथ्वीचा g 10 असेल तर त्याचा g काढा.
- 7चंद्रावर 30 kg मुलाचे वजन काढा (g = 1.6).
- 8चंद्रावर पिसे आणि नाणे एकत्र का पडतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1g = GM/R².
- 2नाही.
- 3ध्रुवांवर.
- 4सुमारे 1.6 m/s², पृथ्वीच्या एकषष्ठांश.
- 5तो थोडा कमी होतो.
- 610 ÷ 4 = 2.5 m/s².
- 730 × 1.6 = 48 N.
- 8चंद्रावर हवा नाही, म्हणून फक्त गुरुत्वाकर्षण कार्य करते आणि दोघांसाठी g समान असतो.
वस्तुमान, वजन आणि मुक्तपतन
शाळेतील तुमचे वस्तुमान आणि चंद्रावरील वस्तुमान सारखेच, पण स्प्रिंग काट्यावर चंद्रावर कमी दिसेल. वस्तुमान म्हणजे पदार्थाचे प्रमाण; वजन म्हणजे गुरुत्वाकर्षण त्याला किती जोराने खेचते ते.
वजन (weight) W = mg, न्यूटनमध्ये. मुक्तपतन (free fall) म्हणजे फक्त गुरुत्वाकर्षणाखालील गती : v = gt, s = ½gt², v² = 2gs.
आकृतीत : आकृतीत मुक्तपतनातील वेग आणि अंतर वेळेबरोबर वाढतात.
नियम 1 : वस्तुमान आणि वजन — वस्तुमान हे kg मधील अदिश आणि सर्वत्र सारखे. वजन W = mg हे न्यूटनमधील सदिश आणि g बरोबर बदलते.
- सोपे : पृथ्वीवर 40 kg विद्यार्थी : W = 40 × 9.8 = 392 N.
- मध्यम : तोच विद्यार्थी चंद्रावर (g = 1.6) : W = 40 × 1.6 = 64 N, पण वस्तुमान अजूनही 40 kg.
- परीक्षेसाठी : एका वस्तूचे चंद्रावर वजन 150 N (g = 1.5). तिचे वस्तुमान 150 ÷ 1.5 = 100 kg आणि पृथ्वीवर (g = 10) वजन 1000 N.
नियम 2 : मुक्तपतनाची समीकरणे — स्थिर स्थितीतून सुरुवात : v = gt, s = ½ g t², v² = 2 g s. वर फेकताना a = −g. खरे मुक्तपतन फक्त निर्वातात होते.
- सोपे : स्थिर स्थितीतून 3 s सोडलेला दगड (g = 10) : v = 30 m/s, s = ½ × 10 × 9 = 45 m.
- मध्यम : 80 m वरून सोडलेला चेंडू (g = 10) : t = √(2 × 80 ÷ 10) = 4 s आणि v = 40 m/s.
- परीक्षेसाठी : चेंडू 20 m/s ने वर फेकला (g = 10). सर्वोच्च बिंदूवर v = 0, म्हणून चढाई = 20² ÷ (2 × 10) = 20 m आणि वर जाण्याचा वेळ = 20 ÷ 10 = 2 s.
W = mg. मुक्तपतन : v = gt, s = ½gt², v² = 2gs. वस्तुमान तेच, वजन बदलते.
वजन kg मध्ये लिहिणे. वजन हे बल आहे, म्हणून एकक न्यूटन.
आठवणीची युक्ती : "वस्तुमान = पदार्थ (kg), वजन = खेच (N)".
फरक ओळखा
| गुणधर्म | वस्तुमान | वजन |
|---|---|---|
| एकक | kg | N |
| प्रकार | अदिश | सदिश |
| ठिकाणाने बदलते? | नाही | होय |
सरावासाठी प्रश्न
- 1वजनाचे सूत्र लिहा.
- 2वजनाचे SI एकक कोणते?
- 3मुक्तपतन म्हणजे काय?
- 4वर फेकलेल्या चेंडूचे त्वरण किती?
- 525 kg वस्तूचे वजन काढा (g = 10).
- 6दगड स्थिर स्थितीतून सोडला. 5 s नंतर त्याचा वेग काढा (g = 10).
- 7दगड 45 m उंच मनोऱ्यावरून पडतो (g = 10). लागलेला वेळ आणि आदळतानाचा वेग काढा.
- 8माणसाचे पृथ्वीवर वजन 600 N आहे. चंद्रावर त्याचे वस्तुमान तेच पण वजन कमी का असेल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1W = mg.
- 2न्यूटन.
- 3फक्त गुरुत्वाकर्षणाखालील गती.
- 4−g (खालच्या दिशेने).
- 5250 N.
- 6v = 10 × 5 = 50 m/s.
- 7t = √(2 × 45 ÷ 10) = 3 s; v = 30 m/s.
- 8वस्तुमान म्हणजे पदार्थाचे प्रमाण, ते बदलत नाही; वजन mg असते आणि चंद्राचा g कमी आहे.
स्थितिज ऊर्जा आणि निसटता वेग
चेंडू वर फेकायला ताकद लागते. खूप वेगाने फेकला तर तो खूप उंच जातो. पुरेशा जोराने फेकता आले तर तो कधीच परत येणार नाही. तो विशेष वेग म्हणजे पलायन वेग.
पलायन वेग (escape velocity) म्हणजे पृथ्वी कायमची सोडण्यासाठी लागणारा किमान वेग : सुमारे 11.2 किमी/s.
आकृतीत : आकृतीत कक्षीय वेग उपग्रहाला फिरत ठेवतो, तर पलायन वेग त्याला दूर नेतो.
नियम 1 : स्थितिज ऊर्जा आणि पलायन — केंद्रापासून r अंतरावर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा −GMm/r असते (अनंत अंतरावर शून्य मानून). लहान उंचीसाठी mgh पुरेसे. पलायन वेग दिलेल्या वस्तूची एकूण ऊर्जा शून्य असते आणि ती परत येत नाही.
- सोपे : 5 kg वस्तू 8 m उचलली (g = 10) : PE = 5 × 10 × 8 = 400 J.
- मध्यम : पलायन वेग वस्तूच्या वस्तुमानावर अवलंबून नसतो : दगड आणि रॉकेट दोघांना पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरून तोच 11.2 किमी/s लागतो.
- परीक्षेसाठी : चंद्र लहान आणि त्याचे गुरुत्वाकर्षण कमी, म्हणून त्याचा पलायन वेग फक्त सुमारे 2.4 किमी/s, पृथ्वीच्या 11.2 किमी/s पेक्षा खूपच कमी.
नियम 2 : उपग्रह आणि कक्षा — चंद्र आणि उपग्रह पृथ्वीभोवती मुक्तपतनात आहेत. त्यांचा आडवा कक्षीय वेग (orbital velocity) त्यांना जमिनीवर पडू देत नाही; पृथ्वीजवळ तो सुमारे 7.9 किमी/s. आइन्स्टाइनने 1916 मध्ये गुरुत्वीय लहरींचे भाकीत केले; शंभर वर्षांनी LIGO ने त्या शोधल्या.
- सोपे : पृथ्वीजवळ 7.9 किमी/s ने फिरणारा उपग्रह सुमारे 90 मिनिटांत एक फेरी पूर्ण करतो.
- मध्यम : उपग्रहातील अंतराळवीर तरंगते कारण ती आणि यान एकत्र पडत असतात, गुरुत्वाकर्षण नाही म्हणून नव्हे.
- परीक्षेसाठी : कक्षीय वेग पलायन वेगापेक्षा कमी : 7.9 किमी/s ने उपग्रह फिरत राहतो, पण 11.2 किमी/s ने तो कायमचा पृथ्वीपासून दूर जाईल.
पृथ्वीचा पलायन वेग 11.2 किमी/s; कक्षीय वेग सुमारे 7.9 किमी/s. PE = −GMm/r; लहान उंचीसाठी mgh.
अवकाशात गुरुत्वाकर्षण नसल्यामुळे अंतराळवीर तरंगतात असे समजणे. तेथेही गुरुत्वाकर्षण जोरदार असते; ते मुक्तपतनात असतात.
आठवणीची युक्ती : "7.9 ने फिरतो, 11.2 ने सुटतो".
फरक ओळखा
| पिंड | पलायन वेग (किमी/s) |
|---|---|
| पृथ्वी | 11.2 |
| चंद्र | 2.4 |
| पृथ्वीजवळील कक्षा | 7.9 (कक्षीय) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पलायन वेग म्हणजे काय?
- 2पृथ्वीचा पलायन वेग किती?
- 3पलायन वेग वस्तूच्या वस्तुमानावर अवलंबून असतो का?
- 4गुरुत्वीय लहरींचे भाकीत कोणी आणि केव्हा केले?
- 515 m उंचीवरील 2 kg वस्तूची PE काढा (g = 10).
- 6स्थितिज ऊर्जा −GMm/r धन की ऋण? का?
- 7चंद्राचा पलायन वेग पृथ्वीपेक्षा कमी का?
- 8उपग्रहातील अंतराळवीर का तरंगतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1पृथ्वी कायमची सोडण्यासाठी लागणारा किमान वेग.
- 2सुमारे 11.2 किमी/s.
- 3नाही.
- 4आइन्स्टाइनने, 1916 मध्ये.
- 52 × 10 × 15 = 300 J.
- 6ऋण, कारण शून्य अनंतावर मानतात आणि वस्तू पृथ्वीला बांधलेली असते.
- 7चंद्राचे वस्तुमान कमी आणि त्याच्या पृष्ठभागावर गुरुत्वाकर्षण कमी.
- 8अंतराळवीर आणि उपग्रह दोन्ही एकत्र मुक्तपतनात असतात.
झटपट उजळणी
- F = G m1m2/d2; g = GM/R2; W = mg.
- केप्लर : लंबवर्तुळ; समान क्षेत्रफळ; T2/r3 = स्थिरांक.
- g विषुववृत्तापेक्षा ध्रुवांवर जास्त असतो; उंची आणि खोलीबरोबर कमी होतो.
- पृथ्वीचा निसटता वेग : 11.2 किमी/s.